当前位置:首页 >> 数学 >>

专题:空间向量在立体几何中的应用


专题:空间向量在立体几何中的应用
一、选择题

1.已知 O (0,0,0) A0, ,11 ? B ? ? ? , OA ? ?OB 与 OB 的夹角为 120°,则 ? 的值为 , ?,1 0 , , 0
( ) A. ?

??? ?

??? ?

??? ?

6 6 6 B. C. ? D. ? 6 6 6 6 2.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=AA1,∠ABC=90° ,点 E,F 分别是棱 AB,

BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是 A.45° C.90° B.60° D.120°

(

).

? 3.平面 ? 的一个法向量为 n ? (1,? 3,0) ,则 y 轴与平面 ? 所成
的角的大小为( A . ) B .

? 6

? 3

C.

? 4

D.

5? 6

4.已知平面 ? 的法向量 (1, ?2,2) ,平面 ? 的法向量 (?2,4, k) ,若 ? / / ? ,则 k 的值为
(A)5 (C) ?4 (B)4 (D) ?5

5.已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等,
A1 在底面 ABC 上的射影 D 为 BC
的中点,则异面直 )

线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为 (

A.

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4

6.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a , E、 分别是边 BC、 的中点, 点 F AD ??? ??? ? ? 则 AE ? AF 的值为( )
2 A. a

B.

1 2 a 2

C.

1 2 a 4

D.

3 2 a 4
).

7.若平面 α ,β 的法向量分别为 u=(-2, 3,-5),v=(3,-1, 4),则(
A.α ∥β C.α 、β 相交但不垂直 B.α ⊥β D.以上均不正确 )

8.若 A(1, ?2,1) , B(4, 2,3) , C (6, ?1, 4) ,则 ?ABC 的形状是(
1

A.不等边锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等边三角形

9.在一个正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动点,O 为底面正方
形 ABCD 的中心, , N 分别为 AB, BC 中点, Q 为平面 ABCD 内一点, 点 线段 D1Q 与 OP M 互相平分,则满足 MQ ? ? MN 的实数 ? 的值有 ( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.

???? ?

???? ?

) 3个
D1 A1

10.平面 α 的一个法向量为 v1=(1,2,1),平面 β 的一个法向量为
v2=(-2,-4,10),则平面 α 与平面 β A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定

P

C1

B1

11.如图, 平面 ? ? 平面 ? ,A ? ? , B ? ? , AB 与两平面 ? , ? 所

? ? 成的角分别为 和 ,线段 AB 在 ? ? ? ? l 上的射影为 4 6
A' B ' ,若 AB ? 12 ,则 A ' B ' ?

D
O

C

Q

N

A

M

B

A. 4

B. 6

C. 8

D. 9

12.在直三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中,
?BAC ?

?
2

, AB ? AC ? AA1 ? 1, D和F 分别为棱 AC、AB 上的动

点(不包括端点) ,若 C1F ? B1D, 则线段 DF 长度的取值范围为

A. [

2 3 , ] 2 2

B. [

3 ,1) 3

C. [

2 ,1) 2

D. [

2 2 , ] 3 2
D1 P ? ? 。 ?APC 为 当 D1 B

二、填空题

13.设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的对角线 BD1 上, 记
钝角时,则 ? 的取值范围是 。

14.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,-3,1) ,点 M 在 y 轴上,且 M 到 A
与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是 。
????
????

15.(理科)在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,向量 BA1 与向量 AC 所成的角

?


?

16.已知 a ? (3? ,6, ? ? 6) , b ? (? ? 1,3,2? ) 为两平行平面的法向量,则 ? ? 17.已知 a =(2,-1,3) b =(-1,4,-2) c =(7,5,λ) a 、b 、c 三向量共 面, , , ,若
则实数λ等于
? ?

18.已知 a ? (3? ,6, ? ? 6) ,b ? (? ? 1,3,2? ) 为两平行平面的法向量,则 ? ?
2



19.已知平行六面体 ABCD? A1 B1C1 D1 ,以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1, 且两两夹角
都等于 600 ,则 AC1 =_________

三、解答题 20.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 ,

AB ? 2 . AN ? PC 于点 N , M 是 PD 中点.
(1)用空间向量证明:AM⊥MC,平面 ABM ⊥平面 .......

P

PCD ;
(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值; (3)求点 N 到平面 ACM 的距离.

N

M

21.(本小题满分 12 分)

A 如图(1)在直角梯形 ABCP 中,BC∥AP,AB⊥BC, CD⊥AP, AD=DC=PD=2, F、 分别是 PC、 E、 G PD、 B BC 的中点,现将△ PDC 沿 CD 折起,使平面 PDC⊥平 面 ABCD(如图 2) (1)求二面角 G-EF-D 的大小; (2)在线段 PB 上确定一点 Q,使 PC⊥平面 ADQ,并给出证明过程.

D C

22.(本小题满分 14 分)
如图,在棱长为 1 的正方体 AC1 中,

E 、 F 分别为 A1 D1 和 A1 B1 的中点.
(1)求异面 直线 AF 和 BE 所成的角 的余弦值; (2)求平面 ACC1 与平面 BFC 所成的锐二面角; 1 (3)若点 P 在正方形 ABCD 内部或其边界上,且 A1 1 D1 E 1 C1 1 B1 1

F

EP // 平面 BFC1 ,求 EP 的取值范围.

D A B

C

3

23.如图,在四棱锥 A-ABCD 中,底面 ABCD 是 正方形,其他四个侧面都是等边三角形,AC 与 BD 的交点为 O,E 为侧棱 SC 上一点. (1)当E为侧棱SC的中点时,求证:SA∥平 面BDE; (2)求证:平面BDE⊥平面SAC; (3)当二面角E-BD-C的大小为45°时, 试判断点E在SC上的位置, 并说明理由.

24.(本题满分 12 分)如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=1,
∠BCA=90°,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. (1)求 BN 的长; (2)求 cos< BA1 ,CB1 >的值; (3)求证:A1B⊥C1M.

25.如图, 在各棱长均为 2 的三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 中, 侧面 A 1 ACC 1 ⊥底面 ABC, A 1 AC=60°. ∠
(Ⅰ)求侧棱 AA 1 与平面 AB 1 C 所成角的正弦值的大小;

(Ⅱ)已知点 D 满足 BD ? BA ? BC , 在直线 AA 1 上是否存 在点 P,使 DP∥平面 AB 1 C?若存在,请确定点 P 的位置; 若不存在,请说明理由.

??? ?

??? ??? ? ?

26.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD,点 E 在棱 PB 上.

4

P

(Ⅰ 求证:平面 AEC ? 平面 PDB ; )

(Ⅱ 当 PD ? )
?

且直线 AE 与平面 PBD 成 2 AB ,

E

角为 45 时,确定点 E 的位置,即求出

PE 的值. EB
A

D

C

B

27.正三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, AB ? 2 , D 是 AC 中
点,且 AB1 ? BC1 (Ⅰ)求侧棱 AA 的长; 1 (Ⅱ)求二面角 D ? BC1 ? C 的余弦值.

A1

B1 C1

A

B

28.如图 5,正△ ABC 的边长为 4, CD 是 AB 边上的
高,E , F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ ABC 沿

D

C

CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B .
(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角 E ? DF ? C 的余弦值; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使 AP ? DE ?如果存在,求出 在,请说明理由。

BP 的值;如果不存 BC

29.(本小题满分 12 分)如图所示,已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,在某个空间直角坐标系中,

???? ??? ? m ? 3m ? ???? AB ? ? , ? , 0 ? , AC ? ? m, 0, 0 ? , AA1 ? ? 0, 0, n ? ,其中 m 、 n ? 0 ?2 ? 2 ? ?
(1)证明:三棱柱 ABC ? A1B1C1 是正三棱柱;
5

(2)若 m ? 的大小。

2n ,求直线 CA1 与平面 A1 ABB1 所成角

30.如图,在平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知 AB ? 2 , AD ? 1 , AA? ? 3 ,
?CBA ? ?CBB? ? ?BAA? ? 600 ,求 A?C 的长.

32.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=900.
M 为 AB 的中点 (1)求证:BC//平面 PMD (2)求证:PC⊥BC; (3)求点 A 到平面 PBC 的距离.

M

6

33.如图,平行四边形 ABCD 中, BD ? CD ,正方形 ADEF 所在的平面和平面 ABCD 垂
直, H 是 BE 的中点, G 是 AE , DF 的交点.

(1)求证: GH // 平面 CDE ; (2)求证: BD ? 平面 CDE .

34.在如图所示的几何体中, EA ? 平面 ABC , DB ? 平面 ABC , AC ? BC , AC ? BC
? BD ? 2AE , M 是 AB 的中点.建立适当的空间直角坐标系,解决下列问题:

⑴求证: CM ? EM ; ⑵求 CM 与平面 CDE 所成角的大小.

35.(本小题满分 12 分)如图 6,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是
BC 的中点,AA1=AB=1。 (1)求证:平面 AB1D⊥平面 B1BCC1; (2)求证:A1C//平面 AB1D; (3)求二面角 B—AB1—D 的正切值。 A D C B B1 A1 C1

36.(本小题满分 14 分) 如图:C 、 D 是以 AB 为直径的圆上
两点, AB ? 2 AD ? 2 3 , AC ? BC , F 是 AB 上一点, 且 AF ?

1 AB ,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上,已知 3

CE ? 2 .
(1)求证: AD ? 平面 BCE ; (2)求证: AD // 平面 CEF ; ( 3 ) 求 三 棱 锥 A ? CFD 的 体 积.

7

37.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1, 是底 ABCD 对角线的交点。 O
求证: (1) A1C ? B1D1 (2)C1O∥面 AB1D1;

D1 A1 D O A B B1

C1

C

38.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE//AB,△ACD 是正三角形,
AD=DE=2AB,且 F 是 CD 的中点。 (I)求证:AF//平面 BCE; (II)求证:平面 BCE⊥平面 CDE; (III)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小。

39.如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,AD= 3 ,点 F
是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动. (1)求三棱锥 E-PAD 的体积; (2)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置 关系,并说明理由; (3)证明:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE⊥AF.

40.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,O 是 AC 的中点,E 是线
段 D1O 上一点,且 D1E=λEO. (1)若 λ=1,求异面直线 DE 与 CD1 所成角的余 弦值; (2)若平面 CDE⊥平面 CD1O,求 λ 的值.

8

41.(本题满分 14 分)
如下图,在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,AB=2,AC= AA1 =2 3 , ?ABC = (1)证明:AB ? AC ; 1 (2) 求二面角 A ? AC ? B 的正弦值. 1
B1
A1

? 。 3

C1

A

42.(本小题满分 14 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? A B C D 底 面 为 正 方 形 , 侧 棱 PA ? 底 面 A B C D, 且 的
P A ? A D 2 , E, F , H 分别是线段 PA, PD, AB 的中点. ?

B

C

(Ⅰ)求证: PB //平面 EFH ; (Ⅱ)求证: PD ? 平面 AHF ; (Ⅲ)求二面角 H ? EF ? A 的大小.

43.(本小题共 13 分)
如 图 : 梯 形 A B C D 正 △ PAB 所 在 平 面 互 相 垂 直 , 其 中 AB // DC , 和

AD ? CD ?

1 AB ,且 O 为 AB 中点. 2

P

( I ) 求证: BC // 平面 POD ; ( II ) 求证: AC ? PD .

A

O

B
C

44.(本小题共 14 分)
BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的
中点. (Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ;
9

D

在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC ,

(Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.

45.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 在边 BC 上,AD⊥C1D.
(1)求证:AD⊥平面 BC C1 B1; BE (2)设 E 是 B1C1 上的一点,当 1 的值为多少时, EC1 A1E∥平面 ADC1?请给出证明.

46.(12 分)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对
角线的交点.

AB1D1 ; 求证: (1)C1O∥面 AC ? 面 AB1D1 . (2) 1
A1

D1 B1

C1

D O A B

C

47.已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,O 是底 ABCD 对角线的交点。
求证: (1) A1C ? B1D1 (2)C1O∥面 AB1D1;

D1 A1 D O A B B1

C1

48.如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ?
底面 ABCD,PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F。 (一)证明: PA//平面 EDB; 证明: ? 平面 EFD。 (2) PB

C

10

49.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA⊥PD,底面 ABCD 是直角梯 形,其中 BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O 是 AD 上一点. (1)若 CD∥平面 PBO,试指出点 O 的位置,并说 明理由; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.

50.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面 ABCD 是正方形,DM⊥PC,垂足为 M. (1)求证:BD⊥平面 PAC. (2)求证:平面 MBD⊥平面 PCD.

11

试卷答案
1.C 2.B
将该直三棱柱放入正方体中,如图,EF∥C1D,△C1DB 为正三角形. ∴直线 EF 与 BC1 所成的角为 60° .

3.B4.C5.D6.C7.C8.A9.C10.B11.B12.C 1 13. ( ,1) 3
由题设可知,以 、 、 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz,

则有 A(1, 0, 0) , B(1,1, 0) , C (0,1, 0) , D(0, 0,1) ,则 D1B ? (1,1, ?1) ,得

???? ?

???? ? ???? ? D1P ? ? D1B ? (?, ?, ??) ,所以 ??? ???? ???? ? ? ? PA ? PD1 ? D1 A ? (??, ??, ?) ? (1,0, ?1) ? (1 ? ?, ??, ? ?1) , ??? ???? ???? ? ? ? PC ? PD1 ? DC ? (??, ??, ?) ? (0,1, ?1) ? (??,1? ?, ? ?1) 1
显然 ?APC 不是平角,所以 ?APC 为钝角等价于 PA?PC ? 0

??? ??? ? ?

,即

1 1) 0 ?? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) ? (? ?1)2 ? 0 ,即 (? ?1)(3 ? ? ? ,解得 ? ? ? 1 ,因此 ? 的取值 3

范围是 ( ,1) 。

1 3

14.(0,-1,0)15. 120° 16.2

65 17. 7

18.(1+x)ex , k1 ? k3 ? k2 ;

1 2

12

19. 6 20.如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) , P(0,0, 4) , B(2,0,0) , C (2,4,0) ,

? ? ??? ? ???? ? ? D(0,4,0) , M (0, 2, 2) ;设平面 ACM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,由 n ? AC, n ? AM 可
得: ?

? ?2 x ? 4 y ? 0 ,令 z ? 1 ,则 n ? (2, ?1,1) 。 ?2 y ? 2 z ? 0

(1)略

??? ? ? CD ? n 6 (2)设所求角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? ? , ? 3 CD n
( 3 ) 由 条 件 可 得 , AN ? NC . 在 Rt ?PAC 中 , PA2 ? PN ? PC , 所 以 PN ?

8 ,则 3

NC ? PC ? PN ?

10 NC 5 5 ? , , 所以所求距离等于点 P 到平面 ACM 距离的 , 设点 P 3 PC 9 9

??? ? ? AP ? n 2 6 5 10 6 到平面 ACM 距离为 h 则 h ? ,所以所求距离为 h ? 。 ? ? 3 9 27 n

21.解:(1)建立如图所示空间直角坐标系,
设 平 面 GEF 的 一 个 法 向 量 为 n = (x , y , z) , 则

? ? ? ?? ? n? E F ? y? ? 0 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 0 ? ? n? E G x y z ?

取 n=(1,0,1) …………4 分 又平面 EFD 的法向量为 m= (1,0,0) ∴cos<m, = n> ∴<m,n>=45° (2) 设 PQ ? ? PB (0<λ<1) 则 AQ ? AP ? PQ =(-2+2λ,2λ,2-2λ)

m?n 2 ? |m| | n| 2

…………6 分 …………7 分

??? ?

??? ?

????

??? ??? ? ?

…………9 分

∵AQ⊥PC ? AP? PQ =0 ? 2×2λ-2(2-2λ)=0 ? λ=

??? ??? ? ?

1 2 1 2
13

…………11 分

又 AD⊥PC,∴PC⊥平面 ADQ ? λ=

? 点 Q 是线段 PB 的中点.

…………12 分

22.解: (1)以 D 为原点,DA,DC,DD1 分别为轴,建立直角坐标系, 1 1 则 A(1,0,0) , E ( , 0,1) , B(1,1,0) , F (1, ,1) .……………2 分 2 2 ??? ? 1 1 AF ? (0, ,1) , BE ? (? , ?1,1) , 2 2

uuu uur r ? cos( AF , BE ) ?

1 2 ? 2 5. 15 5 9 4 4

………………4 分

(2)平面 ACC1 的一个法向量为 DB ? (1,1,0) , 设平面 BFC 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 1

uuu r

?

? 1 ? ? ??? n ? BF ? ? y ? z ? 0, ? x ? z, ? 2 ∴? ? ? ???? ? ?n ? BC ? ( x, y, z ) ? (?1, 0,1) ? ? x ? z ? 0, ? y ? 2 z. ? 1
取 z ? 1 得平面 BFC 的一个法向量 n ? (1,2,1) ……………7 分 1

??? ? ? uuu r r ??? ? ? DB ? n 1? 2 3 ? ,因为 ? DB, n ? 为锐角, cos ? DB, n ?? ??? ? ? ? 2 | DB || n | 2? 6
∴所求的锐二面角为

? . 6

……………….9 分

(3)设 P( x, y,0) ( 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ) .

uur r uur 1 1 3 EP ? ( x ? , y, ?1) ,由 EP ? n ? 0 得 ( x ? ) ? 2 y ? 1 ? 0 ,即 x ? ?2 y ? . 2 2 2 3 1 3 Q 0 ? x ? 1,? 0 ? ?2 y ? ? 1 ,? ? y ? . 4 4 2

uur 1 2 6 ? EP |? ( x ? )2 ? y 2 ? 1 ? (2 y ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ? 5 y 2 ? 4 y ? 2 ? 5( y ? ) 2 ? | … 2 5 5
….12 分

Q

uur 1 3 2 3 30 29 ? y ? ,? 当 y ? 时,?| EP |min ? ;当 y ? 时,∴ EP . ? max 5 4 4 4 4 5
? 30 29 ? , ?. 4 ? ? 5
…………..……14 分

故 EP 的取值范围为 ?

14

23.证明:(Ⅰ)连接
因为 所以 平面 ∥平面

,由条件可得 , .

∥ 平面

. ,

(Ⅱ)法一:证明:由已知可得, 所以 又因为四边形 因为 又因为 ,

,



中点,

是正方形,所以 ,所以 ,所以平面 . 平面 ,

.

. .

-

(Ⅱ)法二:证明:由(Ⅰ)知 建立如图所示的空间直角坐标系. 设四棱锥 则 , , 所以 设 ( , ),由已知可求得 的底面边长为 2, , ,

, . . .

所以 设平面 法向量为

, ,

.





令 易知

,得

. 是平面 的法向量.

因为 所以 (Ⅲ)解:设 ,所以平面 ( 平面 .

, -------------------(8 分)

),由(Ⅱ)可知,

15

平面 因为 所以

法向量为 , 是平面

.

的一个法向量. .

由已知二面角

的大小为

所以



所以 所以点 是 的中点.

,解得

. -----------------(12

24.如图,建立空间直角坐标系 O—xyz.
(1)依题意得 B(0,1,0) N(1,0,1) 、 ∴| BN |= (1 ? 0) ? (0 ? 1) ? (1 ? 0) ?
2 2 2

3.

(2)依题意得 A1(1,0,2) B(0,1,0) C(0,0,0) B1(0, 、 、 、 1,2) ∴ BA1 ={-1,-1,2}, CB1 ={0,1,2,}, BA1 · CB1 =3, | BA1 |=

6 ,| CB1 |= 5
BA1 ? CB1 1 ? 30 . | BA1 | ? | CB1 | 10

∴cos< BA1 , CB1 >=

(3)证明:依题意,得 C1(0,0,2) M( 、

1 1 1 1 , ,2) A1 B ={-1,1,2},C1 M ={ , , , 2 2 2 2

0}.∴ A1 B · C1 M =-

1 1 ? +0=0,∴ A1 B ⊥ C1 M ,∴A1B⊥C1M. 2 2

25.解:(Ⅰ)∵侧面 A1ACC1⊥底面 ABC,作 A1O⊥AC 于点 O,
∴A1O⊥平面 ABC.又∠ABC=∠A1AC=60°,且各棱长都相等, ∴AO=1,OA1=OB= 3 ,BO⊥AC. 故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz,则 A(0,-1,0),B( 3 ,0,0),A1(0,0, 3 ),C(0,1,0), AA ? (0,1, 3) ; 1 ∴ AB1 ?

????

?

3 ,2, 3 , AC ? ?0,2,0 ? .设平面 AB1C 的法向量为 n=(x,y,1)

?

16

则?

?n ? AB ? 3x ? 2 y ? 3 ? 1

?n ? AC ? 2 y ? 0 ? ???? AA1 ? n 3 6 由 cos< AA , n >= ? ? . 1 4 AA1 ? n 2 2

解得 n=(-1,0,1).

而侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角,即是向量 AA 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角, 1 ∴侧棱 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值的大小为

????

6 . 4

(Ⅱ)∵ BD ? BA ? BC, 而 BA ? ? 3, ?1, 0 , BC ? ? 3,1, 0 .

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

?

?

??? ?

?

?

∴ BD ? (?2 3,0,0)

??? ?

又∵B( 3 ,0,0),∴点 D 的坐标为 D(- 3 ,0,0).假设存在点 P 符合题意, 则点 P 的坐标可设为 P(0,y,z). ∴ DP ?

??? ?

?

3, y, z

?

∵DP∥平面 AB1C,n=(-1,0,1)为平面 AB1C 的法向量, ∴由 AP ? ? AA ,得 ? 1

??? ?

????

? y ?1 ? ? ? 3?? 3

,? y ? 0.

又 DP ? 平面 AB1C,故存在点 P,使 DP∥平面 AB1C,其从标为(0,0, 3 ),即恰好为 A1 点

26.(Ⅰ AC 交 BD 于 O ,连接 OE )设
? PD ? 平 ABCD ,? PD ? AC ,? BD ? AC 面
? AC ? 平 PBD 面 , AC ? 平 AEC ,? 平 ACE ? 平 PBD ………………………… 6 分 面 面 面
(Ⅱ )(方法一) ? AO ? PBD 又

? ?AEO ?
OE ? 1


?
4

, 设 PD ?

2 AB ? 2 , 则
P

z

PE ?1 EB
………………………… 12 分 (方法二) 以 DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DP 为 z 轴建立 空间直角坐标系,如图
17 D
O

E

C

y

x

A

B

平面 BDE 法向量为 n ? ?1,?1,0? ,

设 PD ?

2 AB ? 2 , E 2?, 2?,2 ? 2?

?

?

PB ? ( 2, 2,?2) ,令 PE ? ? PB ,
| AE ? n | AE n

则 AE ?

?

2? ? 2, 2?,2 ? 2? ,

?

?

2 2 ,

得? ?

1 PE ? 1 ,……………… 12 分 或 ? ? 1 (舍) , BE 2

27.(Ⅰ)取 A1 B1 中点 E ,可证明 AB1 ? 平面 C1 BE 所以 AB1 ? BE

?ABB1 ? ?BB1 E 。所以 AA1 ? 2

……6 分

(Ⅱ)过 D 做 DO ? BC ,垂足为 O .过 O 做 OG ? C1 B 垂足为 G . 连接 DG 则 ?OGD 为所求.

余弦值为

2 ……6 分 2

28.

18

??? ???? ? ??? ? ???? m2 1 ? 所以⊿ABC 是正三角 29.(1)证明: AB ? AC ? m 且 cos A ? cos AB, AC ? 2 2m 2
形 又 AB ? AA ? 0, AC ? AA ? 0 ,所以 AA ? AB, AA ? AC ,故 AA1 ? 平面 ABC 1 1 1 1 所以三棱柱 ABC ABC ? A1B1C1 是正三棱柱。 (2)取 AB 的中点 O,连接 CO、 AO ,根据题意知 CD ? 平面 ABB1 A , 1 1 所以 ?CAO 就是直线 CA1 与平面 A ABB1 所成的角 1 1 在 Rt⊿ CA1O 中, CO ?

??? ???? ?

??? ???? ?

3 CO 2 m, CA1 ? m2 ? n2 ? 3n ,故 sin ?CAO ? ? 1 2 CA1 2

所以 ?CAO ? 45 °,即直线 CA1 与平面 A ABB1 所成的角为 45° 1 1

30.解: A?C ? A? C ? ( A? A? A B? B C) 2
2

?2

?

?

?

? A? A ? A B ? B C ? 2 A? A? A B? 2 A? A? B C ? 2 A B? B C
19

?2

?2

?2

?

?

?

?

?

?

? A? A ? A B ? B C ? 2 A? A ? A B ? cos1200 ? 2 A? A ? B C ? cos1200 ? 2 A B ? B C ? cos900

? 2

? 2

? 2

?

?

?

?

?

?

1 1 ? 9 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? (? ) ? 2 ? 3 ? 1 ? (? ) ? 0 2 2
?5
所以 A? C ?
?

5 ,故 A?C ? 5 .

31.如图,建立空间直角坐标系 O—xyz.

图 (1)依题意得 B(0,1,0) N(1,0,1) 、 ∴| BN |=

(1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 .

(2)依题意得 A1(1,0,2) B(0,1,0) C(0,0,0) B1(0,1,2) 、 、 、 ∴ BA1 ={-1,-1,2}, CB1 ={0,1,2,}, BA1 · CB1 =3,| BA1 |= ∴cos< BA1 , CB1 >=

6 ,| CB1 |= 5

BA1 ? CB1 1 ? 30 . | BA1 | ? | CB1 | 10

(3)证明:依题意,得 C1(0,0,2) M( 、

1 1 1 1 , ,2) A1 B ={-1,1,2},C1 M ={ , , , 2 2 2 2

0}.∴ A1 B · C1 M =-

1 1 ? +0=0,∴ A1 B ⊥ C1 M ,∴A1B⊥C1M. 2 2
? D,

32.(1)因为 PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥BC.
由∠BCD=90 ,得 BC⊥DC.又 PD ? DC
0

PD ? 平面 PCD, DC ? 平面 PCD,所以 BC⊥平面 PCD.
因为 PC

? 平面 PCD,所以 PC⊥BC.
0 0

(2)如图,连结 AC.设点 A 到平面 PBC 的距离 h. 因为 AB∥DC,∠BCD=90 ,所以∠ABC=90 . 从而由 AB=2,BC=1,得 ?ABC 的面积 S ?ABC

?

1 ?1? 2 ? 1 . 2
20

由 PD⊥平面 ABCD 及 PD=1,得三棱锥 P ?

ABC 的体积 V ?

1 1 S ?ABC ?PD ? . 3 3

因为 PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,所以 PD⊥DC. 由 PC⊥BC,BC=1,得 ?PBC 的面积 S ?PBC 因此点 A 到平面 PBC 的距离为

又 PD=DC=1,所以 PC ?

2.

?

1 1 2 1 2 .由 V ? S?PBC h ? ? ?h ? ,得 h ? 2 . 3 3 2 3 2

2.

33.证明:⑴ G 是 AE, DF 的交点,∴ G 是 AE 中点,又 H 是 BE 的中点,
∴ ?EAB 中, GH // AB ,

? AB // CD ,∴ GH // CD ,
又∵ CD ? 平面CDE, GH ? 平面CDE ∴ GH // 平面 CDE ⑵平面 ADEF ? 平面 ABCD ,交线为 AD , ∵ ED ? AD , ED ? 平面ADEF ∴ ED ? 平面 ABCD , ∴ ED ? BD , 又∵ BD ? CD , CD ? ED ? D ∴ BD ? 平面CDE

34.⑴分别以 CB, CA 所在直线为 x, y 轴,过点 C 且与平面 ABC

垂直的直线为 z 轴,建立

如图所示的空间直角坐标系 C ? xyz .…………………………………………2 分

设 AE ? a ,则 M ? a, ?a,0? , E ? 0, ?2a, a ? , 所以 CM ? ? a, ?a,0? , EM ? ? a, a, ?a ? ,………4 分 所以 CM ? EM ? a ? a + ? ?a ? ? a + 0 ? ? ?a ? ? 0 ,

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

21

所以 CM ? EM .…………………………8 分 ⑵ CE ? ? 0, ?2a, a ? , CD ? ? 2a,0,2a ? ,设平面 CDE 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,

??? ?

??? ?

??2ay ? az ? 0, ? z ? 2 y, 则有 ? 即? 令 y ? 1 ,则 n ? ? ?2,1, 2? ,…………………12 分 ?2ax ? 2az ? 0, ? x ? ? z,
???? ? ???? ? CM ? n a ? ? ?2 ? + ? ? a ? ? 1 + 0 ? 2 2 cos CM , n ? ???? ? ?? ,…………………14 分 ? 2 2a ? 3 CM n
所以,直线 CM 与平面 CDE 所成的角为 45? .…………………………………16 分

35.

解法一: 证明: (1)因为 B1B⊥平面 ABC,AD ? 平面 ABC, 所以 AD⊥B1B (1 分)

因为 D 为正△ABC 中 BC 的中点, 所以 AD⊥BD 又 B1B∩BC=B, 所以 AD⊥平面 B1BCC1 (3 分) (4 分) (2 分)

又 AD ? 平面 AB1D,故平面 AB1D⊥平面 B1BCC1 (2)连接 A1B,交 AB1 于 E,连 DE (5 分)

因为点 E 为矩形 A1ABB1 对角线的交点,所以 E 为 AB1 的中点 又 D 为 BC 的中点,所以 DE 为△A1BC 的中位线, 所以 DE//A1C (7 分) (8 分)

(6 分)

又 DE ? 平面 AB1D,所以 A1C//平面 AB1D

(3)解:过 D 作 DF⊥AB 于 F,过 F 作 FG⊥AB1 于 G,连接 DG。 因为平面 A1ABB1⊥平面 ABC,DF⊥AB,所以 DF⊥平面 A1ABB1。 又 AB1 ? 平面 A1ABB1,所以 AB1⊥DF。 又 FG⊥AB1,所以 AB1⊥平面 DFG,所以 AB1⊥DG。 (9 分) (10 分)

又 AB1⊥FG,所以∠DGF 为二面角 B—AB1—D 的平面角。 因为 AA1=AB=1, 所以在正△ABC 中, DF ?

3 , 4

22

在 ?ABE中, FG ?

3 3 2 BE ? . 4 8

(11 分)

所以在 Rt ?DFG中, tan ?DGF ? 解法二:

DF 6 ? . FG 3

(12 分)

解:建立如图所示的直角坐标系,依题意有:

3 3 1 1 , 0, 0), A1 (? , 0,1), B(0, ? , 0), B(0, ? ,1), 2 2 2 2 1 C (0, , 0), D(0, 0, 0) (2分) 2 A(?
(1)证明:由 AD ? (

????

??? ? ???? 3 , 0, 0), BC ? (0,1, 0), BB1 ? (0, 0,1) , 2

???? ??? ? ? AD ? BC ? 0, ? AD ? BC , ? 所以 ? 得 ? ???? ???? ? AD ? BB1 , ? AD ? BB1 ? 0, ?
又 BC∩⊥BB1=B,所以 AD⊥平面 B1BCC1。 又 AD ? 平面 AB1D,所以平面 AB1D⊥B1BCC1 (2)证明:连接 A1B,交 AB1 于 E,连 DE, 因为点 E 为正方形 A1ABB1 对角线的交点,所以 E 为 AB1 的中点, 即 E (? (4 分) (5 分)

3 1 1 , ? , ). 4 4 2

(6 分)

???? ? 3 1 1 ???? 3 1 由DE ? ( , , ), A1C ? ( , , ?1), 4 4 2 2 2 ???? ? ??? ? 得 A1C ? 2ED, 所以A1C//ED. (7分)
又 DE ? 平面 AB1D,所以 A1C//平面 AB1D (8 分)

(3)解:设平面 ABB1 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ),

?? ?

? ? ? ??? ?? 3 1 ? x1 ? y1 ? 0, ?? ? AB ? n1 ? 得n1 ? (1, 3, 0). 由? 2 2 ?? ? ???? ? n? ? z ? 0, BB1 1 ? 1 ?? ? 设平面 AB1D 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ),

(9 分)

23

? ? ? ???? ?? AB1 ? n2 ? ? ? 由? ?? ? ???? ? n? ? AD 2 ? ?

3 1 x2 ? y2 ? z2 ? 0, ?? ? 1 2 2 得n2 ? (0,1, ). 2 3 x2 ? 0, 2

(10 分)

所以 cos ? n1 , n2 ??

?? ?? ? ?

3 1 1? 3 ? 1? 4
6 , 3

?

15 . 5

(11 分)

所以 tan ? n1 , n2 ??

?? ?? ? ?

依图可得二面角 B—AB1—D 的正切值为

6 . 3

(12 分)

36.(1)证明:依题意: AD ? BD …………………………1 分 ∴ CE ? AD ……2 分 ? CE ? 平面 ABD ? BD ? CE ? E ∴ AD ? 平面 BCE . ………………………4 分 (2)证明: Rt?BCE 中, CE ? 2 , BC ? 6
∴ BE ? 2 ………………………………5 分

Rt?ABD 中, AB ? 2 3 , AD ? 3 ∴ BD ? 3 . ……………………………………………………………………6 分 BF BE 2 ? ? ∴ . …………………………………………………………7 分 BA BD 3 ∴ AD // EF

? AD 在平面 CEF 外 ∴ AD // 平面 CEF . …………………………………………………………9 分
(3)解:由(2)知 AD // EF , AD ? ED ,且 ED ? BD ? BE ? 1 ∴ F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离,为 1.………………………………11 分 ∴ S ?FAD ?

1 3 . …………………………………………12 分 ? 3 ?1 ? 2 2
1 1 3 6 . ……………14 分 ? S ?FAD ? CE ? ? ? 2? 3 3 2 6

? CE ? 平面 ABD
∴ V A?CFD ? VC ? AFD ?

37. 证明: (1) 由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体,所以 A1C1 ? B1 D1 ???1? …2 分
又 A1 A ? 平面A1B1C1D1 ,所以 A1A ? B1D1 ???2? ……4 分 又 AA1 ? A1C1 ? A1 ???3?
24

由 ?1??2??3? 有 B1 D1 ? 平面A1ACC1 , 而A1C ? 平面A1ACA1 , 所以A1C ? B1D1 ……6 分 (2).连接 A1C1交B1D1于O1 , 连接AO1 , 由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体,所以 AC//A 1C1 , 且O1C1 ? AO ? 即四边形 OCC1O1是平行四边形。 以 AO1 //OC1 . 所 又 AO1 ? 平面AB1D1 ,? CC1 //平面AB1D1 . …………14 分

1 AC. ……11 分 2

38.(I)解:取 CE 中点 P,连结 FP、BP,∵F 为 CD 的中点, 1 1 ∴FP//DE,且 FP= DE . 又 AB//DE,且 AB= DE . 2 2
∴AB//FP,且 AB=FP, ∴ABPF 为平行四边形,∴AF//BP。 又∵AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴AF//平面 BCE。 ………………3 分 (II)∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD。∵AB⊥平面 ACD,DE//AB, ∴DE⊥平面 ACD,又 AF ? 平面 ACD,∴DE⊥AF。又 AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE。又 BP//AF,∴BP⊥平面 CDE。 又∵BP ? 平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDE。……………………6 分 (III)由(II) ,以 F 为坐标原点,FA,FD,FP 所在的直线分别为 x,y,z 轴(如图) ,建 立空间直角坐标系 F—xyz.设 AC=2,则 C(0,—1,0) ,

B(? 3,0,1), E, (0,1,2). Ks*5u
设n ? ( x, y, z )为平面BCE的法向量, ?? 3 x ? y ? z ? 0, 则n ? CB ? 0, n ? CE ? 0,即? 令z ? 1, 则n ? (0,?1,1). ?2 y ? 2 z ? 0.
显然, m ? (0,0,1) 为平面 ACD 的法向量。 设平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为

? , 则 cos? ?

| m?n | 1 2 ? ? . ?? ? 45? , | m|?| n| 2 2

即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为 45°。……………………12 分

39.(1)解:∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AD,
∴ 三 棱 锥 E - PAD 的 体 积 为

1 1 1 3 V ? S?PAD ? AB ? ? ?1? 3 ?1 ? . ………… 3 3 2 6
4分 (2)当点 E 为 BC 的中点时,

25

EF 与平面 PAC 平行.∵在△PBC 中, E、F 分别为 BC、PB 的中点, ∴EF//PC 又 EF ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC ∴EF//平面 PAC.…9 分 (3)证明:∵PA⊥平面 A BCD,BE ? 平面 ABCD, ∴EB⊥PA.又 EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP ? 平面 PAB, ∴EB⊥平面 PAB, 又 AF ? 平面 PAB,∴AF⊥BE. 又 PA=AB=1,点 F 是 PB 的中点,∴AF⊥PB, 又∵PB∩BE=B,PB,BE ? 平面 PBE,∴AF⊥平面 PBE. ∵PE ? 平面 PBE,∴AF⊥PE.……………………14 分

40.(1)不妨设正方体的棱长为 1,以 DA, DC, DD1

??? ???? ???? ? ?

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .

1 0 则 A(1,0,0), O 1 ,1 , , C ? 0,, ? ,D1(0,0,1), 0 2 2
E 1 ,1 ,1 , 4 4 2 ???? ???? ? 于是 DE ? 1 ,1 ,1 , CD1 ? ? 0, 1 1? . ?, 4 4 2 ???? ???? ? ???? ???? ? DE ? CD1 3 ? ? 由 cos ? DE, 1 ? = ???? ???? = . CD 6 | DE |? | CD1 |

?

?

?

? ?

?

所以异面直线 AE 与 CD1 所成角的余弦值为

3 . 6

………5 分

???? ? ???? (2)设平面 CD1O 的向量为 m=(x1,y1,z1),由 m· CO =0,m· CD1 =0
? 1 x ? 1 y ? 0, ? 得 ?2 1 2 1 取 x1=1,得 y1=z1=1,即 m=(1,1,1) . …………7 分 ?? y1 ? z1 ? 0, ? ???? 由 D1E=λEO,则 E ? ? , ? , 1 ? , DE = ? ? , ? , 1 ? . ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ? ? 2(1 ? ? ) 2(1 ? ? ) 1 ? ? ? ? ? ? ? ???? ???? 又设平面 CDE 的法向量为 n=(x2,y2,z2),由 n· CD =0,n· DE =0.
? y2 ? 0, ? 得 ? ? x2 取 x2=2,得 z2=-λ,即 n=(-2,0,λ) . ? y2 z2 ? 2(1 ? ? ) ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? ? 0, ?

因为平面 CDE⊥平面 CD1F,所以 m·n=0,得 λ=2.

…………10 分

41.(1)证明:在△ABC 中,由正弦定理可求得
26

sin ?ACB ?

1 ? ? ?ACB ? 2 6

∴ AB ? AC 以 A 为原点,分别以 AB、AC、AA1 为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,如图 则 A( 0 , 0 , 0 )

A1 ( 0 , 0 , 2 3 ) C( 0 , 2 3 , 0 )

B( 2 , 0 , 0 )

AB ? ( 2 , 0 , 0 )
A1C ? ( 0 , 2 3 , ? 2 3 ) AB ? A1C ? 0 ? AB ? A1C
即 AB ? A1C (2)解:由(1)知

A1 B ? ( 2 , 0 , ? 2 3 ) A1C ? ( 0 , 2 3 , ? 2 3 )
设二面角 A ? AC ? B 的平面角为 ? , 1

? ? ? ? n?m 2 3 15 cos? ? cos ? n, m ?? ? ? ? ? | n || m | 5 2? 5
∴ sin ? ? 1 ? cos2 ? ?

10 5

42.解:建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,
? A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(0, 2,0) , P(0,0,2)


E (0,0,1)



F (0,1,1)



H (1,0,0) .-----------------1 分
(Ⅰ)证明:∵ PB ? (2,0, ?2) , EH ? (1,0, ?1) , ∴ PB ? 2EH , ∵ PB ? 平面 EFH ,且 EH ? 平面 EFH , ∴ PB //平面 EFH .-------------------------------------------------5 分
27

??? ?

????

??? ?

????

(Ⅱ)解: PD ? (0, 2, ?2) , AH ? (1,0,0) , AF ? (0,1,1) ,

??? ?

????

??? ?

??? ??? ? ? PD ? AF ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? (?2) ? 1 ? 0, ??? ???? ? PD ? AH ? 0 ? 1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 0 ? 0.
? PD ? AF , PD ? AH ,
又? AF ? AH ? A ,

? PD ? 平面 AHF . -----------------------------------------------------9 分
(Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 因为 EF ? (0,1,0) , EH ? (1,0, ?1) ,

??? ?

????

? ??? ? ?n ? EF ? y ? 0, ? 则 ? ? ???? 取 n ? (1,0,1). ?n ? EH ? x ? z ? 0, ?
又因为平面 AEF 的法向量为 m ? (1,0,0),

?? ? ?? ? ? m?n 1? 0 ? 0 1 2 所以 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ? , -------------------------12 分 2 | m || n | 2 ?1 2
?? ? ? ?? m, n ?? 45? ,
? 所以二面角 H ? EF ? A 的大小为 45 .-------------------------------14 分

43.证明: (I) 因为 O 为 AB 中点,
所以 BO ?

1 AB, 2 1 AB , 2

………1 分

又 AB / /CD, CD ?

所以有 CD ? BO, CD / / BO, 所以 ODCB 为平行四边形,所以 BC / /OD, 又 DO ? 平面 POD, BC ? 平面 POD,

…………………2 分 ………3 分

P
所以 BC / / 平面 POD . (II)连接 OC . 因为 CD ? BO ? AO, CD / / AO, 所以 ADCO 为 平行四边形, 又 AD ? CD ,所以 ADCO 为菱形, 所以 AC ? DO , …………………7 分
28

………5 分

…………………6 分

A

O

B
C

D

因为正三角形 PAB , O 为 AB 中点, 所以 PO ? AB , …………………8 分

又因为平面 ABCD ? 平面 PAB ,平面 ABCD ? 平面 PAB ? AB , 所以 PO ? 平面 ABCD , 而 AC ? 平面 ABCD ,所以 PO ? AC ,[来源:Zxxk.Com] 又 PO ? DO ? O ,所以 AC ? 平面 POD . 又 PD ? 平面 POD ,所以 AC ? PD . …12 分 ……13 分 …………………10 分

44.解:(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC ,
∴ AD / / BC . 又 ∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD/ /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ……………2 分 AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∵ ∴ AB / / 平面 DEG . (Ⅱ) 解法 1 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE . …………………… …5 分 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG . ……………6 分 ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG ,

…………………4 分

…………7 分

又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . 分 ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . ……………9 分 ………………………8

29

解法 2 ∵ EF ? 平面 AEB ,AE ? 平面 AEB ,BE ? 平面 AEB ,∴ EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB , ∴ 直.

z
A

D

EB, EF , EA
……………………5 分






E

F

y

以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得, A (0,0,2) B (2,0,0) , ,

x B

G

C

C (2,4,0) F (0,3,0) D (0,2,2) , , , G (2,2,0). …………………………6 分 ??? ? ??? ? ∴ EG ? (2,2,0) , BD ? (?2,2,2) ,………7 分
∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 , ∴ BD ? EG .

??? ??? ? ?

………8 分

…………………………9 分 ……………10 分

??? ? (Ⅲ)由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量. ??? ?

设平 面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,∵ FD ? (0, ?1,2), FC ? (2,1,0) ,[来源:学科网]

??? ?

??? ? ? ? FD ? n ? 0 ?? y ? 2 z ? 0 ? ∴ ? ??? ? ,即 ? ,令 z ? 1 ,得 n ? (?1, 2,1) . ……………12 分 ? ?2 x ? y ? 0 ? FC ? n ? 0 ?
设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? , 则 cos ? ? cos ? n, EB ??

??? ?

?2 6 , ?? 6 2 6
6 . 6

……………13 分

∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ?

……………14 分

45.解: (1)在正三棱柱中,C C1⊥平面 ABC,
AD ? 平面 ABC, ∴ AD ⊥ C C1.………………………………………2 分 又 AD⊥C1D, C1 交 C1D 于 C1, C 且 C C1 和 C1D 都在面 BC C1 B1 内, ∴ AD ⊥ 面 BC C1 B1. …………………………………………… 5分 (2)由(1) ,得 AD⊥BC.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 的中点.…………7 分 BE 当 1 ? 1 ,即 E 为 B1C1 的中点时,A1E∥平面 ADC1.…………8 分 EC1

30

事实上,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 BC C1 B1 是矩形, D、E 分别是 BC、 且 B1C1 的中点,所以 B1B∥DE,B1B= DE. ……………10 分 又 B1B∥AA1,且 B1B=AA1, ∴DE∥AA1,且 DE=AA1. …………………………12 分 所以四边形 ADE A1 为平行四边形,所以 E A1∥AD. 而 E A1 ? 面 AD C1 内,故 A1E∥平面 AD C1. ………………14 分

AC AC ? B1D1 ? O1 46.证明: (1)连结 1 1 ,设 1 1
连结

AO1 ,? ABCD ? A1B1C1D1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形

? AC1 ? AC 且 AC1 ? AC 1 1


O1 , O 分别是 AC1 , AC 的中点,?O1C1 ? AO 且 O1C1 ? AO 1

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O ? AO1 , AO1 ? 面 AB1D1 , C1O ? 面 AB1D1
? C1O∥面 AB1D1
(2) 又

? CC1 ? 面 A1B1C1D1

?CC1 ? B1D!

? AC1 ? B1D1 , ? B1D1 ? 面AC1C 1 1

即AC ? B1D1 1
同理可证 又

AC ? AB1 , 1

D1B1 ? AB1 ? B1

1 ? AC ? 面 AB1D1

47. 证明: (1) 由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体,所以 A1C1 ? B1 D1 ???1? …2 分
又 A1 A ? 平面A1B1C1D1 ,所以 A1A ? B1D1 ???2? ……4 分 又 AA1 ? A1C1 ? A1 ???3? 由 ?1??2??3? 有 B1 D1 ? 平面A1ACC1 , 而A1C ? 平面A1ACA1 , 所以A1C ? B1D1 ……6 分 (2).连接 A1C1交B1D1于O1 , 连接AO1 ,

31

由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体,所以 AC//A 1C1 , 且O1C1 ? AO ? 即四边形 OCC1O1是平行四边形。 以 AO1 //OC1 . 所 又 AO1 ? 平面AB1D1 ,? CC1 //平面AB1D1 . …………14 分

1 AC. ……11 分 2

48.略 49.解:(1)答: O 在 AD 的 3 处且离 D 点比较近. ┅┅┅┅ 分 ┅┅ ┅ 2
理由是: ∵CD∥平面 PBO, CD? 平面 ABCD,且平面 ABCD∩平面 PBO=BO, ∴BO∥CD, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分 又∵BC∥AD, ∴四边形 BCDO 为平行四边形,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 ∴BC=DO, 又∵AD=3BC, OD 1 ∴点 O 的位置满足 = , AD 3 1 即在 AD 的 处且离 D 点比较近.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 3 (2)证明: ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD, AB? 底面 ABCD,且 AB⊥交线 AD, ∴AB⊥平面 PAD, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 ∵PD ? 平面 PAD ∴AB⊥PD. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 又∵PA⊥PD, PA? 平面 PAB,AB? 平面 PAB, AB∩PA=A, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 ∴PD⊥平面 PAB. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11 分 又∵PD? 平面 PCD, ∴ 平面 PAB⊥ 平面 PCD. ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ 12 分 ┅┅┅┅┅ 证明: (1)连结 AC, ∵底面 ABCD 是正方形 ∴BD⊥AC, ┅┅┅ ┅┅┅┅┅┅2 分 ∵PA⊥底面 ABCD, BD? 平面 ABCD,┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分 ∴PA⊥BD, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅4 分 ∵PA ? AC=A ┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分 ∴BD⊥平面 PAC.┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 (2)由(1)知 BD⊥平面 PAC ┅┅┅┅┅┅┅┅┅7 分 ∵PC? 平面 PAC ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分 ∴BD⊥PC ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9 分 ∵DM⊥PC BD ? DM=D ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 ∴PC⊥平面 DBM ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11 分
32

1

50.

∵PC? 平面 PDC, ∴ 平面 MBD⊥ 平面 PCD. ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ 分 ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ ┅ 12 略

33


相关文章:
...数学一轮专题复习--- 空间向量在立体几何中的应用(....doc
高三数学一轮专题复习--- 空间向量在立体几何中的应用(有详细答案)_数学_高中教育_教育专区。空间向量在立体几何中的应用 考情分析 理解直线的方向向量与平面的...
二轮复习专题:空间向量在立体几何中的应用_图文.ppt
二轮复习专题:空间向量在立体几何中的应用 - 本课件是作者总结了多年的教学心得,
2015高考前指导专题:空间向量在立体几何中的应用_图文.ppt
2015高考前指导专题:空间向量在立体几何中的应用 - 空间向量 在立体几何中的
空间向量在立体几何中的应用典型例题.doc
空间向量在立体几何中的应用典型例题 - 起航教育个性化教育学案 教师: 李老师
知识讲解_空间向量在立体几何中的应用(提高).doc
知识讲解_空间向量在立体几何中的应用(提高)_数学_自然科学_专业资料。成套的,有知识点巩固练习。实用性强 空间向量在立体几何中的应用【考纲要求】 1.了解空间...
《空间向量在立体几何中的应用》教学设计.doc
空间向量在立体几何中的应用》教学设计_高二数学_数学_高中教育_教育专区。《空间向量在立体几何中的应用》教学设计 一.教学目标 (一)知识与技能 1.理解并会用...
专题8.3 空间向量在立体几何中的应用(理科专用)-2017年....doc
专题8.3 空间向量在立体几何中的应用(理科专用)-2017年高考数学冲刺专题卷 - 一、选择题 1.已知点 A? x,1,2? 和点 B ? 2,3,4? ,且 AB ? 2 6 ,...
高考数学专题36空间向量在立体几何中的应用黄金解题模....doc
专题36 空间向量在立体几何中的应用 【高考地位】 向量在立体几何中占有重要的地
空间向量在立体几何中的应用.doc
空间向量在立体几何中的应用 - 空间向量在立体几何中的应用 重点难点 重点:用向
...专题:空间中的角、空间向量在立体几何中的应用.pdf
高考理科数学一轮复习专题:空间中的角、空间向量在立体几何中的应用 - 空间中的角、空间向量在立体几何中的应用 学生姓名 授课教师 核心内容 ? ? 空中的角,空间...
高考数学专题36空间向量在立体几何中的应用黄金解题模板.doc
专题36 空间向量在立体几何中的应用 【高考地位】 向量在立体几何中占有重要的地
高考专题训练空间向量与立体几何.doc
高考专题训练空间向量立体几何 - 高考专题训练空间向量立体几何 一、选择题(
专题8.7 空间向量在立体几何中的应用老师班.doc
专题8.7 空间向量在立体几何中的应用老师班 - 1.理解直线的方向向量与平面的
版高考数学专题8立体几何与空间向量63立体几何的综合应....doc
版高考数学专题8立体几何空间向量63立体几何的综合应用理_高考_高中教育_教育专区。版高考数学专题8立体几何空间向量63立体几何的综合应用理 ...
高考专题复习:空间向量与立体几何(王业康)2011.4.doc
宜春戴氏中考高考学校 要考试 找戴氏 上海戴氏教育集团宜春校区一对一专项辅导 高考专题空间向量立体几何整理:吴小宾 时间:2013 年 4 月 16 日 专题要点 ...
专题七:空间向量与立体几何(一 ).doc
专题:空间向量立体几何(一 ) - 专题:空间向量立体几何(一) 空
...数学二轮总复习专题14空间向量在立体几何中的应用(....ppt
高考数学二轮总复习专题14空间向量在立体几何中的应用(共59张PPT) - 专题14 空间向量在立体几何 中的应用 -2能力目标解读 热点考题诠释 本部分主要考查利用空间...
高二专题4:空间向量与立体几何学生版.doc
高二专题4:空间向量立体几何学生版 - 专题 4:空间向量立体几何 1.如图
2011版高中数学二轮专题复习学案-4.3空间向量与立体几....doc
专题:立体几何空间向量立体几何 第三讲 空间向量立体几何【最新考纲透析】...与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在 研究立体几何问题中的应用...
专题12 立体几何中的向量方法(学生版).doc
专题12 立体几何中的向量方法(学生版) - 专题 12 立体几何中的向量方法 【2016 年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有: (1)空间向量的坐标表示及坐标...
更多相关标签: