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部编版2020高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制第1课时预习导航学案新人教A版必修86

1.1 任意角和弧度制(第 1 课时)

课程目标

预习导航

学习脉络

1.理解任意角的概念,能区分各类角的概念. 2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角. 3.理解终边相同的角的含义及其表示,并能解决有关问题.

1.任意角

任意角

定义

正角

按逆时针方向旋转形成的角

负角

按顺时针方向旋转形成的角

零角 一条射线没有作任何旋转形成的角

思考 1 始边和终边重合的角一定是零角吗?

提示:零角的始边和终边重合,但是始边和终边重合的角不一定是零角,始边和终边重

合的角是周角的整数倍,即 k·360°(k∈Z).

思考 2 将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转 60°所形成的角,与按顺时针方向旋转

60°所形成的角是否相等?

提示:不相等,度量一个角的大小,既要考虑旋转量,又要考虑旋转方向,故题中两种

旋转方法所形成的角不相等.

按逆时针方向旋转 60°得到的角记为 60°,按顺时针方向旋转 60°得到的角记为-

60°.

2.象限角

(1)前提:

①角的顶点:与原点重合;

②角的始边:与 x 轴的非负半轴重合.

(2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;

角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限.

思考 3 请写出角的终边在各象限的集合表示.

提示:象限角的取值范围

第一象限角:

{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z};

第二象限角:

1

{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z};

第三象限角:

{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z};

第四象限角:

{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}.

思考 4 请写出终边在坐标轴上的角的集合表示.

提示:终边在坐标轴上的角:

角的终边的位置

集合表示

x 轴的非负半轴

{α|α=k·360°,k∈Z}

x 轴的非正半轴 {α|α=k·360°+180°,k∈Z}

y 轴的非负半轴 {α|α=k·360°+90°,k∈Z}

y 轴的非正半轴 {α|α=k·360°+270°,k∈Z}

y轴

{α|α=k·180°+90°,k∈Z}

x轴

{α|α=k·180°,k∈Z}

坐标轴

{α|α=k·90°,k∈Z}

3.终边相同的角

终边相同的角的集合:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S

={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与整

数个周角的和.

思考 5 若角 α,β 的终边相同,那么 α 与 β 相等吗?

提示:若角 α,β 的终边相同,则它们的关系为:将角 α 的终边旋转(逆时针或顺时

针)k(k∈Z)周即得角 β,所以 α,β 的数量关系为 β=k·360°+α(k∈Z),即 α,β

的大小相差 360°的 k 倍,所以 α 与 β 不一定相等.例如,45°与-675°的终边相同,

但它们不相等,相差 720°即 360°的 2 倍.

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