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最新 (人教A版)数学【选修2-2】1-5-1、2《曲边梯形的面积、汽车行驶的路程》课件_图文

第一章 导数及其应用 §1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 自 学 导 引 通过实例(如求曲边梯形的面积等 ),从问题情境中,了解 定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想. 课 前 热 身 1.曲边梯形的面积. (1)曲边梯形: 由直线 x=a, x=b(a≠b), y=0 和曲线 y=f(x) 所围的图形称为__________(如图①). (2)求曲边梯形面积的方法: 把区间[a,b]分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一 些__________. 对每个小曲边梯形“以直代曲”, 即用________ 的面积近似代替__________的面积,得到每个小曲边梯形面积 的__________,对这些近似值__________,就得到曲边梯形面 积的________(如图②). (3)求曲边梯形面积的步骤: ① __________ , ② __________ , ③ __________ , ④ __________. 2.求变速直线运动的路程. 如果物体做变速直线运动,速度函数 v=v(t),那么也可以 采用________,________,________,________的方法,求出 它在 t∈[a,b]内所运动的路程 s. 自 我 校 对 1.(1)曲边梯形 (2) 小曲边梯形 求和 近似值 (3)分割 近似代替 求和 取极限 求和 取极限 矩形 小曲边梯形 近似值 2.分割 近似代替 名 师 讲 解 1.求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割:n 等分区间[a,b]; (2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi]; b-a (3)求和: ?f(ξi)· ; n i=1 n b-a (4)求极限:S=lim ?f(ξi)· . n n→∞i=1 n 2.求和时常用的一些公式 1 (1)1 +2 +3 +?+n = n(n+1)(2n+1). 6 2 2 2 2 n?n+1? 2 (2)1 +2 +3 +?+n =[ ]. 2 3 3 3 3 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 典例剖析 一 求曲边梯形的面积 如图①,求直线x=0,x=3,y=0与二次函数 【例1】 f(x)=-x2+2x+3所围成的曲边梯形的面积. 图① 【分析】 骤进行. 按照“分割→近似代替→求和→取极值”的步 【解】 (1)分割 图② 3?i-1? 如图②,分割将区间[0,3]n等分,则每个小区间[ n , 3i 3 n ](i=1,2,?,n)的长度为Δx= n .分别过各分点作x轴的垂线, 把原曲边梯形分成n个小曲边梯形. (2)近似代替 以每个小区间的左端点函数值为高作n个小矩形.则当n很 大时,用n个小矩形面积之和Sn近似代替曲边梯形的面积S. (3)求和 3?i-1? Sn= ?f( n )Δx i=1 n 9?i-1?2 3?i-1? 3 = ?[- +2× +3]× 2 n n n i=1 n 27 2 2 18 2 =- n3 [1 +2 +?+(n-1) ]+ n2 [1+2+3+?+(n-1)]+ 9 27 1 18 n?n-1? =- 3 × (n-1)n(2n-1)+ 2 × +9 n 6 n 2 1 1 1 =-9(1-n)(1-2n)+9(1-n)+9. 1 1 1 ∴S≈Sn=-9(1- )(1- )+9(1- )+9. n 2n n (4)取极限 S=limSn n→∞ 1 1 1 =lim[-9(1-n)(1-2n)+9(1-n)+9] n→∞ =-9(1-0)(1-0)+9(1-0)+9=9, 即所求曲线梯形面积为S=9. 规律技巧 该题中,从图形上看,当n越大时,划分越来 越细,阴影部分的面积与曲边梯形的面积相差越来越小,当 n→∞时,阴影部分面积趋近于曲边梯形的面积,因此9就是曲 边梯形的面积. 二 求变力所做的功 【例2】 如果物体在常力作用下沿直线运动,且力与位 移同向,那么力对物体所做的功W就是F与位移的乘积.但如 果作用的力不是一个常数,而是随着位移的不同而变化,即力 F是位移x的函数F=F(x),假定在变力F的作用下沿x轴由x=a 移动到b(b>a),求这种变力所做的功是多少? 【分析】 求变力在位移a≤x≤b内所做的功,可以按照 求曲边梯形面积的方法进行,即按分割、近似代替、求和、取 极限四步解决. 【解】 (1)分割:将a,b之间分割成n个小区间.设a= x0<x1<x2<?<xi-1<xi<?<xn=b.记第i个区间的长度为Δxi=xi-xi- 1(i=1,2,?,n).并在小区间[xi-1,xi]内任取一点ξi. (2)近似代替:如果区间很小,由F在[xi-1,xi]内变化不 大,可近似看作常力,把F(ξi)记为这个常力,那么物体从xi-1 到xi所做的功ΔWi=F(ξi)· Δxi(i=1,2,?,n). (3)求和:在整个区间[a,b]上变力F所做的功就近似地表 示为W≈ ?f(ξi)Δxi. i=1 n n (4)取极限:W=lim ?f(ξi)· Δxi. n→∞i=1 规律技巧 把变力所做功的问题转化为常力所做的功.采 用的方法仍然是:分割,近似代替,求和,取极限四步.求曲 边梯形面积和求变速直线运动的路程,虽然它们的意义不同, 但都可以归纳成求一个特定形式的极限,抛去它们的实际意 义,就会得到定积分的概念. 随堂训练 1.把区间[1,3]n等分,所得n个小区间的长度均为( 1 A.n 3 C. n 2 B.n 1 D. 2n ) 答案 B 2.把区间[a,b]n等分后,第i个小区间是( ?i-1 i ? ? A.? , ? n n? ? ? ?i-1 ? i ? ? B.? ?b

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