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高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2_

1.4 导数在实际生活中的应用

学习目标 1.学会解决利润最大,用料最省, 效率最高等优化问题. 2.学会利用导数解决生活中简单实 际问题,并体会导数在解决实际问 题中的作用. 3.提高将实际问题转化为数学问题 的能力.

重点难点
重点:用导数解决实际生活中的最 优化问题. 难点:将实际问题转化为数学问题.

导数在实际生活中的应用 导数在实际生活中有着广泛的应用.例如,用料最省、利润最大、效率最高等问题, 常常可以归结为函数的______问题,从而可用________来解决. 预习交流 1 做一做:有一长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为 ______ m2. 预习交流 2 做一做:做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是 27π,且用料最省,则圆柱的底 面半径为______. 预习交流 3 用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题?

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做

个备忘吧!

我的学困点

我的学疑点

答案:

预习导引

最值 导数

预习交流 1:提示:设矩形长为 x m,则宽为(8-x) m,矩形面积 S=x(8-x)

(8>x>0),令 S′=8-2x=0,得 x=4.
此时 S 最大=42=16(m2). 27

预习交流 2:提示:设半径为 r,则高 h=r2,

27

54π

∴S=2πr·h+πr2=2πr·r2+πr2= r +πr2, 54π

令 S′=2πr- r2 =0,得 r=3, ∴当 r=3 时,用料最省.

预习交流 3:提示:(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,

不符合实际意义的值应舍去. (2)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还
应确定出函数关系式中自变量的定义区间. (3)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函
数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.
一、面积、体积最大问题
如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r.计划将此钢板切割 成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD=2x,梯形 面积为 S.
(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值. 思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助椭圆的方程,可表 示出等腰梯形的高.
用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比 另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类 问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自 变量的函数,然后利用导数的方法来解.
2.必要时,可选择建立适当的坐标系,利用点的坐标建立函数关系或曲线方程,有利 于解决问题.
二、费用最省问题
如图所示,设铁路 AB=50,B,C 之间距离为 10,现将货物从 A 运往 C,已知单位距离 铁路费用为 2,公路费用为 4,问在 AB 上何处修筑公路至 C,可使运费由 A 至 C 最省?
思路分析:可从 AB 上任取一点 M,设 MB=x,将总费用表示为变量 x 的函数,转化为函 数的最值求解.
某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?
Error!Error! 1.求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考虑,不
符合实际意义的理论值应舍去; 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函
数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值; 3.在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表

示,还应确定函数关系式中自变量的取值范围,即函数的定义域. 三、利润最大问题

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/

辆,年销售量为 5 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成

本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销

售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.

(1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入

成本增加的比例 x 应在什么范围内?

( )5

-x2+2x+

(2)若年销售量关于 x 的函数为 y=3 240

3 ,则当 x 为何值时,本年度的

年利润最大?最大利润是多少?

思路分析:根据题意建立目标函数关系式,利用导数求解.

某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的 1
关系为 P=24 200-5x2,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+200x 元.问该产品每月生产多 少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)
利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤: 第一步,分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问 题中变量之间的函数关系 y=f(x). 第二步,求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0. 第三步,比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最 大(小)值.

1.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为______.
( ) 60-x
2.一个箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2 2 (0<x<60),则当箱子的 容积最大时,x 的值为__________.
3.将 8 分成两个非负数之和,使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小, 则这个最小值等于__________.
4.以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为__________. 5.某商品每件成本 9 元,销售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格,销售量 可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量 x(单位:元,0≤x≤30)的平 方成正比.已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

提示:用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能

的要领部分写下来并进行识记.

知识精华

技能要领

答案: 活动与探究 1:解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示),

则点 C 的横坐标为 x,点 C 的纵坐标为 y,满足方程 x2 ? y2 ? 1 (y>0), r2 4r2

解得 y=2 r2-x2(0<x<r). 1

S=2(2x+2r)·2 r2-x2=2(x+r)· r2-x2, 其定义域为{x|0<x<r}. (2)记 f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0<x<r, 则 f′(x)=8(x+r)2(r-2x).
1

令 f′(x)=0,得 x=2r.

( ) 1

1

1

r

因为当 0<x<2r 时,f′(x)>0;当 2r<x<r 时,f′(x)<0,所以 f 2 是 f(x)的

最大值.

( ) 1

1 33

fr

因此,当 x=2r 时,S 也取得最大值,最大值为 2 = 2 r2,即梯形面积 S 的最大

33

值为 2 r2. 迁移与应用:
解:设容器底面短边的边长为 x 14.8-4x-4(x+0.5)

m,则另一边长为(x+0.5)

m,高为

4

=3.2-2x(m).

由题意知 x>0,x+0.5>0,

且 3.2-2x>0,∴0<x<1.6.

设容器的容积为 V m3,

则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x)

=-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).

∴V′=-6x2+4.4x+1.6.

令 V′=0,有 15x2-11x-4=0,

4

解得 x1=1,x2=-15(舍去). ∴当 x∈(0,1)时,V′(x)>0,V(x)为增函数,
x∈(1,1.6)时,V′(x)<0,V(x)为减函数.
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8,这个极大值就是 V 在 x∈(0,1.6)时的最大
值,即 Vmax=1.8.这时容器的高为 1.2 m. ∴当高为 1.2 m 时,容器的容积最大,最大值为 1.8 m3.
活动与探究 2:解:设 MB=x,于是 AM 上的运费为 2(50-x),MC 上的运费为 4 102+x2,则由 A 到 C 的总运费为
p(x)=2(50-x)+4 100+x2(0≤x≤50). 4x

p′(x)=-2+ 100+x2,令 p′(x)=0,

10

10

解得 x1= 3,x2=- 3(舍去).

10

10

10

当 x< 3时,p′(x)<0;当 x> 3时,p′(x)>0,所以当 x= 3时,取得最小值. 10 3

即在离 B 点距离为 3 的点 M 处筑公路至 C 时,货物运费最省. 迁移与应用: 解:设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,则
2 160 × 10 000

f(x)=(560+48x)+ 10 800

2 000x

=560+48x+ x (x≥10,x∈N*), 10800
f′(x)=48- x2
令 f′(x)=0,得 x=15 或 x=-15(舍去), 当 x>15 时,f′(x)>0; 当 10≤x<15 时,f′(x)<0, 因此当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2000. 故为了楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 15 层. 活动与探究 3:解:(1)由题意得:上年度的年利润为(13-10)×5 000=15 000(万元);

本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x);

本年度每辆车的出厂价为 13×(1+0.7x);

本年度年销售量为 5 000×(1+0.4x), 因此本年度的年利润为 y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5 000×(1+0.4x) =(3-0.9x)×5 000×(1+0.4x) =-1 800x2+1 500x+15 000(0<x<1), 由-1 800x2+1 500x+15 000>15 000,
5

解得 0<x<6. 5

所以当 0<x<6时,本年度的年利润比上年度有所增加.

(2)本年度的年利润为

( )5

-x2+2x+

f(x)=(3-0.9x)×3 240×

3

=3 240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),

则 f′(x)=3 240×(2.7x2-9.6x+4.5)

=972(9x-5)(x-3),

5

由 f′(x)=0,解得 x=9或 x=3(舍去),

( )5
0, 当 x∈ 9 时,f′(x)>0,f(x)是增函数;

( ) 5 ,1 当 x∈ 9 时,f′(x)<0,f(x)是减函数.

( ) 5

5

所以当 x=9时,f(x)取极大值 f 9 =20 000 万元.

因为 f(x)在(0,1)上只有一个极大值,所以它是最大值,

5

所以当 x=9时,本年度的年利润最大,最大利润为 20 000 万元. 迁移与应用:

解:每月生产 x 吨时的利润为

( )1

24 200- x2

f(x)=

5 x-(50 000+200x)

1

=-5x3+24 000x-50 000(x≥0). 3

由 f′(x)=-5x2+24 000=0, 解得 x1=200,x2=-200(舍去). 因为 f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x=200 使 f′(x)=0,故它就是最大值点,且最
1

大值为 f(200)=-5×2003+24 000×200-50 000=3 150 000(元). 答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.

当堂检测

1.2πr2 解析:如图,设内接圆柱的底面半径为 R,母线长为 L,则 R=rcos θ,L=2rsin θ,所以侧面积 S=2πrcos θ·2rsin θ=4πr2sin θcos θ.



S′=4πr2(cos2θ-sin2θ)=0,解得?

?

π 4

?????

?

? ??

0,

π 2

?? ????

,即当?

?

π 4

,也就是

2 R= r 时,侧面积 S 最大,且最大值为 2πr2.
2

1

3

2.40 解析:V(x)=-2x3+30x2,V′(x)=-2x2+60x,令 V′(x)=0,得

x=40(x=0 舍去),且当 0<x<40 时 V′(x)>0;当 40<x<60 时 V′(x)<0,故 V(x)在

x=40 时取得最大值.

3.44 解析:设其中一个数为 x,则另一个数为 8-x,且 0≤x≤8,

则 y=x3+(8-x)2=x3+x2-16x+64,

y′=3x2+2x-16=0,

( ) 8

x=- 舍去

解得 x=2

3 ,且当 0≤x≤2 时,y′≤0;当 2≤x≤8 时,y′≥0,故当

x=2 时,y 取最小值 44.

4.25 解析:设矩形垂直于直径的一边长为 x,则另一边长为 2 25-x2,于是矩形面

( ) 50-4x2

52

52

x=- 舍去

积 S(x)=2x· 25-x2,则 S′(x)= 25-x2,令 S′(x)=0 得 x= 2

2

,因

( ) 5 2

52

此当 x= 2 时面积取最大值为 S 2 =25.

5.解:(1)设商品降价 x 元时,多卖出的商品数为 kx2,若记商品在一个星期的销售

利润为 f(x),

则由题意,得 f(x)=(30-x-9)(432+kx2)

=(21-x)(432+kx2).

又由已知条件 24=k·22,得 k=6.

∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30].

(2)由(1),知 f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

[0,2)

2

(2,12)

12

(12,30]

f′(x)



0



0



f(x)

A

极小值

A

极大值

A

故 x=12 时,f(x)有极大值,x=2 时,f(x)有极小值.

又 f(0)=9 072,f(2)=8 664,f(12)=11 664,

所以定价为 30-12=18 元,能使一个星期的商品销售利润最大.


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