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高中数学(人教A版)必修二课件:章末归纳总结3_图文

成才之路 ·数学 人教版 ·必修2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第三章 直线与方程 第三章 章末归纳总结 1 知识结构 2 专题突破 知识结构 专题突破 专题一 直线的倾斜角与斜率 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念,它 们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度. (1)倾斜角的范围是[0°,180°). (2)倾斜角与斜率的对应关系 ①α≠90°时,k=tanα; ②α=90°时,斜率不存在. (3)倾斜角与斜率的单调性问题 当直线 l 的倾斜角 α 从 0° 增大到 90° 时,直线 l 的斜率从 0 增大到+∞;当直线 l 的倾斜角 α 从 90° 增大到 180° 时,直线 l 的斜率从-∞增大到 0. (4)斜率公式:经过 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)两点的直线 y2-y1 的斜率公式 k= (x ≠x ), 应用时注意其适用的条件 x1≠x2, x2-x1 1 2 当 x1=x2 时,直线的斜率不存在. 已知直线 l 过点 P(1,1) 且与以 A( - 1,0) 、 B(3,- 4)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围. [探究] 形. 利用数形结合思想,观察直线的变化情况,根据 斜率公式及范围求解,要特别注意当直线与 x 轴垂直时的情 [解析] 如图所示,直线PA的斜率 1-0 1 kPA= = , 1-?-1? 2 1-?-4? 5 直线 PB 的斜率 kPB= =-2. 1-3 当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时, 1 它的斜率变化范围是[2,+∞), 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时, 它的斜率的 5 变化范围是(-∞,-2]. 5 1 ∴直线 l 的斜率的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 规律总结: 借助数形结合思想既可以定性地分析倾 斜角与斜率的关系,也可以定量地求解倾斜角与斜率的取值范 围,此外在特殊位置处应利用分类讨论的思想方法. 专题二 直线方程的五种形式的应用问题 已知△ABC 中, A(1,3) , AB 、 AC 边上中线方程 为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在的直线方程. [探究] [解析] 中点, ∵点B在中线y-1=0上, ∴设点B的坐标为(xB,1). 本题利用中线的特点(即AB的中点D在AB边的中线 设AB、AC边的中线分别为CD、BE,其中D、E为 上)可解出各顶点的坐标,然后利用两点式可求出各边的方程. ∵点 D 为 AB 的中点,又点 A 的坐标为(1,3), xB+1 ∴点 D 的坐标为( 2 ,2). ∵点 D 在中线 CD:x-2y+1=0 上, xB+1 ∴ 2 -2×2+1=0,∴xB=5. ∴点 B 的坐标为(5,1). ∵点 C 在直线 x-2y+1=0 上, ∴设点 C 的坐标为(2t-1,t). t +3 ∴AC 的中点 E 的坐标为(t, 2 ). ∵点 E 在中线 BE:y=1 上, t+3 ∴ 2 =1,∴t=-1. ∴点 C 的坐标为(-3,-1), ∴△ABC 各边所在直线的方程为 AB:x+2y-7=0;BC: x-4y-1=0,AC:x-y+2=0. 专题三 两条直线的位置关系 (1) 已知直线的斜截式方程: l1:y = k1x +b1 , l2 :y =k2x + b2,则l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2; l1⊥l2?k1k2=-1; l1与l2相交?k1≠k2. (2)已知直线的一般式方程: l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, 则:l1∥l2?A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1; l1⊥l2?A1A2+B1B2=0; l1与l2相交?A1B2≠A2B1. (3)与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程可设为 Ax+ By+C1=0;与其垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0. 已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+ y+b=0,分别求满足下列条件的a,b的值. (1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与直线l2垂直; (2) 直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1 , l2 的距离相 等. [探究] 求解. 对于(1),由题意列出关于a,b的方程组求解;对 于 (2) ,先得出关于 a , b 的关系,再由原点到 l1 ,l2 的距离相等 [解析] (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)=0,即 a2-a-b= 0. ① 又点(-3,-1)在 l1 上,∴-3a+b+4=0. 由①②解得 a=2,b=2. (2)∵l1∥l2 且 l2 的斜率为 1-a, a a ∴l1 的斜率也存在,b=1-a,b= , 1-a ② 故 l1 与 l2 的方程分别为 4?a-1? a l1:(a-1)x+y+ a =0,l2:(a-1)x+y+ =0. 1-a ∵坐标原点到 l1,l2 的距离相等, a-1 2 a ∴4| a |=| |,a=2 或 a=3. 1-a ? ?a=2, 因此? ? ?b=-2, 2 ? ?a= , 或? 3 ? ?b=2. 专题四 点、直线间的距离 (1) 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| = ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (2) 点 P(x0 , y0) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离为 d = |Ax0+By0+C| . 2 2 A +B (3) 两平行直线 l1 : Ax + By + C1 = 0 , l2 : Ax + By + C2 = |C1-C2| 0(C1≠C2)之间的距离为 d= 2 2. A +B (4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可,不必用公式

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