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高中数学北师大版选修2-3同步导学案:2.1.2 离散型随机变量及其分布列

第 2 课时 离散型随机变量及其分布列 1.了解离散型随机变量及分布列的概念.(重点) 2.掌握离散型随机变量分布列的求法.(难点) [基础·初探] 教材整理 1 离散型随机变量 阅读教材 P35“抽象概括”以下部分,完成下列问题. 随机变量的取值能够__________,这样的随机变量称为离散型随机变量. 【答案】 一一列举出来 下列随机变量中不是离散型随机变量的是________(填序号). ①某宾馆每天入住的旅客数量是 X; ②广州某水文站观测到一天中珠江的水位 X; ③深圳欢乐谷一日接待游客的数量 X; ④虎门大桥一天经过的车辆数是 X. 【解析】 ①③④中的随机变量 X 的所有取值,我们都可以按照一定的次 序一一列出,因此它们是离散型随机变量;②中随机变量 X 可以取某一区间内 的一切值,但无法按一定次序一一列出,故不是离散型随机变量. 【答案】 教材整理 2 ② 离散型随机变量 X 的分布列 阅读教材 P35“抽象概括”以下内容~P37“习题 2-1”以上部分,完成下 列问题. 1.定义 设离散型随机变量 X 的取值为 a1,a2,…随机变量 X 取 ai 的概率为 pi(i= 1,2,…),记作: P(X=ai)=pi(i=1,2,…),(1) 或把(1)式列成如下表格: X=ai P(X=ai) a1 p1 a2 p2 … … 上述表格或(1)式称为离散型随机变量 X 的分布列. 如果随机变量 X 的分布列为上述表格或(1)式,我们称随机变量 X 服从这一 分布(列),并记为: X~______________. 2.性质 在离散型随机变量 X 的分布列中, (1)pi>________; (2)p1+p2+…=________. 【答案】 ?a1 a2… ? ? ? 1.? ? ?p1 p2 …? 2.(1)0 (2)1 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中,每一个可能值对应的概率可以为任意的实 数.( ) ) (2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等.( (3)在离散型随机变量分布列中,所有概率之和为 1.( 【解析】 (1)× ) 因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机 事件的概率均在[0,1]范围内. (2)× 因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件,并非都是等可能 发生的事件. (3)√ 由分布列的性质可知,该说法正确. (1)× (2)× (3)√ 【答案】 [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 离散型随机变量的判定 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由. (1)某座大桥一天经过的车辆数 X; (2)某超市 5 月份每天的销售额; (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差 ξ ; (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站 所测水位 ξ . 【精彩点拨】 → 得出 结论 随机变量的 实际背景 → 判断取值是否 具有可列性 【自主解答】 (1)车辆数 X 的取值可以一一列出, 故 X 为离散型随机变量. (2)某超市 5 月份每天销售额可以一一列出,故为离散型随机变量. (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量. (4)不是离散型随机变量,水位在(0,29]这一范围内变化,不能按次序一一列 举. “三步法”判定离散型随机变量 1.依据具体情境分析变量是否为随机变量. 2.由条件求解随机变量的值域. 3.判断变量的取值能否被一一列举出来,若能,则是离散型随机变量;否 则,不是离散型随机变量. [再练一题] 1.一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球,从中任取 3 个,其中所含白球的个 数为 ξ . (1)列表说明可能出现的结果与对应的 ξ 的值; (2)若规定抽取 3 个球中,每抽到一个白球加 5 分,抽到黑球不加分,且最 后结果都加上 6 分, 求最终得分 η 的可能取值, 并判定 η 是否为离散型随机变 量. 【解】 (1) ξ 0 取得 3 结果 个黑球 球,2 个黑球 球,1 个黑球 个白球 1 取得 1 个白 2 取得 2 个白 3 取得 3 (2)由题意可得:η =5ξ +6,而 ξ 可能的取值范围为{0,1,2,3},所以 η 对 应的各值是: 5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故 η 的可能取值为 6,11,16,21. 显然,η 为离散型随机变量. 求离散型随机变量的分布列 口袋中有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,现从中随机取 出 3 个球,用 X 表示取出的最大号码,求 X 的分布列. 【精彩点拨】 X 的可能取值为 3,4,5,6,是离散型随机变量.可以利用组 合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率. 【自主解答】 随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6. 从袋中随机取 3 个球,包含的基本事件总数为 C3 6,事件“X=3”包含的基 本事件总数为 C3 3,事件“X=4”包含的基本事件总数为 C1 1C2 3,事件“X=5” 包含的基本事件总数为 C1 1C2 4,事件“X=6”包含的基本事件总数为 C1 1C2 5. C3 1 3 从而有 P(X=3)= 3= , C6 20 C1 3 1C2 3 P(X=4)= 3 = , C6 20 P(X=5)= C1 3 1C2 4 = , C3 10 6 C1 1C2 5 1 P(X=6)= 3 = , C6 2 所以随机变量 X 的分布列为 X P 3 1 20 4 3 20 5 3 10 6 1 2 1.求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量 ξ 的所有可能的取值 xi(i=1,2,…,n). (2)求出取每一个值的概率 P(ξ

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