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16.2.1二次根式的概念和性质-新课标11 (1)


二次根式

1.二次根式的概念

? 正数有两个平方根且互为相反数;

1、平方根的性质:?

0有一个平方根就是它0;

? 负数没有平方根。

1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么?

2、0的平方根是什么?0的算术平方根是什么?
3、-7有没有平方根?有没有算术平方根?

正数和0都有算术平方根;负数没有算术平方根。

2、 a 表示什么? 表示非负数a的算术平方根
试一试 :说出下列各式的意义;

1 16, ? 81, 0, ? , 0.04; 49
观察:

上面几个式子中,被开方数的特点? 被开方数是非负数

1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根,
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。

它必须具备如下特点: 1、根指数为 2; 2、被开方数必须是非负数。
想一想: 10 、 -5 、 8
2

3

5 3 、 (-2)2

a (a<0﹚、

a +0.1 、 -a (a<0﹚是不是二次根式?

例1 : 判断,下列各式中那些是二次根式?

a ? 10,
? 5,
定义:式子

0..04 04,, 0
a a ,,
3

aa ,
2

2

,

8.
叫做二次根式.

a (a ? 0)

其中a叫做被开方式。

不要忽略

例 2:要使 x-1 有意义,字母 x 的取值必须满足 什么条件? 解:由 x-1≥0,得 x≥1。
问:将式子 x-1 改为 1-x ,则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢?

x-2 例 3:要使 有意义,字母 x 的取值必须满足 x-3 什么条件?

解:由 x-2≥0,且 x-3≠0,

得 x ≥2 且 x ≠3 。

x-2 想一想: 假如把题目改为: 要使 有意义, x-1 字母 x 的取值必须满足什么条件? x≥2
想一想:一个正数的算术平方根是 正数 。 零的算术平方根是

0。

没有 负数有没有算术平方根?

做一做: 要使下列各式有意义,字母的取值必 须满足什么条件? 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2

5、 x-3 + 4-x

二次根式的性质(1)
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1: a ≥0 (a≥0) (双重非负性)

引例:|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a=

b=

例 4:已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解:∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0,
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。

二次根式的性质(2)
想一想
2

? a ? ?a ? 0? 等于什么?请举例验证.
? ?
2

性质2: a ? a, (a ? 0)

? ?

试一试(3)计算: 2 2 ? 5? ? ?= 3 = 3 ? 2? ? ?

5 2

?

0.04 = 0.04

?

2

我们已经得到:
根据等式的定义,可得

? a?

2

? a , ( a ? 0)

a?

? a ? , (a ? 0。 )
2

利用这个式子,我们可以把任何一个非负数写 2 成一个数的平方的形式。如 4= 4 。

? ?

试一试(4)把下列各数写成平方的形式:

3=

? 3 ?,
2

? 5? 5 ? ? ? ? ? 2 2 ? ?

2

0.04 ?

?

0.04

?

2

( a ) ? a (a ? 0)
2
2 2 ( ) ? 7
2

面积 a
a

a

2 7

1 1 2 ( 2 ) ? 2 3 3

(? 5) ? 5

2 2 2 ? (? ) ? 3 3

二次根式的性质(3)
算一算: 02 = 0 ; 22 = 2 ; (-2)2 = 2 ; 32 = 3 ; (-3)2 = 3 。
想一想: a2 等于什么呢?

性质 3:当 a≥0 时, a2 = 当 a<0 时, a2 = 也就是说: a2 =
算一算:(1) (3) (-9) 64
2

a
-a

; 。


|a|

(2)

1 2 ( ) 3

(4) (x2+1)2

a ? a?
2

a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
a?

归 纳
a 2 ?a ? 0? 。



a ? a?a ? 0?,可以得
2

利用这个式子,可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式,例: 5 ? 25,

0.9 ? 0.81

试一试
1.计算下列各题:

(1)
2.若

? 15 ?
a
2

2

(2)
2

? 1? ?? ? ? 5?

2

(1 ? x ) ? 1 ? x,则x的取值范围为
2

(

)

A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数

与 (√ a ) 是一样的吗? 你的理由是什么,请小组讨论一下。
3.

1、什么叫做二次根式? 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点? (1)根指数为 2;

课堂小结

(2)被开方数必须是非负数。 3、二次根式具有哪些性质? 性质 1: a ≥0 (a≥0) (双重非负性)
性质 2:( a )2 = a (a≥0)
性质 3:当 a≥0 时, a2 = 当 a<0 时, a2 = 也就是说: a2 = a -a |a| ; 。


a ? a?
2

例2 计算:
(1)
2

a (a ? 0) ?a (a ? 0)
2

(?10 ) ? ( 15 )
2

(2) [ 2 ? (?2) ] ? 2 ? 2 2

例3 计算:

3 2 2 4 2 ( ? ) ?| ? | 5 3 5 3

书P7的课内练习

( a ) ? a (a ? 0)
2

a ( a ? 0 ) 2 a ? a ? ? a(a ? 0) 2 2 a 与( a)一样吗? 你的理由是什么?

补充:分别说出下列各式成立 的a的取值范围:
(1) ( ? a ) ? a
2

(2)
(3)

( ?a ) ? ?a
2

(a ? 2) ? 2 ? a
2

例5:已知:x<0,化简: 16 x

2

解 :

16x ? (4 x ) ? 4 x
2 2

∵x<0 , ∴4x<0, ∴原式 = -4x

练一练:
化简 : x ? 6 x ? 9 ? x ? 2 x ? 1
2 2

(其中-1 ? x ? 3)

化简:
(1)

2

10

( 2)
2

a

4

(3) (4)
(5)

(a>1 ) 1 ? 2a ? a 2 2 ( x ? 1) ? 9 ? 6 x ? x
(1<x<3 )

ab

2 2 (a<0,b>0)

( a ) ? a(a ? 0)
2

a ( a ? 0 ) 2 a ? a ? ? a(a ? 0)

注意区别 a 与( a)

2

2

课本 第 10 页l 练习1和2


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