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1.3.2 极大值与极小值公开课


数学建构

函数极值的定义
一般地,设函数f(x)在点X0附近有定义,

1.极大值:如果对X0附近的所有点X,都有f(x)<f(x0),
就说函数f(x0)是函数f(x)的一个极大值, 记作f(x)极大值= f(x0);并把X0称为函数f(x)的一个极大植点。

2.极小值:如果对X0附近的所有点X,都有f(x)<f(x0),
就说函数f(x0)是函数f(x)的一个极小值, 记作f(x)极小值= f(x0);并把X0称为函数f(x)的一个极小植点。

3.极

值:函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与 极小值点统称为极值点

注意: 极值点是自变量的值,极值指的是函数值.

探究3: 观察函数y=f(x)的图象
y P(x1,f(x1)) y=f(x)

o

a x1

Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b

x

(1)极大(小)值是最大(小)值吗?
说明:(1)极值是一个局部概念。由定义,极值只 是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大 或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大 或最小。

探究3: 观察函数y=f(x)的图象
y P(x1,f(x1)) y=f(x)

o

a x1

Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b

x

(2) 图中的极值、极值点唯一吗? 说明: (2)函数的极值不是唯一的。即一个 函数在某区间上或定义域内极大值或极小值 可以不止一个。

探究3: 观察函数y=f(x)的图象
y P(x1,f(x1)) y=f(x)

o

a x1

Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b

x

(3)极大值一定比极小值大吗? 说明: (3)极大值与极小值之间无确定的大 小关系。即一个函数的极大值未必大于极小 值。

探究3: 观察函数y=f(x)的图象
y P(x1,f(x1)) y=f(x)

o

a x1

Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b

x

(4)极值可以在区间端点取得吗? 说明: (4)函数的极值点一定出现在区间的 内部,区间的端点不可能成为极值点。

探究活动2
引例:已知函数 f(x)=x3-3x

(1)求f(x)的单调区间,并画出其草图;
(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与 这两点附近的函数值有什么关系? (3)函数f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点附近的导数符号有什么规律?

数学建构
4.极值与导数之间的关系
y

o a
y

x0

b x

f?(x) f(x ) f?(x) f(x )

x

x0左侧

x0

x0右侧

f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0 极大值 减 增
x0左侧
x0

x

x0右侧

f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 减 极小值 增

o

a

b x0

x

请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值?

左正右负为极大,右正左负为极小

小试牛刀篇(数学运用) 例1.如图是函数y=f(x) 的图象,试找出函数y=f(x) 的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值 点? y
y ? f ? x?

a x1 O

x2

x3

x4

x x5 x6 b

小试牛刀篇(数学运用)
变:下图是导函数 y

y ? f ?( x) 的图象, 试找出函数y ? f ( x) y ? f ?( x)
x3 x

的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

a x1 O

x2

x4

x5

x6

b

小试牛刀篇(数学运用)
1 3 例2:求函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3


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