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高中数学选修2-2第一、三章导数复数测试题


高二数学理科综合能力单元过关检测

选修 2-2

2014-03

高二数学理科
一、选择题
1.函数 y = x + x 的递增区间是( A. (0,??) B. (??,1)
3

选修 2-2

第一、三章测试题

班级_____________

姓名____________

) D. (1,??) )

C. (??,??)

2.已知复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1·z2 是实数,则实数 t 等于( 3 A. 4 [答案] A 4 B. 3 4 C.- 3 3 D.- 4

3 [解析] z1· z 2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i.因为 z1·z2 是实数,所以 4t-3=0,所以 t= .因此选 4 A. 3.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( A.充分不必要条件 B.不能判断 C.充要条件 D.必要不充分条件 ) )



4.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值,最小值分别是( A.5,-15 C.-4,-15 [答案] A B.5,-4 D.5,-16

[解析] ∵y′=6x2-6x-12=0,得 x=-1(舍去)或 x=2,故函数 y=f(x)=2x3-3x2-12x+5 在[0,3] 上的最值可能是 x 取 0,2,3 时的函数值,而 f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,故最大值为 5,最小值为 -15,故选 A. 1 5.已知三次函数 f(x)= x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2 在 R 上是增函数,则 m 的取值范围是 3 ( ) B.-4<m<-2 D.以上皆不正确

A.m<2 或 m>4 C.2<m<4 [答案] D [解析] f ′(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7,

由题意得 x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7≥0 恒成立,∴Δ=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7) =64m2-32m+4-60m2+8m+28 =4(m2-6m+8)≤0, ∴2≤m≤4,故选 D. 6.函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? cos x, 在 [0, 2? ) 上是的最大值为
3 2

1

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A.

4 27
)

B.

8 27

C.

16 27

D.

32 27

7.设 f(x)、g(x)是定义域为 R 的恒大于 0 的可导函数,且 f ′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时有 (

A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(x) [答案] C f?x? [解析] 令 F(x)= g?x? f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? 则 f ′(x)= <0 g2?x? ∵f(x)、g(x)是定义域为 R 且恒大于零 ∴F(x)在 R 上为单调递减函数, f?x? f?b? 当 x∈(a,b)时, > g?x? g?b? ∴f(x)g(b)>f(b)g(x).故应选 C. 8.由曲线 y=x2-1、直线 x=0、x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是 ( )

A.?2(x2-1)dx

?0

B.|?2(x2-1)dx|

?0

C.?2|x2-1|dx

?0

D.?1(x2-1)dx+?2(x2-1)dx

?0

?1

[答案] C [解析] y=|x2-1|将 x 轴下方阴影反折到 x 轴上方,其定积分为正,故应选 C.

题号 答案

1 A

2 B

3 D

4 B

5 A

6 D

7 A

8 C

二、填空题 9.若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数 x+y 的值为________. [答案] x=1,y=1 [解析] 原式可以化为 (3y-2x)+(x-10y)i=1-9i,
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根据复数相等的充要条件,有
? ? ?3y-2x=1, ?x=1, ? 解得? ?x-10y=-9. ? ? ?y=1.

10. 曲线 y ? x 在(1,1)处的切线方程是____ 2 x ? y ? 1 ? 0 ____
2

11. 设 Z=

a ?5 ? (a 2 ? 2a ? 15)i 为实数时,实数 a 的值是 ___3 ______ a ? 4a ? 5
2
1

1 12.(2010· 江苏南通)计算?e dx=________. ?x [答案] 1 1 [解析] ?e dx=lnx|e 1=lne-ln1=1. ?x
1

13.由曲线 y2=2x,y=x-4 所围图形的面积是________. [答案] 18
?y2=2x ? [解析] 如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线交点的坐标,解方程组? 得交点坐 ? ?y=x-4

标为(2,-2),(8,4). y2 因此所求图形的面积 S=?4-2(y+4- )dy 2 ?

1 y3 y2 取 F(y)= y2+4y- ,则 F′(y)=y+4- ,从而 S=F(4)-F(-2)=18. 2 6 2 14. 设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, 令 an=lgxn, 则 a1+a2+…


+a99 的值为________. [答案] -2 [解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质. k=y′|x=1=n+1,∴切线 l:y-1=(n+1)(x-1),

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n n 令 y=0,x= ,∴an=lg , n+1 n+1 1 2 99 ∴原式=lg +lg +…+lg 2 3 100 1 2 99 1 =lg × ×…× =lg =-2. 2 3 100 100 三.解答题 15.已知复数 z ? (2 ? i )m 2 ?

6m ? 2(1 ? i) 。 当实数 m 取什么值时,复数 z 是 1? i
(3) 复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。
2

(1) 虚数; (2) 纯虚数;

15. 解:由于 m ? R ,复数 z 可表示为 z ? (2 ? i)m ? 3m(1 ? i ) ? 2(1 ? i )

? (2m2 ? 3m ? 2) ? (m2 ? 3m ? 2)i
(1) 当 m ? 3m ? 2 ? 0 即 m ? 2 且 m ? 1 时, z 为虚数。
2

?2m 2 ? 3m ? 2 ? 0 (2) 当 ? ? 2 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0
2

即 m ? ? 1 时, z 为纯虚数。
2

(3) 当 2m ? 3m ? 2) ? ?(m ? 3m ? 2) 即 m ? 0 或 m ? 2 时, z 为复平面内第二、四象限角
2

平分线上的点对应的复数。 16. (12分)已知函数 y ? ax ? bx ,当 x=1 时,有极大值 3。
3 2

(1) 求 a,b 的值; (2)求函数 y 的极小值。 16. 解: ( 1 )则题意 f ?(1) ? 0 , f (1) ? 3 ;∵ f ?( x) ? 3ax ? 2bx ,∴ f ?(1) ? 3a ? 2b ? 0 ,又
2

f (1) ? a ? b ? 3 , 解 得 a ? ?6, b ? 9 ; ( 2 ) 由 上 题 得 f ( x) ? ?6 x 3 ? 9 x 2 ,
f ?( x) ? ?18 x 2 ? 18 x ? ?18 x( x ? 1) ; 当 f ?( x) ? 0 得 x=0 或 x=1, 当 f ?( x) ? 0 得 0<x<1 当 f ?( x) ? 0
得 x<0 或 x>1;∴函数 f ( x) ? ?6 x ? 9 x 有极小值 f (0) ? 0 .
3 2

17.(本题满分 14 分)(2010· 江西理,19)设函数 f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; 1 (2)若 f(x)在(0,1]上 的最大值为 ,求 a 的值. 2 [解析] 函数 f(x)的定义域为(0,2), 1 1 f ′(x)= - +a, x 2-x -x2+2 (1)当 a=1 时,f ′(x)= ,所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为( 2,2); x?2-x?
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2-2x (2)当 x∈(0,1]时,f ′(x)= +a>0, x?2-x? 1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a= . 2 18、已知函数 f(x)=x3-

1 2 x -2x+5 2
由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?

( 1 ) 求函数的单调区间。(2)求函数在[-1,2]区间上的最大值和最小值。 18 解: (1) f ?( x) ? 3x ? x ? 2
2

2 或 x ? 1, 3

故函数的单调递增区间为(-∞,由 f ?( x) ? 0 得 ?

2 ) , (1,+∞) ; 3

2 2 故函数的单调递减区间为( ? ,1) ? x ?1 3 3 2 157 (2)由(1)知 f (? ) ? 是函数的极大值, f (1) ? 3.5 是函数的极小值; 3 27 11 而区间[-1,2]端点的函数值 f (?1) ? , f (2) ? 7 2
故在区间[-1,2]上函数的最大值为 7,最小值为 3.5 19. (14分)在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂 位于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C, 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元, 问供水站 C 建在岸边何处才能使 水管费用最省? 19.解: 根据题意知, 只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置, 才能使总运费最省, 设 C 点距 D 点 x km, 则 ∵BD=40,AC=50-x, ∴BC= BD ? CD ?
2 2

x 2 ? 40 2
2 2

又设总的水管费用为 y 元,依题意有:y=30(5a-x)+5a x ? 40 y′=-3a+

(0<x<50)

5ax x 2 ? 40 2

,令 y′=0,解得 x=30 在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义,

函数在 x=30(km)处取得最小值,此时 AC=50-x=20(km) ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省.
2 20. 已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a) .

(1) 若 f ?(?1) ? 0 ,求函数 y ? f ( x) 在[-

3 ,1]上的极大值和极小值; 2
1 3

(2) 若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围.
2 20.解:(Ⅰ)∵ f ?(?1) ? 0 ,∴ 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 . ∴ f ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ? 3( x ? )( x ? 1) .

1 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ; 3

1 由 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? ? . 3

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3 1 1 因此,函数 f ( x) 的单调增区间为 (? , ? 1) , (? , 1) ;单调减区间为 (?1, ? ). 2 3 3

1 1 50 . f ( x) 在 x ? ?1 取得极大值为 f (?1) ? 2 ; f ( x) 在 x ? ? 取得极小值为 f (? ) ? 3 3 27

(Ⅱ) ∵ f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? a ,∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 1 . ∵函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,∴ f ?( x) ? 0 有实数解. ∴ D ? 4a2 ? 4 ? 3 ?1 ? 0 ,∴ a 2 ? 3 ,即 a ? ? 3 或 a ?
? 3 ] ? [ 3, ? ?) . 因此,所求实数 a 的取值范围是 (??, 3.

21.(本题满分 14 分)已知函数 f(x)=-x3+ax2+1(a∈R).
? 2? ?2 ? (1)若函数 y=f(x)在区间?0,3?上递增,在区间?3,+∞?上递减,求 a ? ? ? ?

的值; (2)当 x∈[0,1]时,设函数 y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为
?3 ? θ,若给定常数 a∈?2,+∞?,求 θ 的取值范围; ? ?

(3)在(1)的条件下, 是否存在实数 m, 使得函数 g(x)=x4-5x3+(2-m)x2 +1(m∈R)的图象与函数 y=f(x)的图象恰有三个交点. 若存在, 请求出实数 m 的值;若不存在,试说明理由. [解析]
?2? (1)依题意 f ′?3?=0, ? ?

?2? 2 由 f ′(x)=-3x2+2ax,得-3?3?2+2a·=0,即 a=1. 3 ? ?

a? a ? (2)当 x∈[0,1]时,tanθ=f ′(x)=-3x +2ax=-3?x-3?2+ . 3 ? ?
2

2

?3 ? ? a ?1 由 a∈?2,+∞?,得 ∈?2,+∞?. 3 ? ? ? ? ? ?3 ? a2 a ?1 ? ? ? ? ①当 ∈ 2,1 ,即 a∈ 2,3 时,f ′(x)max= , 3 ? 3 ? ? ?

f(x)min=f ′(0)=0. a2 此时 0≤tanθ≤ . 3
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a ②当 ∈(1,+∞),即 a∈(3,+∞)时,f ′(x)max=f ′(1)=2a-3, 3 f ′(x)min=f ′(0)=0, 此时,0≤tanθ≤2a-3.
? a2? 3 又∵θ∈[0,π),∴当 <a≤3 时,θ∈?0,arctan 3 ?, 2 ? ?

当 a>3 时,θ∈[0,arctan(2a-3)]. (3)函数 y=f(x)与 g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1(m∈R)的图象恰有 3 个交 点,等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1 恰有 3 个不等实根, ∴x4-4x3+(1-m)x2=0, 显然 x=0 是其中一个根(二重根), 方程 x2-4x+(1-m)=0 有两个非零不等实根,则
? ?Δ=16-4?1-m?>0 ? ?1-m≠0 ?

∴m>-3 且 m≠1 故当 m>-3 且 m≠1 时,函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象恰有 3 个交点.

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