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指数函数——我们身边的数学


指数函数——我们身 边的数学
高二(3)班

老师给我们布置了一个任务:调查 我们身边的数学——指数型函数

Let’s go!
? 老师给我们分组让每个小组去搜集资料,看 看我们身边有哪些指数型函数,它们在哪些 领域有应用,它们是如何解决实际问题的呢? 我们决定各小组分头行动。

我们搜集整理的应用领域
? 生物学 ? 考古学 ? 人口问题

生物学实例
? 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分 裂成4个,...,一直分裂下去. ? (1)用列表表示,1个细胞分裂1、2、 3、4、5、6、7、8次后,得到的细胞个数; ? (2)写出得到的细胞个数y与分裂次 数n之间的关系式,试用计算器算算细胞分 裂15次、20次得到的细胞个数.

问题解决
? 细胞的个数用2的n次表示。学生可以得到如下: 2=21,4=22,8=23,...,256=28归纳出:细 胞个数y与分裂次数n之间的关系式是 ? y=2n,n?/SPAN>N+.利用计算器可以 算得 ? 215=32768,220=1048576. ? 故细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别 是32768个和1048576个在平面坐标系内画出图 象,可以发现这些点都在指数函数y=2x的图象上

考古学实例
? 长沙马王堆千年女尸之迷问题。 ? 材料阅读:1、据新华社1972年7月30日报道,一座距今2100多年的西 汉早期墓葬在湖南长沙市郊的马王堆出土。在这座古墓葬里,尸体、官椁及 大批的随葬物,都保存得比较完整,是我国考古发掘工作中一项极为罕见的 重要发现。这对研究西汉初期的历史、文化、手工业生产、工农业生产以及 医药、防腐等方面都有极重要的价值。尸体出土时,全身裹着20层丝绸衣服, 半身浸泡在略呈红色的溶液里。出土后,经医生的解剖检验,证明女尸不但 外形完整,而且内脏器官也是完整的。尸体的皮下结缔组织还有弹性。股部 动脉的颜色,几乎跟刚死去的尸体一样。给她注射防腐剂时,皮、肉、血管 等软组织,随着药水所到而鼓起,然后通过微血管扩散。估计女尸死亡年龄 在50岁左右。食道和胃里还保存着几颗甜瓜子。从各方面的病理查明,死者 生前患有多种疾病,胆绞痛引起冠心病发作,似乎是导致猝死的原因。马王 堆中的女尸为什么经历2000多年而不腐烂呢?原来这与墓葬的严密结构密切 相关。女尸由三层椁和三层棺装殓,这已经够严密的了。椁的四周以及上部 又填塞了一尺厚的木炭,用来吸水防渗。木炭外面还包着一层透水性极小的 二三尺厚的白膏泥,形成密封状态。这样就造成了一个恒温、恒湿、缺氧、 无菌的环境,对于女尸的不腐不烂起了决定性的作用。

相关阅读材料
? 科学研究表明:宇宙射线在大气中能够产生放射 性碳14,并能与氧结合成二氧化碳形后进入所有 活组织,先为植物吸收,后为动物纳入。只要植 物或动物生存着,它们就会持续不断地吸收碳14, 在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后, 即会停止呼吸碳14,其组织内的碳14便以5730 年的半衰期开始衰变并逐渐消失。对于任何含碳 物质,只要测定剩下的放射性碳14的含量,就可 推断其年代。因此碳14的衰变极有规律,其精确 性可以堪称自然界的"标准时钟"。

问题提出
? 科学研究表明:现代的人与远古的人活着 的时候体内碳14的含量是一样的。阅读上 面的材料,湖南长沙马王堆汉墓女尸出土 时碳14的残余量约占原始量的76.7%。请 你计算一下马王堆汉墓的大致年代?得出 P=xt后,问当t=5730年时,P为多少?能 否求出x的值? ? 学生列出式子:,即得:。计算如下: ? 年.

解决问题
? 推算生物死亡t年后,每克组织中的碳14含 量为多少?设生物死亡时,体内每克组织 中的碳14含量为1,1年后的残留量为x, 生物死亡t年后,每克组织中的碳14含量为 多少?让学生进行探索如下:列表如下: 得出P=xt后,问当t=5730年时,P为多少? 能否求出x的值? ? 学生列出式子:,即得:。

人口增长问题
? ? ? ? 两个世纪以前,英国经济学家马尔萨斯(Thomas Malthus)指出,中国历史上的人口增长是一种没有节制的自然增长,它将导致粮食的 短缺、生存条件的恶化和人民的贫困。马尔萨斯认为:由于一对夫妻在生育没有控制时不止生两个子女,人口将以几何级数增长;而土地 面积的扩大和农作物产量的提高都是缓慢和有限的,粮食只能以算术级数增长。因此,一个社会要避免粮食和人口关系的危机,只有抑制 人口的增长。在马尔萨斯看来,17至18世纪西欧人通过晚婚和独身对婚姻进行了限制,减缓了人口的生育,形成了从人口体系内部来对人 口增长的自愿的、有道德的"预防性抑制"(Preventive check);而中国不仅存在着没有限制的婚姻,而且还存在着没有节制的生育,因 此,对中国人口增长的抑制主要是来自于人口体系外部非自愿的、罪恶性的"现实性抑制",例如战争、饥荒和传染病。 4、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以有效控制人口增长提供依据。早在1798年,英国经济 学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:y=y0er t,其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口人数,r表示人口年平均增长 率。 5、下表是我国1950--1959年的人口数据资料: 年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数(亿) 5.5196 5.6300 5.7482 5.8796 6.0266 6.1456 6.2828 6.4563 6.5994 6.7207

延伸思考
? 阅读上面材料3、4、5、请求下面几个问题? ? (1)计算:在材料5中,以1950年为基数, 从1951年到1959年求出这9年的各年人口增长 率的平均值r?(精确到0.0001) ? (2)建立我国这一时期的马尔萨斯人口增长 函数模型.(其中的r就是(1)中所求得的) ? (3)用几何画板画出(2)中所求的函数图象,, 并检验所得的函数模型与实际人口数据是否相符. ? (4)如果按照上表中的增长趋势,大约在哪一 年我国的人口达到13亿?

问题解决
? 先求从1951年到1959年各年的人口增长率分别是多少?再求出这9年的年均 增长率是多少? ? 设1951年到1959年各年的人口增长率分别是,由 ? , 同理可得各值(略写),然后计算得这9年的年均增长率. ? 师生互动2:学生不难得到我国这一时期的马尔萨斯人口增长函数模型为 y=5.5196e0.0221t,(0≤ t ≤10). ? 师生互动3:下面由教师的引导下,回顾前面的问题一中第4个函数图象, 是利用几何画板画出函数y=5.5196e0.0221t,(0≤ t ≤10)的图象,如下图 所示.然后再描出点(1, 5.6300),(2,5.6300)...,(9,6.7207),由 下图可以看出所得的模型与我国在这时期的实际人口数据基本吻合。 ? 师生互动4:教师引导学生在所求得的函数模型中令y=13,则得到 ? 13=5.5196e0.0221t,由对数可以计算出即t=39年,在1989年我国人 口将达到13亿。实际上我国人口到2000年才达到13亿。再让学生分析一下 我国实行计划生育的重要性。 ?

汇总信息 课堂讨论
? 回顾解题过程,总结函数应用的基本步骤。解答函数模型应用问题的 程序概括为"四步八字"即: ? ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择 模型; ? ②建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语 言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ? ③求模:求解数学模型,得出数学结论; ? ④还原:将数学结论还原为实际问题的意义。

心得体会
? 通过这次活动,我们深切的感到数学 就在我们的生活当中,只要我们善于 观察,善于思考,就能发现问题,就 能运用我们掌握的知识去解决它,我 们深信,我们有能力解决问题!

作品引用记录
? http://www.jixue.cn/jyzx/sx/sxxklw/ 20114/2685.html ? http://zhidao.baidu.com/question/18 217175 ? http://zhidao.baidu.com/question/30 3130074 ? http://paper.dic123.com/keywords_3 605867656/

谢谢收看
? 原来数学就在我们身边耶!


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