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兰溪范文 文档专家

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (辽宁卷)

第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(2013 辽宁，文 1)已知集合 A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则 A∩B＝( )． A．{0} B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2} 2．(2013 辽宁，文 2)复数 z =

1 的模为( i ?1

C． 2

)．

1 A． 2

2 B． 2

D．2

3．(2013 辽宁，文 3)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量 AB 同方向的单位向量为(

??? ?

)．

?3 4? ? ,? ? A． ? 5 5 ?

? 4 3? ? ,? ? B． ? 5 5 ?

? 3 4? ?? , ? C． ? 5 5 ?

? 4 3? ?? , ? D． ? 5 5 ?

4．(2013 辽宁，文 4)下面是关于公差 d＞0 的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；

p3：数列 ?

? an ? ? 是递增数列； ?n?

p4：数列{an＋3nd}是递增数列．

其中的真命题为( )． A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 5．(2013 辽宁，文 5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： [20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于 60 分的人数是 15，则该班的学生人数是( )．

1． 答案：B 解析：∵|x|＜2，∴x∈(－2,2)，即 B＝{x|－2＜x＜2}．∴A∩B＝{0,1}，故选 B. 2． 答案：B 解析： z ?

1 ?i ? 1 1 1 ? ? ? ? i， i ? 1 (i ? 1)(?i ? 1) 2 2

2 2

2 ? 1? ? 1? ∴|z|＝ ? ? ? ? ? ? ? ? ，故选 B. 2 ? 2? ? 2?

3． 答案：A

??? ? ??? ? AB ?3, ?4? ?3 4? 解析：与向量 AB 同方向的单位向量为 ??? ? ? , ? ? ，故选 A. ? ＝ AB 32 ? ??4?2 ? 5 5 ?

4． 答案：D

2013 辽宁文科数学 第1页

解析：如数列－2，－1,0,1,2，?，则 1×a1＝2×a2，排除 p2，如数列 1,2,3，?，则 故选 D. 5． 答案：B

an ＝1，排除 p3， n

解析： 根据频率分布直方图， 低于 60 分的人所占频率为： (0.005＋0.01)×20＝0.3， 故该班的学生数为 ＝50，故选 B.

15 0.3

A．45 B．50 C．55 D．60 6．(2013 辽宁，文 6)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 asin Bcos C＋csin Bcos A ＝

1 b ，且 a＞b，则∠B＝( )． 2 π π 2π A． 6 B． 3 C． 3

5π D． 6

7 ． (2013 辽宁，文 7) 已知函数 f(x) ＝ ln( 1 ? 9 x2 ? 3x) ? 1 ，则

? 1? f (lg 2)? f ? lg ? ＝( ? 2?

)．

A．－1 B．0 C．1 D．2 8．(2013 辽宁，文 8)执行如图所示的程序框图，若输入 n＝8，则输出 S＝( )．

4 A． 9

6 B． 7

8 C． 9

10 D． 11

6． 答案：A 解析：根据正弦定理 asin Bcos C＋csin Bcos A＝

1 b 等价于 sin Acos 2

C＋sin Ccos A＝

即 sin(A＋C)＝

1 ， 2

1 . 2 5π π ，所以 B ? .故选 A. 6 6

又 a＞b，所以 A＋C＝ 7． 答案：D

解析：∵f(x)＝ ln( 1 ? 9 x2 ? 3x) ? 1 ， ∴f(－x)＝ ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 ， ∴f(x)＋f(－x)＝ln 1＋1＋1＝2，

1 ＝－lg 2， 2 ? 1? ∴ f (lg 2) ? f ? lg ? ＝2，故选 D. ? 2?

又 lg 8． 答案：A

2013 辽宁文科数学 第2页

解析：当 n＝8 时，输出的 S ? 0 ?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ?1 4 ?1 6 ?1 8 ?1

2

?

1 1 1 1 ? ? ? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 7 ? 9 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 3 3 5 5 7 7 9 ? 4 ? ，故选 A. 9

3

9．(2013 辽宁，文 9)已知点 O(0,0)，A(0，b)，B(a，a )．若△OAB 为直角三角形，则必有(

)．

b ? a3 ?

A．b＝a3 B． D． 10．(2013 辽宁，文 10)已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上．若 AB＝3，AC＝4，AB⊥ AC，AA1＝12，则球 O 的半径为( )．

1 a

1? ? (b ? a3 ) ? b ? a3 ? ? ? 0 a? ? C．

b ? a3 ? b ? a3 ?

1 ?0 a

3 17 A． 2

B． 2 10

13 C． 2

D． 3 10

x2 y2 ? =1 (a＞b＞0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B a 2 b2 4 两点，连接 AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝ ，则 C 的离心率为( )． 5 3 5 4 6 A． 5 B． 7 C． 5 D． 7

11．(2013 辽宁，文 11)已知椭圆 C： 9． 答案：C

解析：若∠OBA 为直角，则 OB ? AB ? 0 ， 2 3 3 即 a ＋(a －b)·a ＝0，

??? ? ??? ?

1 ； a ??? ? ??? ? 3 3 若∠OAB 为直角时， OA ? AB ? 0 ，即 b(a －b)＝0，得 b＝a ； 1 3 3 若∠AOB 为直角，则不可能．所以 b－a － ＝0 或 b－a ＝0，故选 C. a

又 a≠0，故 b ? a ?

3

10． 答案：C 解析：过 C，B 分别作 AB，AC 的平行线交于点 D，过 C1，B1 分别作 A1B1，A1C1 的平行线交于 D1，连接 DD1， 则 ABCD－A1B1C1D1 恰为该球的内接长方体，故该球的半径 r＝

32 ? 42 ? 122 13 ? ，故选 C. 2 2

11． 答案：B 2 2 2 2 2 解析：如图所示，根据余弦定理，|AF| ＝|BF| ＋|AB| －2|BF||AB|cos∠ABF，即|AF|＝6，又|OF| ＝|BF| 2 ＋|OB| －2|OB||BF|cos∠ABF，即|OF|＝5.又根据椭圆的对称性，|AF|＋|BF|＝2a＝14，∴a＝7，|OF|＝5 ＝c，所以离心率为

5 ，故选 B. 7

2 2 2 2

12．(2013 辽宁，文 12)已知函数 f(x)＝x －2(a＋2)x＋a ，g(x)＝－x ＋2(a－2)x－a ＋8.设 H1(x)＝ max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的 较小值)．记 H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B，则 A－B＝( )． A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16 C．－16 D．16

2013 辽宁文科数学 第3页

12． 答案：C 2 2 解析：∵f(x)－g(x)＝2x －4ax＋2a －8 ＝2[x－(a－2)][x－(a＋2)]，

? f ( x), x ? (??, a ? 2], ? ∴ H1 ? x ?＝ ? g ( x), x ? (a ? 2, a ? 2], ? f ( x), x ? (a ? 2, ??], ? ? g ( x), x ? (??, a ? 2], ? H 2 ? x ?＝ ? f ( x), x ? (a ? 2, a ? 2], ? g ( x), x ? (a ? 2, ??], ?

可求得 H1(x)的最小值 A＝f(a＋2)＝－4a－4，H2(x)的最大值 B＝g(a－2)＝－4a＋12，∴A－B＝－16. 故选 C.

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。

13．(2013 辽宁，文 13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体 的体积是__________． 14．(2013 辽宁，文 14)已知等比数列{an}是递增数列，Sn 是{an} 2 的前 n 项和．若 a1 ， a3 是方程 x － 5x ＋ 4 ＝ 0 的两个根，则 S6 ＝ __________. 15． (2013 辽宁， 文 15)已知 F 为双曲线 C：

x2 y2 ? =1 的左焦点， 9 16

P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为__________．

16． (2013 辽宁， 文 16)为了考察某校各班参加课外书法小组的人 数，从全校随机抽取 5 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样 本数据． 已知样本平均数为 7， 样本方差为 4， 且样本数据互不相同， 则样本数据中的最大值为__________． 13． 答案：16π －16 解析：由几何体的三视图可得该几何体是一个底面半径为 2 的圆柱体，中间挖去一个底面棱长为 2 的正四 2 棱柱，故体积为 π ·2 ·4－2×2×4＝16π －16. 14．答案：63 2 解析：x －5x＋4＝0 的两根为 1 和 4，又数列递增， 所以 a1＝1，a3＝4，q＝2. 所以 S6＝

1? ?1 ? 26 ? ＝63. 1? 2

15．答案：44 解析：如图所示，设双曲线右焦点为 F1，则 F1 与 A 重合，坐标为(5,0)，则|PF|＝|PF1|＋2a，|QF|＝|QF1| ＋2a，所以|PF|＋|QF|＝|PQ|＋4a＝4b＋4a＝28，∴△PQF 周长为 28＋4b＝44. 16．答案：10 解 析 ： 设 5 个 班 级 的 人 数 分 别 为 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 ， 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 7， 5 ? x1 ? 7 ?2 ? ? x2 ? 7?2 ? ? x3 ? 7?2 ? ? x4 ? 7?2 ? ? x5 ? 7?2 5

＝4， 即 5 个整数平方和为 20， 最大的数比 7 大不能超过 3，否则方差超过 4， 故最大值为 10，最小值为 4.

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17． (2013 辽宁， 文 17)(本小题满分 12 分)设向量 a＝( 3 sin x ， sin x)， b＝(cos x， sin x)， x∈ ?0, ? . 2 (1)若|a|＝|b|，求 x 的值； (2)设函数 f(x)＝a·b，求 f(x)的最大值． 解：(1)由|a| ＝

2 2 2

? π? ? ?

?

2

3 sin x ＋sin2x＝4sin2x，

?

2

|b| ＝cos x＋sin x＝1， 2 及|a|＝|b|，得 4sin x＝1.

? π? ? ? π 所以 x ? . 6

又 x∈ ?0, ? ，从而 sin x＝ . 2 2

1

(2)f(x)＝a·b＝ 3 sin x ·cos x＋sin x

2

3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 π? 1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? . 6? 2 ? π ? π? π? ? 当 x ? ? ?0, ? 时， sin ? 2 x ? ? 取最大值 1. 3 ? 2? 6? ? 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 ?

18．(2013 辽宁，文 18)(本小题满分 12 分)如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆 O 上 的点． (1)求证：BC⊥平面 PAC； (2)设 Q 为 PA 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG∥平面 PBC.

证明：(1)由 AB 是圆 O 的直径，得 AC⊥BC. 由 PA⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PA⊥BC. 又 PA∩AC＝A，PA 平面 PAC，AC 平面 PAC， 所以 BC⊥平面 PAC. (2)连 OG 并延长交 AC 于 M，连接 QM，QO，由 G 为△AOC 的重心，得 M 为 AC 中点． 由 Q 为 PA 中点，得 QM∥PC. 又 O 为 AB 中点，得 OM∥BC. 因为 QM∩MO＝M，QM 平面 QMO， MO 平面 QMO，BC∩PC＝C， BC 平面 PBC，PC 平面 PBC， 所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO， 所以 QG∥平面 PBC.

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辽宁文科数学

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19．(2013 辽宁，文 19)(本小题满分 12 分)现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答．试求： (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率； (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率． 解：(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题，基本事件为：{1,2}， {1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}， {5,6}，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}， 共 6 个，所以 P(A)＝

6 2 ? . 15 5

(2)基本事件同(1)，用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}， {2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共 8 个，所以 P(B)＝

8 . 15

2 2

20．(2013 辽宁，文 20)(本小题满分 12 分)如图，抛物线 C1：x ＝4y，C2：x ＝－2py(p＞0)．点 M(x0，y0) 在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)．当 x0＝1 ? 2 时，切线

MA 的斜率为 ?

1 . 2

(1)求 p 的值； (2)当 M 在 C2 上运动时， 求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A， B 重合于 O 时， 中点为 O)． 解：(1)因为抛物线 C1：x ＝4y 上任意一点(x，y)的切线斜率为 y ' =

2

x ， 2

且切线 MA 的斜率为 ? 为y??

1 ? 1? ，所以 A 点坐标为 ? ?1, ? ，故切线 MA 的方程 2 4? ?

1 1 ( x ? 1) ? . 2 4 因为点 M( 1 ? 2 ，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上， 1 1 3?2 2 于是 y0 ? ? (2 ? 2) ? ? ? ，① 2 4 4 (1 ? 2)2 3? 2 2 .② y0 ? ? ?? 2p 2p

由①②得 p＝2. (2)设 N(x，y)，A ? x1 ,

? ?

? x2 2 ? x1 ? x2 x12 ? ， B ? ? x2 , ? ，x1≠x2，由 N 为线段 AB 中点知 x ? 2 ，③ 4 ? 4 ? ?

y?

x ? x2 .④ 8

2 1 2

切线 MA，MB 的方程为

x1 x2 ( x ? x1 ) ? 1 ，⑤ 2 4 x x2 y ? 2 ( x ? x2 ) ? 2 ⑥ 2 4 y?

由⑤⑥得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为

x0 ?

x1 ? x2 xx ， y0 ? 1 2 . 2 4

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因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x0 2 ＝－4y0，

x12 ? x2 2 所以 x1 x2 ? ? .⑦ 6

由③④⑦得

x2 ?

4 y ，x≠0. 3

2

当 x1＝x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x ? 因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x ?

2

4 y. 3

4 y. 3

21．(2013 辽宁，文 21)(本小题满分 12 分) (1)证明：当 x∈[0,1]时， (2)若不等式 ax＋x ＋

2

2 x sin x≤x； 2

x3 ＋2(x＋2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立，求实数 a 的取值范围． 2 2 2 (1)证明：记 F(x)＝ sin x ? . x ，则 F′(x)＝ cos x ? 2 2 ? π? ? π? 当 x ? ? 0, ? 时，F′(x)＞0，F(x)在 ?0, ? 上是增函数； ? 4? ? 4? ?π ? ?π ? 当 x ? ? ,1? 时，F′(x)＜0，F(x)在 ? ,1? 上是减函数． ?4 ? ?4 ? 2 又 F(0)＝0，F(1)＞0，所以当 x∈[0,1]时，F(x)≥0，即 sin x≥ x. 2

记 H(x)＝sin x－x， 则当 x∈(0,1)时， H′(x)＝cos x－1＜0， 所以， H(x)在[0,1]上是减函数， 则 H(x)≤H(0) ＝0，即 sin x≤x. 综上，

2 x ≤sin x≤x，x∈[0,1]． 2

(2)解法一：因为当 x∈[0,1]时，

x3 ＋2(x＋2)cos x－4 2 x3 x 2 ? 4( x ? 2)sin 2 ＝(a＋2)x＋x ＋ 2 2

ax＋x2＋

? 2 ? x3 ? 4( x ? 2) ? ≤(a＋2)x＋x ＋ ? 4 x? ? 2 ? ?

2

2

＝(a＋2)x. 所以，当 a≤－2 时， 不等式 ax＋x ＋

2

x3 ＋2(x＋2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立． 2

下面证明，当 a＞－2 时，

x3 不等式 ax＋x ＋ ＋2(x＋2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立． 2

2

因为当 x∈[0,1]时，

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x3 ＋2(x＋2)cos x－4 2 x3 x 2 ? 4( x ? 2)sin 2 ＝(a＋2)x＋x ＋ 2 2

ax＋x2＋

x3 ? x? ≥(a＋2)x＋x ＋ ? 4( x ? 2) ? ? 2 ?2? 3 x 2 ＝(a＋2)x－x － 2 3 2 ≥(a＋2)x－ x 2 3 ? 2 ? ? ? x ? x ? (a ? 2) ? . 2 ? 3 ? x3 a?2 1 2 所以存在 x0∈(0,1)(例如 x0 取 和 中的较小值)满足 ax0 ? x0 ? 0 ＋2(x0＋2)cos x0－4＞0， 3 2 2

2

2

即当 a＞－2 时， 不等式 ax＋x ＋

2

x3 ＋2(x＋2)cos x－4≤0 对 x∈[0,1]不恒成立． 2

2

综上，实数 a 的取值范围是(－∞，－2]． 解法二：记 f(x)＝ax＋x ＋

x3 3x 2 ＋2(x＋2)cos x－4，则 f′(x)＝a＋2x＋ ＋2cos x－2(x＋2)sin x. 2 2

记 G(x)＝f′(x)，则 G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x. 当 x∈(0,1)时，cos x＞

1 ，因此 2

G′(x)＜2＋3x－4·

2 x－(x＋2) 2

＝ (2 ? 2 2)x ? 0 . 于是 f′(x)在[0,1]上是减函数，因此，当 x∈(0,1)时，f′(x)＜f′(0)＝a＋2，故当 a≤－2 时，f′(x) ＜0，从而 f(x)在[0,1]上是减函数，所以 f(x)≤f(0)＝0，即当 a≤－2 时，不等式 ax＋x ＋ 2)cos x≤4 对 x∈[0,1]恒成立． 下面证明，当 a＞－2 时， 不等式 ax＋x ＋

2 2

x3 ＋2(x＋ 2

x3 ＋2(x＋2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立． 2

7 ＋2cos 1－6sin 1. 2

由于 f′(x)在[0,1]上是减函数，且 f′(0)＝a＋2＞0，f′(1)＝a＋ 当 a≥6sin 1－2cos 1－ 数，故 f(1)＞f(0)＝0； 当－2＜a＜6sin 1－2cos 1－

7 时，f′(1)≥0，所以当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，因此 f(x)在[0,1]上是增函 2 7 时，f′(1)＜0，又 f′(0)＞0，故存在 x0∈(0,1)使 f′(x0)＝0，则当 0 2

＜x＜x0 时，f′(x)＞f′(x0)＝0.所以 f(x)在[0，x0]上是增函数，所以当 x∈(0，x0)时，f(x)＞f(0)＝0. 所以，当 a＞－2 时，

x3 不等式 ax＋x ＋ ＋2(x＋2)cos x≤4 对 x∈[0,1]不恒成立． 2

2

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综上，实数 a 的取值范围是(－∞，－2]． 22．(2013 辽宁，文 22)(本小题满分 10 分)选修 4－1：几何证明选讲 如图，AB 为 O 直径，直线 CD 与 O 相切于 E，AD 垂直 CD 于 D，BC 垂直 CD 于 C，EF 垂直 AB 于 F，连接 AE，BE.证明： (1)∠FEB＝∠CEB； 2 (2)EF ＝AD·BC. 证明：(1)由直线 CD 与 O 相切，得∠CEB＝∠EAB. 由 AB 为 O 的直径，得 AE⊥EB， 从而∠EAB＋∠EBF＝

π ； 2

π ， 2

又 EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝

从而∠FEB＝∠EAB. 故∠FEB＝∠CEB. (2)由 BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边， 得 Rt△BCE≌Rt△BFE，所以 BC＝BF. 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得 AD＝AF. 2 又在 Rt△AEB 中，EF⊥AB，故 EF ＝AF·BF， 2 所以 EF ＝AD·BC.

23．(2013 辽宁，文 23)(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆 C1，直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ ＝4sin θ ， ? cos ? ? ?

? ?

π? ? =2 2 . 4?

(1)求 C1 与 C2 交点的极坐标；

? x ? t 3 ? a, ? (2)设 P 为 C1 的圆心， Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点． 已知直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 (t∈R 为参数)， y ? t ?1 ? ? 2

求 a，b 的值． 2 2 解：(1)圆 C1 的直角坐标方程为 x ＋(y－2) ＝4， 直线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－4＝0.

? x2 ? 2, ? ? y2 ? 2. ?x ? y ? 4 ? 0 π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ? 4, ? ， ? 2 2, ? . 4? ? 2? ?

解?

? x 2 ? ? y ? 2?2 ? 4,

得?

? x1 ? 0, ? y1 ? 4,

注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)由(1)可得，P 点与 Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线 PQ 的直角坐标方程为 x－y＋2＝0. 由参数方程可得 y ?

b ab x? ? 1. 2 2

?b ? 1, ? ?2 所以 ? ? ? ab ? 1 ? 2, ? ? 2

解得 a＝－1，b＝2.

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24．(2013 辽宁，文 24)(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|x－a|，其中 a＞1. (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知关于 x 的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}，求 a 的值．

? ?2 x ? 6, x ? 2, ? 解：(1)当 a＝2 时，f(x)＋|x－4|＝ ? 2, 2 ? x ? 4, ? 2 x ? 6, x ? 4. ?

当 x≤2 时，由 f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得 x≤1； 当 2＜x＜4 时，f(x)≥4－|x－4|无解； 当 x≥4 时，由 f(x)≥4－|x－4|得 2x－6≥4，解得 x≥5； 所以 f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}． (2)记 h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，

??2a, x ? 0, ? 则 h( x ) ? ? 4 x ? 2a, 0 ? x ? a, ?2a, x ? a. ?

由|h(x)|≤2，解得

a ?1 a ?1 ?x? . 2 2

又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}，

? a ?1 ? 1, ? ? 2 所以 ? 于是 a＝3. a ? 1 ? ? 2. ? ? 2

2013

辽宁文科数学

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