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等差数列前n项和公式导学案 2


必修 5 第二章自主学案

班级

姓名

学号

§2.3 等差数列的前 n 项和(1)
一、学习目标
1. 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 2. 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些与前 n 项和有关的问题.

二、复习回顾
复习 1:什么是等差数列?等差数列的通项公式是什么?

复习 2:等差数列有哪些性质?

三、课前预习(自学教材 P42 ? 43 )探究:等差数列的前 n 项和公式
一般地,称 为数列 {an } 的前 n 项的和,用 S n 表示,即 S n ? 由高斯算法,对于公差为 d 的等差数列,我们用两种方式表示 S n

S n ? a1 ? ( a2 ) ? ( S n ? an ? (an?1 ) ? (
由 ①+②

) ? ? ? (an?1 ) ? ( ) ? ? ? ( a2 ) ? (

) ) ②



2S n ? (a1 ? a n ) ? (a1 ? a n ) ? ( ) ? ?? ? ( ) ??????????? ??????????? ?
n个

? n(

).

由此得到等差数列 {an } 的前 n 项的和的公式
Sn ?

如果带人公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ,

S n也可以用首项 a1与公差d表示,即

Sn ?

自测 (1)计算 1+2+…+100= (2)计算 1+2+…+ n = (用 n 表示).

四、典型例题
题型 1. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , a5 ? 33 ,求 S 5 .

1

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练习 1:在等差数列 {an } 中, a1 ? ?4, d ? ? ,求 S10 .

1 3

P44 例 2:在等差数列 {an } 中, S10 ? 310, S 20 ? 1220 , 求前n项和S n的公式.

练习 2:等差数列 {an } 中,已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 , Sn ? 242 ,求 n.

练习 3:数列{ a n }是等差数列,公差为 3, a n =10,前 n 项和 S n =22,求 n 和 a3 .

五、总结提升
n(a1 ? an ) ,必须具备三个条件: 2 n(n ? 1)d 2. 用 Sn ? na1 ? ,必须已知三个条件: 2
1. 用 Sn ? 列方程组可以求出其余的两个. . .

3. 等差数列中的 “知三求二” 问题, 即: 已知等差数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,

六、当堂检测(时量:15 分钟 满分:10 分)计分:
1.在等差数列 {an } 中, S10 ? 120 ,求 a1 ? a10 ? A. 12 A.5880 A. 24 B. 24 B.5684 B. 26 C. 36 C.4877 C. 27 D. 48 ). ) D.4566 2. 在 50 和 350 之间,所有末位数字是 1 的整数之和是(

3. 已知等差数列的前 4 项和为 21,末 4 项和为 67,前 n 项和为 286,则项数 n 为( D. 28

2

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§2.3 等差数列的前 n 项和(2)
一、学习目标 1. 已知 S n ,求 an ;
2. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 S n 的最大(小)值.

二、复习回顾
复习 1:等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3,求 S 5 .

复习 2:等差数列{ a n }中,已知 a3 ? 1 , a5 ? 11 ,求

和 S8 .

三、课前预习(自学教材 P44 ? 45 ):思考问题
如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,那么这 个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?

仿照例 3 完成 题型一:已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3n2 ? 2n ,,求这个数列的通项公式. 这个数列是 等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

四、典型例题
1 2 练习 1:已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式. 4 3

3

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小结:数列通项 a n 和前 n 项和 S n 关系为
? S (n ? 1) an = ? 1 ,由此可由 a n = ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)

.求出 a n ,并验证 a 1 。

题型 2:已知等差数列 5,

9 7 , 4, , 3,?? 的前 n 项和为 S n ,求使得 S n 最大的序号 n 的值. 2 2

练习 2:等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ a n }的前 n 项和 S n 的最小值.

小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法. (1)利用 a n : 当 a n >0,d<0,前n项和有最大值,可由 a n ≥0,且 an ?1 ≤0,求得n 的值; 当 a n <0,d>0,前n项和有最小值,可由 a n ≤0,且 an ?1 ≥0,求得n 的值 d d (2)利用 S n :由 Sn ? n2 ? (a1 ? )n ,利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的值. 2 2
王新敞
奎屯 新疆

思考: 等差数列{ a n }, a1 ? 0 , S9 ? S12 ,该数列前多少项的和最小。

五、当堂检测(时量:10 分钟 满分:10 分)计分:
1. 下列数列是等差数列的是( A. an ? n2 A. 3 B. Sn ? 2n ? 1 B. 4 ). C. Sn ? 2n2 ? 1 ). D. 12 ). C. 6 D. Sn ? 2n2 ? n

2. 等差数列{ a n }中,已知 S15 ? 90 ,那么 a8 ? (

3. 等差数列{ a n }的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A. 70 B. 130 C. 140 D. 170 4. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2,这些数的和为 1 5. 在等差数列中,公差 d = , S100 ? 145 ,则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 ? 2

. .

4


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