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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5学业分层测评11 排序不等式

学业分层测评(十一) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.设 a≥b>0,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则 P 与 Q 的大小关系是( A.P>Q 【解析】 B.P≥Q C.P<Q D.P≤Q ) ∵a≥b>0,∴a2≥b2>0. 因此 a3+b3≥a2b+ab2(排序不等式), 则 P≥Q. 【答案】 B 2.设 a1≤a2≤a3≤…≤an,b1≤b2≤b3≤…≤bn 为两组实数,在排序不等式 中,顺序和,反序和,乱序和的大小关系为( A.反序和≥乱序和≥顺序和 B.反序和=乱序和=顺序和 C.反序和≤乱序和≤顺序和 D.反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定 【答案】 C ) a1 a2 a3 3.设正实数 a1,a2,a3 的任一排列为 a′1,a′2,a′3,则 + + a′1 a′2 a′3 的最小值为( A.3 C.9 3 ) B.6 D.12 2 1 1 1 1 【解析】 设 a1≥a2≥a3>0,则a ≥a ≥a >0,由乱序和不小于反序和知, a1 a2 a3 a1 a2 a3 + + ≥ + + =3, a′1 a′2 a′3 a1 a2 a3 ∴ a1 a2 a3 + + 的最小值为 3,故选 A. a′1 a′2 a′3 A 【答案】 2 2 4. 若 A=x1 +x2 +…+x2 B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1, 其中 x1, x2, …, n, xn 都是正数,则 A 与 B 的大小关系为( A.A>B C.A≥B 【解析】 ) B.A<B D.A≤B 依序列{xn}的各项都是正数,不妨设 0<x1≤x2≤…≤xn,则 x2, x3, …, xn, x1 为序列{xn}的一个排列. 依排序原理, 得 x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2 2 2 +x2x3+…+xnx1,即 x1 +x2 2+…+xn≥x1x2+x2x3+…+xnx1.故选 C. 【答案】 C 5.已知 a,b,c 为正实数,则 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情 况是( ) B.大于等于零 D.小于等于零 设 a≥b≥c>0,所以 a3≥b3≥c3, A.大于零 C.小于零 【解析】 根据排序原理,得 a3×a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a. 又知 ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以 a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab, ∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab, 即 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0. 【答案】 二、填空题 bc ca ab 6.若 a,b,c∈R+,则 a + b + c ________a+b+c. 【解析】 1 1 1 不妨设 a≥b≥c>0,则 bc≤ca≤ab,a≤b≤c , B bc ca ab ac ab bc ∴ a + b + c ≥ c + a + b =a+b+c. 【答案】 ≥ 7.有 4 人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要 5 s,4 s,3 s,7 s,每个人接完水后就离开,则他们总的等候时间最短为________s. 【解析】 【答案】 等候的最短时间为:3×4+4×3+5×2+7×1=41(s). 41 a1a2 a2a3 a3a1 8.设 a1,a2,a3 为正数,且 a1+a2+a3=1,则 a + a + a 的最小值为 3 1 2 ________. 【导学号:32750058】 【解析】 1 1 1 不妨设 a3>a1>a2>0,则a <a <a , 3 1 2 所以 a1a2<a2a3<a3a1. a1a3 a1a2 a3a2 设乱序和 S= a + a + a =a1+a2+a3=1, 3 1 2 a1a2 a2a3 a3a1 顺序和 S′= a + a + a . 3 1 2 a1a2 a2a3 a3a1 由排序不等式得 a + a + a ≥a1+a2+a3=1, 3 1 2 a1a2 a2a3 a3a1 所以 a + a + a 的最小值为 1. 3 1 2 【答案】 三、解答题 9.设 a,b,c 大于 0,求证: (1)a3+b3≥ab(a+b); (2) 1 1 1 1 + + ≤ . a3+b3+abc b3+c3+abc c3+a3+abc abc (1)不妨设 a≥b≥c>0, 1 【证明】 则 a2≥b2≥c2>0, ∴a3+b3=a2· a+b2· b≥a2b+b2a, ∴a3+b3≥ab(a+b). (2)由(1)知,同理 b3+c3≥bc(b+c),c3+a3≥ac(c+a), 所以 ≤ + = = 1 1 1 + 3 3 + 3 3 a +b +abc b +c +abc c +a3+abc 3 1 1 + ab?a+b?+abc bc?b+c?+abc 1 ac?a+c?+abc 1 ?1 1 1? ? + + ? a+b+c?ab bc ca? c+a+b 1 1 · abc =abc. a+b+c 故原不等式得证. a b c 10.已知 a,b,c 都是正数,求 + + 的最小值. b+c c+a a+b 【解】 由对称性,不妨设 0<c≤b≤a,则有 a+b≥a+c≥b+c>0,所以 1 1 1 0< ≤ ≤ . a+b a+c b+c 由排序不等式得 a b c + + b+c a+c a+b ≥ a b c + + ,① a+c a+b b+c a b c c a b + + ≥ + + .② b+c a+c a+b a+c a+b b+c b c ? ? a 由①②知 2?b+c+a+c+a+b?≥3, ? ? ∴ a b c 3 + + ≥2. b+c a+c a+b a b c 3 + + 取最小值2. b+c c+a a+b [能力提升] 1.锐角三角形中,设 P

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