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2018版高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式(二)学案苏教版必修5

3.2 一元二次不等式(一) 学习目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产 中抽象出一元二次不等式的模型, 并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法. 知识点一 分式不等式的解法 思考 x-3 x-3 >0 与(x-3)(x+2)>0 等价吗?将 >0 变形为(x-3)(x+2)>0,有什么好处? x+2 x+2 梳理 一般的分式不等式的同解变形法则: (1) f x >0?____________; g x ? ? f x ≤0?? g x ? ? (2) ; ; (3) f x f x -ag x ≥a? ≥0. g x g x 知识点二 一元二次不等式恒成立问题 思考 x-1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么?区间[2,3]与不等式 x-1>0 的解集 有什么关系? 梳理 一般地,“不等式 f(x)>0 在区间[a,b]上恒成立”的几何意义是函数 y=f(x)在区间 [a,b]上的图象全部在 x 轴________方.区间[a,b] 是不等式 f(x)>0 的解集的________. 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题, 即在[a,b]上, k≥f(x)恒成立?k≥________; 1 k≤f(x)恒成立?k≤________. 类型一 一元二次不等式在生活中的应用 例 1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距 1 1 2 离)s m 和汽车车速 x km/h 有如下关系:s= x+ x .在一次交通事故中,测得这种车的 20 180 刹车距离大于 39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到 1 km/h, 28 521 ≈168.882) 反思与感悟 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要弄清题意,准确找出其 中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”. 跟踪训练 1 在一个限速 40 km/h 的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同 时刹车,但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m,乙车的刹车距离略超 过 10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离 S m 与车速 x km/h 之间分别有如下关系:S 甲=0.1x +0.01x ,S 乙=0.05x+0.005x .问超速行驶谁应负主要责任. 2 2 类型二 分式不等式的解法 例 2 解下列不等式. 2 (1) x-3 x+1 <0;(2) ≤1. x+2 2x-3 反思与感悟 分式不等式的解法:先通过移项、通分整理成标准型 f x f x >0(<0)或 g x g x ≥0(≤0),再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母也可. 跟踪训练 2 解下列不等式. 2x-1 2-x (1) ≥0;(2) >1. 3x+1 x+3 3 类型三 不等式恒成立问题 例 3 设函数 f(x)=mx -mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 2 引申探究 若将例 3(2)改为:对于任意 m∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求实数 x 的取值范围. 反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常处理方法有两种: (1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值, 从而建立参变量的不等式; (2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数),并结合图象建立 参变量的不等式求解. 跟踪训练 3 当 x∈(1,2)时,不等式 x +mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________. 2 1.若不等式 x +mx+1≥0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是________. 2 . 若 产 品 的 总 成 本 y( 万 元 ) 与 产 量 x( 台 ) 之 间 的 函 数 关 系 式 是 y = 3 000 + 20x - 0.1x (0<x<240),若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本) 时的最低产量是________台. 3.不等式 x +x+k>0 恒成立时,k 的取值范围为________. 4.解下列不等式. (1) 2 2 2 x-1 2x-1 ≥0;(2) >1. x-2 3-4x 4 1.解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元二次不等式(组)求 解.当不等式含有等号时,分母不为零. 2.对于有的恒成立问题,分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予以分离后,问 题往往会转化为函数问题,从而得以迅速解决.当然这必须以参数容易分离作为前提.分离 参数时, 经常要用到下述简单结论: (1)若 f(x)有最大值 f(x)max, 则 a>f(x)恒成立?a>f(x)max; (2)若 f(x)有最小值 f(x)min,则 a<f(x)恒成立?a<f(x)min. 3. 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型, 选择其中起关键作用的未 知量为 x,用 x 来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解. 5 答案精析 问题导学 知识点一 思考 等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式. 梳理 (1)f(x)·g(x)>0 (2)f(x)·g(x)≤0 g(x)≠0 知识点二 思考 x-1>0 在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数 y=x-1 在区间[2,3]上的图象恒在 x 轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式 x-1>0 的解,反之不一定成立,故区间[2,3]是不 等式 x-1>0 的解集的子集. 梳理 上 子集 f(x)max 题型探究 1 1 2 例 1 解 根

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