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圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理


圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题) 知识梳理
浙江省诸暨市学勉中学(311811)郭天平 圆的标准方程、 一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点; 涉及直线与圆、 圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。 一、有关圆的基础知识要点归纳 1. 圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心, 定长为半径. 2. 圆的标准方程 ① 圆的标准方程:由圆的定义及求轨迹的方法,得 ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ?r ? 0? ,
2 2 2

其中圆心坐标为 ?a, b ? ,半径为 r ;当 a ? 0, b ? 0 时,即圆心在原点时圆的标准方程为

x2 ? y2 ? r 2 ;
② 圆的标准方程的特点:是能够直接由方程看出圆心与半径,即突出了它的几何意 义。 3. 圆的一般方程 ① 圆 的 一 般 方 程 : 展 开 圆 的 标 准 方 程 , 整 理 得 ,

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 ;
② 圆的一般方程的特点: (1) x , y 项系数相等且不为 0; (2)没有 xy 这样的二次 项 ③ 二 元 二 次 方 程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 必 要 条 件 是
2 2 2 2

?

?

A ? C ? 0 且 B ? 0;
二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是 A ? C ? 0
2 2

且 B ? 0 且 D ? E ? 4 AF ? 0
2 2

4. 圆的参数方程 圆的参数方程是由中间变量 ? 将变量 x, y 联系起来的一个方程. ① 圆心在原点,半径为 r 的圆的参数方程是: ?

? x ? r cos? (? 为参数) ; ? y ? r sin ?

② 圆心在 ?a, b ? ,半径为 r 的圆的参数方程是: ? 5. 圆方程之间的互化

? x ? a ? r cos? (? 为参数) ; ? y ? b ? r sin ?

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0
配方

?

?

?

D? ? E? D 2 ? E 2 ? 4F E? ? ? D 即 圆 心 ? ? ,? ? , 半 径 ?x ? ? ??x ? ? ? 2? ? 2? 4 2? ? ? 2

2

2

r?

? x ? a ? r cos? 1 2 2 (? 为参数) D 2 ? E 2 ? 4 F ? 利用 ?r cos? ? ? ?r sin? ? ? r 2 得 ? 2 ? y ? b ? r sin ?

6. 确定圆方程的条件 圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数,因此要确定圆方程需要三个 独立的条件,而确定圆的方程我们常用待定系数法,根据题目不同的已知条件,我们可适 当地选择不同的圆方程形式,使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件, 一般设圆的标准方程,即列出 a, b, r 的方程组,求出 a, b, r 的值,也可根据圆的特点直接 求出圆心 ?a, b ? ,半径 r 。当圆心位置不能确定时,往往选择圆的一般方程形式,由已知 条件列出 D, E , F 的三个方程,显然前者解的是三元二次方程组,后者解的是三元一次方 程组,在运算上显然设一般式比标准式要简单。 7. 点与圆的位置关系 设 圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r , 点 M ? x0 , y 0 ? 到 圆 心 的 距 离 为 d , 则 有 :
2 2 2

(1) d ? r ? 点 M 在圆外; (2) d ? r ? 点 M 在圆上; (3) d ? r ? 点 M 在圆内. 8. 直线与圆的位置关系 设圆 C : ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r , 直线 l 的方程为 Ax ? By ? C ? 0( A, B 不全为 0) ,
2 2 2

圆心 ?a, b ? ,判别式为△,则有: (1) ① ② ③ 几何特征(数形结合) :由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断 d ? r ? 直线与圆相交; d ? r ? 直线与圆相切; d ? r ? 直线与圆相离;

(2) 代数特征:由直线方程与圆方程联立方程组,研究其解的个数来判断位置关系

① ② ③

△>0 ? 有两组不同的实数解 ? 直线与圆相交; △=0 ? 有两组相同的实数解 ? 直线与圆相切; △<0 ? 无实数解 ? 直线与圆相离.

(3) 直线与圆相交的弦长问题 ①直线与圆相切时,要考虑过切点与切线垂直的半径; ②求弦长时,要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形,即设弦长为 l ,弦心距

?l? 2 2 为 d ,半径为 r ,则有 ? ? ? d ? r . 2 ? ?
③弦长公式:设直线交圆于 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? 1 ? k AB ? x A ? x B
2

2

或 AB ? 1 ?

1 ? y A ? yB . k2

(4) 圆的切线方程: ① 设切点公式法:已知圆 O1 : x ? y ? r ; O2 : ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ;
2 2 2
2 2 2

O3 : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则以 M ?x0 , y0 ? 为切点的圆 O1 切线方程为: x0 x ? y 0 y ? r 2 ;圆 O2 切线方程为:?x0 ? a ??x ? a ? ? ? y 0 ? b ?? y ? b ? ? r 2 ;圆 O3 切线方
程为: xx0 ? yy0 ?

D? x ? x 0 ? E ? y ? y 0 ? ? ? F ? 0. 2 2

②设切线斜率用判别式法:用点斜式写出直线方程并与圆方程联立方程组,消 x (y) ,再用判别式 ? ? 0 解出切线斜率 k ;若点在圆上,切线一条,点在圆内无切线,点 在圆外,有两条切线;对切线斜率不存在的情况,可单独考虑。 ③设切线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法 ④若 M ?x0 , y 0 ? 在圆 O1 外,到圆 O1 有两条切线,则切点弦方程: x0 x ? y 0 y ? r .
2

9.圆与圆的位置关系 设圆 C1 : ?x ? a ? ? ? y ? b ? ? r , C 2 : ?x ? m? ? ? y ? n ? ? R 且设两圆圆心距
2 2 2 2 2 2

为d . (1) 几何特征(数形结合) :由圆心距与半径 r 、 R 的大小来判断 ① d ? R ? r ? 两圆外切; ②

d ? R ? r ? 两圆内切且两圆的连心线过切点;

③ ④ ⑤

d ? R ? r ? 两圆外离;
d ? R ? r ? 两圆内含; R ? r ? d ? R ? r ? 两圆相交.

(2) 代数特征:由两圆方程联立方程组,研究其解的个数来判断位置关系 ① △>0 ? 有两组不同的实数解 ? 两圆相交; ② △=0 ? 有两组相同的实数解 ? 两圆相切; ③ △<0 ? 无实数解 ? 两圆相离. 10.两圆的公切线 ① 两圆相离时,四条公切线; ② 两圆相外切时,有三条公切线; ③ 两圆相交时,有两条公切线; ④两圆相内切时,有一条公切线; ⑤ 两圆内含时,无公切线。 11.圆系方程 ① 设两相交圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0
2 2

C1 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0
则 C3 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ) ? 0 ?? ? ?1? 表示过
2 2

2

2

两圆交点的圆(不包括 C 2 ); 当 ? ? ?1 时 ?D1 ? D2 ?x ? ?E1 ? E2 ? y ? F1 ? F2 ? 0 表示两圆的公共弦所在的直线方 程. ② x ? y ? Dx ? Ey ? F ? ? ?ax ? by ? c ? ? 0 表示过圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2 2 2

与直线 ax ? by ? c ? 0 交点的圆. ③

?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2

? k 2 ( k 为变数)表示以 ?a, b ? 为圆心的同心圆系。

④ 端点圆方程:一个圆的直径的端点是 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则

?x ? x1 ??x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 为端点圆方程。
12.与直线和圆有关的轨迹问题 ① 几何法:由于圆的几何性质特别明显和突出,因此在关于直线与圆有关的轨迹问 题中,巧用几何性质,抓住动点的限制关系,这种方法同众多方法中最简单的; ② 交轨法:求两条直线、直线与曲线的交点的轨迹,首先选用的是交轨法,交轨法

必须选定一个参数,选怎么样的一个参数最合理?具体问题具体对待. 用交轨法求轨迹方 程简单、明了、直观,容易下手. 但真正的难处在于如何消去参数获得轨迹的一般方程, 最一般的技巧就是怎么巧妙地借用已知曲线的方程来消去参数。 ③ 转移法(代入法) :轨迹上的动点(被动点)受到另一动点(主动点)所制约,如 果主动点的轨迹已知或可求得,而且主动点与被动点的关系也可以求出,简而言之是一种 “点随点动型” ,即将所求动点转移到已知曲线(或可求曲线)上,得所求动点的轨迹, 称为转移(代入)法. 二、有关圆问题的注意事项 1.在用待定系数法求圆方程时,一定要注意分析已知条件中圆的特点及规律,并能 运用数形结合的思想,即利用平面知识充分挖掘其几何特征,联立待定系数的方程组,使 问题简单化。 2.在讨论直线与圆,圆与圆的位置问题时,一般不用 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ,而用圆心 到直线距离 d 与半径 r ,和圆心距与半径的大小关系,分别确定相交,相切,相离的位置 关系。 3.涉及跟圆上的点有关的一些求取值范围、最值等问题,可利用圆的参数方程,转 化为三角函数问题,可使问题简捷化。 4.要重视基本思想、方法、规律:如数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思 想、函数与不等式的思想、待定系数法等.


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