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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修4课件:第二章 平面向量 2.4.2_图文

阶 段 一

阶 段 三

2.4 第 2 课时
阶 段 二

向量的数量积 数量积的坐标表示
学 业 分 层 测 评

1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐 标表示进行向量数量积的运算.(重点) 2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离 公式.(重点) 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.(重点、 难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 平面向量数量积的坐标运算

阅读教材 P86“思考”以上内容,完成下列问题.
x1x2+y1y2 若两个向量为 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=____________ ,即两个向

量的数量积等于它们_____________________ 对应坐标的乘积的和 .

1.已知 a=(1,-1),b=(2,3),则 a· b=________.
【解析】 ∵a=(1,-1),b=(2,3), ∴a· b=1×2-3=-1.

【答案】 -1 2.已知 a=(-2,x),b=(0,1),若 a· b=3,则 x=________.
【解析】 ∵a=(-2,x),b=(0,1), ∴a· b=x=3.

【答案】 3

教材整理 2

向量的长度、夹角、垂直的坐标表示

阅读教材 P86“思考”~P87“例 2”以上部分内容,完成下列问题.
2 2 x + y 1.向量的模:设 a=(x,y),则 a =x +y ,即|a|=________.
2 2 2

2.向量的夹角公式:设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),它们的夹

x1x2+y1y2 2 2 2 2 a· b x + y · x + y 1 1 2 2 . 角为 θ,则 cos θ=|a||b|=________________
x1x2+y1y2=0 ;反之,若 x1x2+y1y2=0,则 a⊥b. 特别地,若 a⊥b,则________________

1. 已知 a=(-5,5), b=(0, -3), 则|a|=________, a 与 b 的夹角为________.
【解析】 ∵a· b=-15, |a|= ?-5?2+52=5 2,|b|=3, -15 2 a· b ∴cos θ= = =- , |a||b| 5 2×3 2 又 θ∈[0,π] , 3π ∴θ= . 4
【答案】 3π 5 2 4

2.已知 a=(3,1),b=(x,-5),若 a⊥b,则 x=________.
【解析】 ∵a⊥b,∴a· b=0, ∴3x-5=0, 5 ∴x= . 3
【答案】 5 3

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[ 小组合作型]
数量积的坐标运算

已知 a = (1,3) , b = (2,5) , c =(2,1) ,求 (1)a· b ; (2)(a + b)· (2a + b) ; (3)(a· b)· c.

【精彩点拨】 先求相关向量的坐标,再代入坐标运算表达式求解.

【自主解答】 (1)a· b=1×2+3×5=17. (2)∵a+b=(3,8), 2a+b=(4,11), ∴(a+b)· (2a+b)=12+88=100. (3)(a· b)· c=17c=(34,17).

利用数量积的条件求平面向量的坐标, 一般来说应当先设出 向量的坐标,然后根据题目中已知的条件,找出向量坐标满足的 等量关系,利用数量积的坐标运算,列出方程组来进行求解.

[ 再练一题] 1.已知 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求 a· (b· c)及(a· b)· c.

【解】 (1)设 a=λb=(λ,2λ)(λ>0),则有 a· b=λ+4λ=10,∴λ=2, ∴a=(2,4). (2)∵b· c=1×2-2×1=0,a· b=1×2+2×4=10, ∴a· (b· c)=0a=0, (a· b)· c=10(2,-1)=(20,-10).

向量的夹角 已知 A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值. → → 【精彩点拨】 先求AB,AC,再代入向量夹角公式求∠BAC 的余弦值. → 【自主解答】 ∵AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3), → AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6), → → AB· AC=3×(-1)+3×6=15. → 又|AB|= 32+32=3 2, → |AC|= ?-1?2+62= 37, → → AB· AC 15 5 74 ∴cos∠BAC= = = . → → 3 2× 37 74 |AB||AC|

已知 a,b 的坐标求夹角时,应先求出 a,b 及|a|,|b|,再代 入夹角公式,由夹角的余弦值确定夹角的大小.

[ 再练一题] 15 2.已知向量 a=(-1,2),b=(2,-4),|c|= 5,若(c-b)· a= ,则 a 与 c 2 的夹角为________.

【解析】 ∵a· b=-10, 15 ∴(c-b)· a=c· a-b· a=c· a+10= , 2 5 ∴c· a=- . 2

设 a 与 c 的夹角为 θ,则 5 - 2 1 a· c cos θ= = =- . |a||c| 2 5× 5 又 θ∈[0° ,180° ], ∴θ=120° .

【答案】 120°

[ 探究共研型]
向量平行与垂直的综合应用

探究 1 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若 a∥b,则其坐标间满足什么等量 关系?a⊥b 呢? 【提示】 a∥b?x1y2-x2y1=0; a⊥b?x1x2+y1y2=0.

探究 2 在△ABC 中,已知点 A,B,C 的坐标,如何用向量法求 BC 边上 的高的大小?
→ → 【提示】 设高 AD 交边 BC 于点 D,由 B,D,C 三点共线及AD· BC=0 可

→ 求点 D 的坐标,进而可求|AD|.

已知在△ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD 为 BC 边上 → 的高,求|AD|与点 D 的坐标. 【导学号:06460063】 → → → → → 【精彩点拨】 设 D(x,y),由BD=λBC及AD· BC=0 可求 D,进而求|AD|.

【自主解答】 设点 D 坐标为(x,y), → → → 则AD=(x-2,y+1),BC=(-6,-3),BD=(x-3,y-2), → → ∵D 在直线 BC 上,即BD与BC共线, → → ∴存在实数 λ,使BD=λBC, 即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),

? ?x-3=-6λ, ∴? ? ?y-2=-3λ,

∴x-3=2(y-2),即 x-2y+1=0.① → → 又∵AD⊥BC,∴AD· BC=0, 即(x-2,y+1)· (-6,-3)=0, ∴-6(x-2)-3(y+1)=0, 即 2x+y-3=0.②

? ?x=1, 由①②可得? ? ?y=1,

→ 即 D 点坐标为(1,1),AD=(-1,2), → ∴|AD|= ?-1?2+22= 5, → 即|AD|= 5,D(1,1).

1.向量的垂直问题主要借助于结论:a⊥b?a· b=0?x1x2 +y1y2=0, 把几何问题转化为代数问题. 它对于解决向量以及平 面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握. 2.两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截 然不同,不能混淆.

[ 再练一题] 3.已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a⊥c. (1)求 b 和 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m 与向量 n 的夹角的大小. 【解】 (1)∵a∥b,∴3x-36=0, ∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y=0,∴y=-3, ∴b=(9,12),c=(4,-3).

(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1), m· n 设 m,n 的夹角为 θ,则 cos θ=|m||n| -3×7+?-4?×1 = ?-3?2+?-4?2× 72+12 -25 2 = =- 2 . 25 2 3π 3π ∵θ∈[0,π] ,∴θ= 4 ,即 m,n 的夹角为 4 .

[ 构建· 体系]

1.已知 a=(-1,3),b=(2,-1),则 a 与 b 的夹角为________.
-1×2+3×?-1? 【解析】 cos θ= ?-1?2+32 22+?-1?2 -5 2 3π = =- ,又 θ∈[0,2π] ,∴θ= . 2 4 10× 5
【答案】 3π 4

2.已知 a=(4,7),b=(-5,-2),则|a-b|=________.
【解析】 因为 a-b=(9,9),所以|a-b|= 92+92=9 2.

【答案】 9 2

3.向量 m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n,则 x=________. 【解析】 4(x-5)+x=0,∴x=4. 【答案】 4

4.设向量

?1 1? ? , a=(1,0),b=? ?2 2?,则下列结论中正确的是________. ? ?

2 ①|a|=|b|;②a· b= ; 2 ③a-b 与 b 垂直;④a∥b.
【解析】 由题知|a|= 1 +0 =1,|b|=
2 2

?1? ? ? ? ?2 ?1?2 ?2? +?2? = ? ? ? ?

2 , 2

1 1 1 a· b=1× +0× = , 2 2 2 1 1 (a-b)· b=a· b-|b| = - =0, 2 2
2

故 a-b 与 b 垂直.

【答案】 ③

5.已知三点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 的对角线的长 度. 【导学号:06460064】

【解】 (1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), → → ∴AB=(1,1),AD=(-3,3). → → 则AB· AD=1×(-3)+1×3=0, → → ∴AB⊥AD,即 AB⊥AD.

→ → → → (2)∵AB⊥AD,四边形 ABCD 为矩形,∴AB=DC. → 设 C 点的坐标为(x,y),则DC=(x+1,y-4),
? ?x+1=1, 从而有? ? ?y-4=1, ? ?x=0, 即? ? ?y=5,

∴C 点的坐标为(0,5). → → ∵BD=(-4,2),∴|BD|=2 5, 即矩形 ABCD 的对角线的长度为 2 5.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) (2) _________________________________________________ _________________________________________________

学业分层测评(二十二)
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