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第三章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算

第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 [ 学 习 目 标 ] 1. 空 间 向 量 的 基 本 概 念 和 性 质 ( 难 点). 2.空间向量的加减法运算(重点). 1.空间向量的有关概念 (1)定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间 向量. (2)长度:向量的大小叫做向量的长度或模. 温馨提示 1.空间向量与平面向量没有本质区别,都是表示既 有大小又有方向的量,具有数与形的双重性. 2.空间向量和有向线段不是同一概念,有向线段只 是空间向量的一种几何直观表示法. 2.几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为 0 的向量 0 单位向量 模为 1 的向量 |a|=1 或|A→B|=1 与 a 长度相等而方 相反向量 向相反的向量称为 -a a 的相反向量 方向相同且模相等 相等向量 的向量 a=b 或A→B=C→D 温馨提示 两个向量不能比较大小,若两个向量的方向相同且模 相等,称这两个向量为相等向量,与向量起点的选择无关. 3.空间向量的加法和减法运算 空间 加法 O→B=_O→_A_+__O_→_C_=a+b 向量 的运 减法 C→A=_O→_A_-__O_→_C_=a-b 算 加法运算律 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 1.已知向量 A→B , A→C , B→C 满足| A→B |=| A→C |+| B→C |, 则( ) A.A→B=A→C+B→C B.A→B=A→C-B→C C.A→C与B→C同向 D.A→C与C→B同向 解析:由A→B=|A→C|+|B→C|=|A→C|+|C→B|, 知C点在线段AB上,否则与三角形两边之和大于第 三边矛盾,所以A→C与C→B同向. 答案:D 2.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,由顶点连接的 向量中,与向量A→B1相等的向量共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案:C 3.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,向量表达式D→D1 -A→B1+B→C化简后的结果是( ) → → → → A.BD1 B.D1B C.B1D D.DB1 → → → → →→ → → 解析:DD1-AB1+BC=DD1+BA+BC=DD1+BD → =BD1. 答案:A 4.式子(A→B-C→B)+C→C1运算的结果是________. 解析:(A→B-C→B)+C→C1=(A→B+B→C)+C→C1 =A→C+C→C1=A→C1. 答案:A→C1 5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 为 AB、B1C 的中点.用A→B、A→D、A→A1表示向量M→N,则M→N =________. 解析:M→N=M→B+B→C+C→N=12A→B+A→D+12(C→B+B→B1) =12A→B+A→D+12(-A→D+A→A1)=12A→B+12A→D+12A→A1. 答案:12A→B+12A→D+12A→A1 类型 1 空间向量的概念(自主研析) [典例 1] 判断下列命题的真假. (1)空间向量就是空间中的一条有向线段; (2)不相等的两个空间向量的模必不相等; (3)两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也 相同; (4)向量B→A与向量A→B的长度相等. 解析:(1)假命题,有向线段只是空间向量的一种表 示形式,但不能把二者完全等同起来. (2)假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等, 只要它们的方向不相同即可. (3)假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时, 这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起 点和终点. (4)真命题,B→A与A→B仅是方向相反,它们的长度是相 等的. 归纳升华 1.在空间中,平行向量、向量的模、相等向量的概 念和平面向量完全一致. 2.两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、 模相等. 3.判断有关向量的命题时,要抓住向量的两个主要 元素:大小与方向,两者缺一不可,相互制约. [变式训练] 下列说法中正确的是( ) A.若|a|=|b|,则 a,b 的长度相同,方向相同或相 反 B.若向量 a 是向量 b 的相反向量,则|a|=|b| C.空间向量的减法满足结合律 D.在四边形 ABCD 中,一定有A→B+A→D=A→C 解析:|a|=|b|,只是说明 a,b 模相等,但方向不确 定,则 A 错;相反向量方向相反,模相等,则 B 正确; C 显然不对;四边形 ABCD 若为平行四边形则满足此式 →→→ AB+AD=AC,有的不规则四边形 ABCD 不满足此式,D 错. 答案:B [典例 2] 如图,已知长方体 ABCD-A′B′C′D′,化简 下列向量表达式,并在图中标出化简结果的向量. (1)AA→′-C→B; (2)AA→′+A→B+B′→C′. 解: (1)A→A′-C→B=A→A′-D→A= A→A′+A→D=A→A′+A→′D′=A→D′. (2)A→A′+A→B+B→′C′=(A→A′+A→B)+B→′C′=A→B′+B→′C′= A→C′, 向量A→D′、A→C′如图所示. 归纳升华 1.化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三 角形法则进行化简,在化简过程中遇到减法时可灵活应用 相反向量转化成加法,也可按减法法则进行运算,加减法 之间可相互转化. 2.化简的结果要在图中标注好. [变式训练]已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,化简下 列向量表达式,并标出化简结果所表示的向量. (1)A→B+B→C; (2)A→B+A→D+A→A1; (3)A→B-D→A-B→1B-C→C1. →→→ 解:(1)AB+BC=AC. →→ → → → → (2)AB+AD+AA1=AC+CC1

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