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山东省各市2015届高三一模数学理试题分类汇编:统计与概率(1)


山东省各市 2015 届高三第一次模拟数学理试题分类汇编 统计与概率
一、选择题 1、(菏泽市 2015 届高三)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保 知识测试,得分(10 分制)的频率分布直方图如图所示,假设得分值的中位数为 me , 众数 m0 ,平均数为 x ,则( )

A. me ? m0 ? x

B. me ? m0 ? x

C. me ? m0 ? x

D. m0 ? me ? x

2、(青岛市 2015 届高三)在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后,所 剩数据的平均数和方差分别为 A. 5 和 1.6 B. 85 和 1.6 C. 85 和 0.4 D. 5 和 0.4

3、(潍坊市 2015 届高三)某同学寒假期间对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查,列出了如下 2×2 列联表: 偏爱蔬菜 50 岁以下 50 岁以上 合计 4 16 20 偏爱肉类 8 2 10 合计 12 18 30

则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为 A.90% B.95% C.99% D.99.9% 附:参考公式和临界值表 n(ad ? bc) 2 0.050 0.010 由 K2 ? , 2 P( K ≥ k ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

0.001 10.828

k

3.841

6.635

4、(烟台市 2015 届高三)甲乙两名同学参加某项技能比赛, 7 名裁判给两人打出的分数

如下茎叶图所示,依此判断(



A.甲成绩稳定且平均成绩较高 C.甲成绩稳定,乙平均成绩较高
5、(泰安市 2015 届高三)根据如下样本数据

B.乙成绩稳定且平均成绩较高 D.乙成绩稳定,甲平均成绩较高

得到的回归方程为 学科网$ y ? bx ? a.若a ? 7.9,则x 每增加 1 个单位,y 就 A.增加 1.4 个单位 C.增加 1.2 个单位 B.减少 1.4 个单位 D.减少 1.2 个单位

参考答案
1、D 2、B 3、C 4、D 5、B 二、填空题 1、(德州市 2015 届高三)某校对全校 1600 名男女学生的视力状况进行调查,现用分层抽样的方法 抽取一个容量是 200 的样本,已知女生比男生少抽 10 人,则该校的女生人数是____人。 2、(济宁市 2015 届高三)某企业对自己的拳头产品的销售价格(单位:元)与月销售量(单位: 万件)进行调查,其中最近五个月的统计数据如下表所示:

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是:

学科网$ y ? ?3.2 x ? 40,则n =

▲ .

3、(临沂市 2015 届高三)为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况,采用简单随机抽样的方法, 从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数,结果用 茎叶图表示(如图),据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教 师人数为_________.

参考答案
1、760 2、10 3、90 三、解答题 1、(德州市 2015 届高三)某科技公司组织技术人员进行新项目研发,技术人员将独立地进行项目 中不类型的实验 A,B,C,若 A,B,C 实验成功的概率分别为

4 3 2 , , 。 5 4 3

(I)对 A,B,C 实验各进行一次,求至少有一次实验成功的概率; (II)该项目要求实验 A,B 各做两次,实验 C 做 3 次,如果 A 实验两次都成功则进行实验 B 并获奖 励 10000 元,两次 B 实验都成功则进行实验 C 并获奖励 30000 元,3 次 C 实验只要有两次成功,则 项目研发成功并获奖励 60000 元(不重复得奖)。且每次实验相互独立,用 X 表示技术人员所获奖 励的数值,写出 X 的分布列及数学期望。 1、

2、(菏泽市 2015 届高三)已知一个袋子里装有只有颜色不同的 6 个小球,其中白球 2 个,黑球 4 个,现从中随机取球,每次只取一球。 (1)若每次取球后都放回袋中,求事件“连续取球四次,至少取得两次白球”的概率; (2)若每次取球后都不放回袋中,且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏,记游戏 结束时一共取球 X 次,求随机变量 X 的分布列与期望。 2、解:(1)记事件 Ai 表示“第 i 次取到白球”( i ? N * ),事件 B 表示“连续取球四次,至少取 得两次白球”,则:

B = A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 . ??2 分
P B ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4
16 ?4? 2 ?4? ? ? ? ? ?? ? ? 4 ? 27 ?6? 6 ?6?
? P ? B? ? 1? P B ?
4 3

? ?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

?



??????????????4 分

? ?

11 27

,????????????????????5 分

另解:记随机变量 ? 表示连续取球四次,取得白球的次数. 易知 ? ~B ? 4, ?
0 4 1 3

? ?

1? 3?

??2 分

11 ?1? ? 2? 1?1? ? 2? 则 P ?? ? 2 ? ? 1 ? P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 1? ? 1 ? C ? ? ? ? ? C4 ,..5 分 ? ? ? ? ? ?3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 27
0 4

(2)易知:随机变量 X 的取值分别为 2,3,4,5

??6 分

? P ? X ? 2? ?

2 C2 1 ? , 2 C6 15

P( X ? 3) ?

1 1 C2 C4 1 2 ? ? , 2 C6 4 15

P ? X ? 4? ?

1 2 C2 C4 1 1 ? ? , 3 C6 3 5

P ? X ? 5? ? 1 ?

1 2 1 3 ? ? ? , 15 15 5 5

??10 分

∴随机变量 X 的分布列为: X 2 3 4 5

P

1 15

2 15

1 5

3 5

????????????????????11 分 ∴随机变量 X 的期望为: EX ? 2 ?
1 2 1 3 13 ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? . 15 15 5 5 3

????12 分

3、(济宁市 2015 届高三)现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目,若甲应聘成功的概率 为

1 t ,乙、丙应聘成功的概率均为 ? 0 ? t ? 2 ? ,且三人是否应聘成功是相互独立的. 2 2 1 ,求三人中恰有两人应聘成功的概率; 2

(I)若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,求 t 的值; (II)若 t ?

(III)记应聘成功的人数为 ? ,若当且仅当 ? ? 2 时对应的概率最大,求 E ?? ? 的取值范围.

4、(临沂市 2015 届高三)在“出彩中国人”的一期比赛中,有 6 位歌手(1~6)登台演出,由现场 的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星,各家媒体独立地在投票器上选出 3 位出彩候选人, 其中媒体甲是 1 号歌手的歌迷,他必选 1 号,另在 2 号至 6 号中随机的选 2 名;媒体乙不欣赏 2 号 歌手,他必不选 2 号;媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱,因此在 1 至 6 号歌手中随机的选出 3 名. (I)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率; (II)X 表示 3 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和,求 X 的分布列及数学期望.

5、(青岛市 2015 届高三)某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自 本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示: 学院 人数 机械工程学院 海洋学院 医学院 经济学院

4

6

4

6

(Ⅰ) 从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言, 求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率; (Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 ? ,求随机变量 ? 的概率 分布列和数学期望.

6、 (日照市 2015 届高三)学校为测评班级学生对任课教师的满意度,采用“100 分制”打分的方式 来计分.现从某班学生中随机抽取 10 名,以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数 字为茎,个位数字为叶) : 规定若满意度不低于 98 分,测评价该教师为“优秀”. (I)求从这 10 人中随机选取 3 人,至多有 1 人评价该教师是“优秀”的概率; (II)以这 10 人的样本数据来估计整个班级的总体数据,若从该班任选 3 人, 记 ? 表示抽到评价该教师为“优秀”的人数,求 ? 的分布列及数学期望.

7、(潍坊市 2015 届高三)某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出 36 名学生,统计了他们的数 学成绩(成绩均为整数且满分为 120 分),成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:

[80,90) , [90,100) , [100,110) , [110,120] .
(Ⅰ)在这 36 名学生中随机抽取 3 名学生,求同时满足下 列两个条件的概率: ①有且仅有 1 名学生成绩不低于 110 分; ②成绩在 [90,100) 内至多 1 名学生;

(Ⅱ)在成绩是 [80,100) 内的学生中随机选取 3 名学生进行诊断问卷,设成绩在 [90,100) 内人数为 随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .

8、(烟台市 2015 届高三)为了进一步激发同学们的学习热情,某班级建立了理科、文科

两个学习兴趣小组,两组的人数如下表所示.现采用分层抽样的方法(层内采用简单随 机抽样)从两组中共抽取 3 名同学进行测试. ?1? 求从理科组抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率;

? 2 ? 记 ? 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

9、(淄博市 2015 届高三)为了开展全民健身运动,市体育馆面向市民全面开放,实行收费优惠,具 体收费标准如下: ①锻炼时间不超过 1 小时,免费; ②锻炼时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,收费 2 元; ③锻炼时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,收费 3 元; ④锻炼时间超过 3 小时的时段,按每小时 3 元收费(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)已知甲、乙 两人独立到体育馆锻炼一次,两人锻炼时间都不会超过 3 小时,设甲、乙锻炼时间不超过 1 小时的 概率分别是 0.4 和 0.5,锻炼时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.5 和 0.3. (1)求甲、乙两人所付费用相同的概率; (II)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? .

10、 (滨州市 2015 届高三)甲、乙两人进行射击训练,命中率分别为 乙射击 2 次均未命中的概率为

2 与 P,且各次射击互不影响, 3

1 。 25

(I)求乙射击的命中率; (II)若甲射击 2 次,乙射击 1 次,甲、乙两人一共命中次数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期 望。 11、 (泰安市 2015 届高三)下表为某专业的学生的毕业综合能力测试成绩(百分制)的频率分布表,

已知 80~90 分数段的学生数为 21 人. (I)求该专业毕业生综合能力测试成绩在 90~95 分数段内的人数; (II)现欲将 90~95 分数段内的毕业生派往甲、乙、丙三个单位,若向甲单位派往两名毕业生,且 其中至少有一名男生的概率分为

3 .求 90~95 分数段内男女各几人? 5

(III)在(II)的结论下,设随机变量 ? 表示派往乙单位的三名学生中男生的人数,求 ? 的分布列和 数学期望.

参考答案
1、

2、解:(1)记事件 Ai 表示“第 i 次取到白球”( i ? N * ),事件 B 表示“连续取球四次,至少取 得两次白球”,则:

B = A1 A2 A3 A4 +A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 + A1 A2 A3 A4 . ??2 分
P B ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4
16 ?4? 2 ?4? ? ? ? ? ?? ? ? 4 ? 27 ?6? 6 ?6?
? P ? B? ? 1? P B ?
4 3

? ?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

?



??????????????4 分

? ?

11 27

,????????????????????5 分

另解:记随机变量 ? 表示连续取球四次,取得白球的次数. 易知 ? ~B ? 4, ?
0 4 1 3

? ?

1? 3?

??2 分

11 ?1? ? 2? 1?1? ? 2? 则 P ?? ? 2 ? ? 1 ? P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 1? ? 1 ? C ? ? ? ? ? C4 ? ? ? ? ? ,..5 分 ?3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 27
0 4

(2)易知:随机变量 X 的取值分别为 2,3,4,5

??6 分

? P ? X ? 2? ?

2 C2 1 ? , 2 C6 15

P( X ? 3) ?

1 1 C2 C4 1 2 ? ? , 2 C6 4 15

P ? X ? 4? ?

1 2 C2 C4 1 1 ? ? , 3 C6 3 5

P ? X ? 5? ? 1 ?

1 2 1 3 ? ? ? , 15 15 5 5

??10 分

∴随机变量 X 的分布列为: X 2 3 4 5

P

1 15

2 15

1 5

3 5

????????????????????11 分 ∴随机变量 X 的期望为: EX ? 2 ? 3、
1 2 1 3 13 ? 3? ? 4 ? ? 5 ? ? . 15 15 5 5 3

????12 分

4、

3 5、解:(Ⅰ)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 C20 ,选出 3 人中任意两个均不属于同一学院的 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 方法数为 C4 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C6

????????4 分 ???????6 分

所以 P ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C4 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C6 8 ? 3 C20 19

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1, 2,3

P(? ? 0) ?

3 2 1 C16 C16 C4 8 ?15 ? 4 5 ? 7 ?16 28 8 ? ? , P ( ? ? 1) ? ? ? , 3 3 C20 3 ? 20 ?19 57 C20 3 ? 20 ?19 19 1 2 3 C16 C4 C4 16 ? 6 8 4 1 ????10 分 ? ? , P ( ? ? 3) ? ? ? 3 3 C20 3 ? 20 ?19 95 C20 3 ? 20 ?19 285

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为

?
P

[

0

1

2

3

28 57

8 19

8 95

1 285

所以 E (? ) ?

28 8 8 1 57 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ? ??????????????12 分 57 19 95 285 95
6、解: (Ⅰ)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人评价该教师为“优秀” ,至多有 1 人评价

该教师为“优秀”记为事件 A ,则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? 6分 (Ⅱ) ξ 的可能取值为0、1、2、3 ,

3 1 2 C7 C3 C 98 49 7 ????? ? ? ? 3 3 C10 C10 120 60

P(? ? 0) ? (

7 3 343 ) ? ; 10 1000

1 P(? ? 1) ? C3 ?

3 7 2 441 ?( ) ? ; 10 10 1000

3 7 189 P(? ? 2) ? C32 ? ( ) 2 ? ? ; 10 10 1000
分布列为

3 27 P(? ? 3) ? ( )3 ? . 10 1000

?
P

0
343 1000

1

2

3
27 1000
?????10分

441 1000

189 1000

E? ? 0 ?

343 441 189 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? 0.9 . 1000 1000 1000 1000

?????12分

注:用二项分布直接求解也可以. 7、

8、解:(1)两小组的总人数之比为 8:4=2:1,共抽取 3 人,所以理科组抽取 2 人, 文科组抽取 1 人, ???????2 分 从理科组抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有:一男一女、两女, 所以所求的概率为: P ?
1 1 C3 C5 ? C32 9 ? . C82 14

???????4 分

(2)由题意可知 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3, 相应的概率分别是

???????5 分

P(? ? 0) ?

1 1 1 1 C50C32 C3 C3 C5 C3 C32 1 9 48 , , ? P ( ? ? 1) ? ? ? 2 1 2 1 2 1 C8 C4 112 C8 C4 C8 C4 112 1 1 1 C3 C5 1 C52 C3 C52 1 45 10 , ,??????9 分 ? ? P ( ? ? 3) ? ? 2 1 2 1 2 1 C8 C4 C8 C4 112 C8 C4 112

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

9 48 112 112 48 45 10 3 E? ? 1? ? 2? ? 3? ? . 112 112 112 2

45 112

10 112

9、

10、

11、



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