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2013年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013 年安徽省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一个符合题 目要求 1. (5 分) (2013?安徽)设 i 是虚数单位, 是复数 z 的共轭复数,若(z? )i+2=2z,则 z= ( ) A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i 考点: 复数代数形式的混合运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 设出复数 z=a+bi(a,b∈R) ,代入 后整理,利用复数相等的条件列关于 a, b 的方程组求解 a,b,则复数 z 可求. 解答: 解:设 z=a+bi(a,b∈R) ,则 ,
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由 ,得(a+bi) (a﹣bi)i+2=2(a+bi) , 2 2 整理得 2+(a +b )i=2a+2bi. 则 ,解得 .

所以 z=1+i. 故选 A. 点评: 本题考查了复数代数形式的混合运算,考查了复数相等的条件,两个复数相等,当且 仅当实部等于实部,虚部等于虚部,是基础题. 2. (5 分) (2013?安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、 各语句的作用, 分析可知: 该程序的作用是计算并输出 S= + +
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的值,并输出.
1

解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值 ∵S= + + = .

故选 D. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理 方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的 类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数 据进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型 ③解模. 3. (5 分) (2013?安徽)在下列命题中,不是公理的是( ) A.平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 规律型. 分析: 根据公理的定义解答即可.经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判 断加以证明的命题和原理就是公理. 解答: 解:B,C,D 经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明 的命题和原理故是公理; 而 A 平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理. 故选 A. 点评: 本题考查了公理的意义,比较简单.
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4. (5 分) (2013?安徽)“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增” 的( ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 对 a 分类讨论,利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出. 解答: 解:当 a=0 时,f(x)=|x|,在区间(0,+∞)内单调递增.
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当 a<0 时,



结合二次函数图象可知函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增. 若 a>0,则函数 f(x)=|(ax﹣1)x|,其图象如图 它在区间(0,+∞)内有增有减,
2

从而若函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增则 a≤0. ∴a≤0 是”函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件. 故选:C.

点评: 本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件,考查了数形结合的思想方法,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 5. (5 分) (2013?安徽)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了 该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为 86,94,88, 92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93,下列说法正确的是( ) A.这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这种抽样方法是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样.根据平均数的定义:平均数
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是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数; 方差公式: s= [ (x1﹣ ) + (x2 ﹣ ) +…+(xn﹣ ) ]求解即可. 解答: 解:根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样. 五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90)÷5=90, 方差= ×[(86﹣90) +(94﹣90) +(88﹣90) +(92﹣90) +(90﹣90) ]=8. 五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+88+93)÷5=91, 方差= ×[(88﹣91) +(93﹣91) +(93﹣91) +(88﹣91) +(93﹣91) ]=6. 故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差. 故选:C. 点评: 本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法,要想求方差,必须先求出这组数据的 平均数,然后再根据方差公式求解.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

3

6. (5 分) (2013?安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<﹣1 或 x> },则 f (10 )>0 的解集为( ) A.{x|x<﹣1 或 x>﹣lg2} C. {x|x>﹣lg2}
x

B. {x|﹣1<x<﹣lg2} D.{x|x<﹣lg2}

考点: 其他不等式的解法;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: x x 由题意可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < ,由指数函数的单调性可得解集.
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解答: 解:由题意可知 f(x)>0 的解集为{x|﹣1<x< }, 故可得 f(10 )>0 等价于﹣1<10 < , 由指数函数的值域为(0,+∞)一定有 10 >﹣1, 而 10 < 可化为 10 <
x x x x x

,即 10 <10

x

﹣lg2



由指数函数的单调性可知:x<﹣lg2 故选:D 点评: 本题考查一元二次不等式的解集,涉及对数函数的单调性及对数的运算,属中档题. 7. (5 分) (2013?安徽) 在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( A.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=2 B. θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=2 C. θ= (ρ∈R)和 ρcosθ=1 D.θ=0(ρ∈R)和 ρcosθ=1 )

考点: 简单曲线的极坐标方程;圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出. 解答: 解:如图所示,在极坐标系中圆 ρ=2cosθ 是以(1,0)为圆心,1 为半径的圆.
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故圆的两条切线方程分别为 故选 B.

(ρ∈R) ,ρcosθ=2.

点评: 正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》

4

8. (5 分) (2013?安徽)函数 y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可找到 n(n≥2)个 不同的数 x1, x2, …, xn, 使得 =…= , 则 n 的取值范围是 ( )

A.{3,4}

B.{2,3,4}

C.{3,4,5}

D.{2,3}

考点: 直线的斜率. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 表示(x,f(x) )点与原点连线的斜率,结合函数 y=f(x)的图象,数形
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结合分析可得答案. 解答: 解:令 y=f(x) ,y=kx, 作直线 y=kx,可以得出 2,3,4 个交点, 故 k= (x>0)可分别有 2,3,4 个解.

故 n 的取值范围为 2,3,4. 故选 B. 点评: 本题考查的知识点是斜率公式,正确理解 斜率是解答的关键.

表示(x,f(x) )点与原点连线的

9. (5 分) (2013?安徽)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点 A,B 满足 | |=| |= ) B. C. D. ? =2,则点集{P| =λ +μ ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是

( A.

考点: 平面向量的基本定理及其意义;二元一次不等式(组)与平面区域;向量的模. 专题: 压轴题;平面向量及应用. 分析: 由两定点 A,B 满足 = =2,说明 O,A,B 三点构成边长为 2 的
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等边三角形,设出两个定点的坐标,再设出 P 点坐标,由平面向量基本定理,把 P 的 坐标用 A,B 的坐标及 λ,μ 表示,把不等式|λ|+|μ|≤1 去绝对值后可得线性约束条件, 画出可行域可求点集 P 所表示区域的面积.

5

解答: 解:由两定点 A,B 满足 2 的等边三角形. 不妨设 A( 由 ) ,B( ,得:

=

=2,说明 O,A,B 三点构成边长为

) .再设 P(x,y) .



所以

,解得

①.

由|λ|+|μ|≤1.

所以①等价于









可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域,

则区域面积为 . 故选 D. 点评: 本题考查了平面向量的基本定理及其意义,考查了二元一次不等式(组)所表示的平 面区域,考查了数学转化思想方法,解答此题的关键在于读懂题意,属中档题. 10. (5 分) (2013?安徽)若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则 2 关于 x 的方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的不同实根个数是( ) A.3 B.4 C .5 D.6
6
3 2

考点: 函数在某点取得极值的条件;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题;压轴题;导数的综合应用. 2 分析: 求导数 f′(x) ,由题意知 x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根,从而关于 f(x)的方程
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3(f(x) ) +2af(x)+b=0 有两个根,作出草图,由图象可得答案. 2 2 解答: 解:f′(x)=3x +2ax+b,x1,x2 是方程 3x +2ax+b=0 的两根,不妨设 x2>x1, 2 由 3(f(x) ) +2af(x)+b=0,则有两个 f(x)使等式成立,x1=f(x1) ,x2>x1=f(x1) , 如下示意图象: 如图有三个交点, 故选 A.

2

点评: 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解,考查数形结合思想. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡上 11. (5 分) (2013?安徽)若 的展开式中 x 的系数为 7,则实数 a=
4



考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用二项式定理的通项公式即可得出. 解答: 解:由通项公式 Tr+1=
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=





的展开式中 x 的系数为 7,∴

4

,解得



故答案为 . 点评: 熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键. 12. (5 分) (2013?安徽)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a, 3sinA=5sinB,则角 C= .

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形.

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7

分析: 由 3sinA=5sinB,根据正弦定理,可得 3a=5b,再利用余弦定理,即可求得 C. 解答: 解:∵3sinA=5sinB,∴由正弦定理,可得 3a=5b, ∴a= ∵b+c=2a, ∴c=

∴cosC= ∵C∈(0,π) ∴C= 故答案为:

=﹣

点评: 本题考查正弦、余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 13. (5 分) (2013?安徽)已知直线 y=a 交抛物线 y=x 于 A,B 两点,若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为 [1,+∞) . 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示,可知 A ,B
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2

,设 C(m,m ) ,由该抛物线上 =0.即可得到 a 的取值范围. ,B , , .

2

存在点 C,使得∠ACB 为直角,可得 解答: 解:如图所示,可知 A 设 C(m,m ) ,
2

∵该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角, ∴
2

=
2 2



化为 m ﹣a+(m ﹣a) =0. 2 ∵m ,∴m =a﹣1≥0,解得 a≥1. ∴a 的取值范围为[1,+∞) . 故答案为[1,+∞) .

8

点评: 本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识,考查了推 理能力和计算能力. 14. (5 分) (2013?安徽)如图,互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,… 分别在角 O 的两条边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等, 设 OAn=an,若 a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是 .

考点: 数列的应用;数列的函数特性. 专题: 压轴题;等差数列与等比数列. 分析: 设 ,利用已知可得 A1B1 是三角形 OA2B2 的中位线,得到
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=

= ,梯形 A1B1B2A2 的面积=3S.由已知可得梯形 AnBnBn+1An+1

的面积=3S.利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得:





,…,已知



,可得

,….因此数列{

}是一

个首项为 1,公差为 3 等差数列,即可得到 an. 解答: 解:设 ,∵OA1=a1=1,OA2=a2=2,A1B1∥A2B2,

∴A1B1 是三角形 OA2B2 的中位线,∴ 面积=3S. 故梯形 AnBnBn+1An+1 的面积=3S.

=

= ,∴梯形 A1B1B2A2 的

∵所有 AnBn 相互平行, ∴所有△ OAnBn(n∈N )都相似,∴

*





,…,

9

∵ ∴数列{ ∴

,∴



,…. =1+(n﹣1)×3=3n﹣2.

}是一个等差数列,其公差 d=3,故 . .

因此数列{an}的通项公式是 故答案为 .

点评: 本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基 础知识和基本技能,考查了推理能力和计算能力. 15. (5 分) (2013?安徽)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正 确的是 ①②③⑤ (写出所有正确命题的编号) . ①当 0<CQ< 时,S 为四边形 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ④当 <CQ<1 时,S 为六边形 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 .

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 由题意作出满足条件的图形,由线面位置关系找出截面可判断选项的正误. 解答:
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解:如图

10

当 CQ= 时,即 Q 为 CC1 中点,此时可得 PQ∥AD1,AP=QD1= 故可得截面 APQD1 为等腰梯形,故②正确;

=



由上图当点 Q 向 C 移动时,满足 0<CQ< ,只需在 DD1 上取点 M 满足 AM∥PQ, 即可得截面为四边形 APQM,故①正确; ③当 CQ= 时,如图,

延长 DD1 至 N,使 D1N= ,连接 AN 交 A1D1 于 S,连接 NQ 交 C1D1 于 R,连接 SR, 可证 AN∥PQ, 由△ NRD1∽△QRC1, 可得 C1R: D1R=C1Q: D1N=1: 2, 故可得 C1R= , 故正确; ④由③可知当 <CQ<1 时,只需点 Q 上移即可,此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS,显然为五边形,故错误; ⑤当 CQ=1 时, Q 与 C1 重合, 取 A1D1 的中点 F, 连接 AF, 可证 PC1∥AF, 且 PC1=AF, 可知截面为 APC1F 为菱形,故其面积为 AC1?PF= = ,故正确.

故答案为:①②③⑤. 点评: 本题考查命题真假的判断与应用,涉及正方体的截面问题,属中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤 16. (12 分) (2013?安徽)已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ π. (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性. ) (ω>0)的最小正周期为

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先利用和角公式再通过二倍角公式,将次升角,化为一个角的一个三角函数的 形式,通过函数的周期,求实数 ω 的值;
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(2)由于 x 是[0,

]范围内的角,得到 2x+ ]上的单调性. )=2

的范围,然后通过正弦函数的单调性

求出 f(x)在区间[0,

解答: 解: (1)f(x)=4cosωxsin(ωx+ = (sin2ωx+cos2ωx)+ =π,∴ω=1.

sinωx?cosωx+2 )+ ,

cos ωx

2

=2sin(2ωx+

所以 T=

(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ 因为 0≤x≤ 当 当 ≤2x+ ≤2x+ ,所以 ≤ ≤ ≤2x+ ≤ ,

)+



时,即 0≤x≤ 时,即 ≤x≤

时,f(x)是增函数, 时,f(x)是减函数, , ]上单调减.

所以 f(x)在区间[0,

]上单调增,在区间[

点评: 本题考查三角函数的化简求值,恒等关系的应用,注意三角函数值的变换,考查计算 能力,常考题型. 17. (12 分) (2013?安徽)设函数 f(x)=ax﹣(1+a )x ,其中 a>0,区间 I={x|f(x)> 0} (Ⅰ)求 I 的长度(注:区间(a,β)的长度定义为 β﹣α) ; (Ⅱ)给定常数 k∈(0,1) ,当 1﹣k≤a≤1+k 时,求 I 长度的最小值. 考点: 导数的运算;一元二次不等式的解法. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)解不等式 f(x)>0 可得区间 I,由区间长度定义可得 I 的长度;
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2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)构造函数 d(a)=

,利用导数可判断 d(a)的单调性,由单调

性可判断 d(a)的最小值必定在 a=1﹣k 或 a=1+k 处取得,通过作商比较可得答案. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)因为方程 ax﹣(1+a )x =0(a>0)有两个实根 x =0, >0,
1

故 f(x)>0 的解集为{x|x1<x<x2}, 因此区间 I=(0, ) ,区间长度为 ;

(Ⅱ)设 d(a)=

,则 d′(a)=



令 d′(a)=0,得 a=1,由于 0<k<1,
12

故当 1﹣k≤a<1 时,d′(a)>0,d(a)单调递增;当 1<a≤1+k 时,d′(a)<0,d (a)单调递减, 因此当 1﹣k≤a≤1+k 时,d(a)的最小值必定在 a=1﹣k 或 a=1+k 处取得,



=

<1,故 d(1﹣k)<d(1+k) ,

因此当 a=1﹣k 时,d(a)在区间[1﹣k,1+k]上取得最小值

,即 I 长度的

最小值为



点评: 本题考查二次不等式的求解,以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能,考查分 类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.

18. (12 分) (2013?安徽)设椭圆 E:

的焦点在 x 轴上

(1)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (2)设 F1,F2 分别是椭圆 E 的左、右焦点,P 为椭圆 E 上第一象限内的点,直线 F2P 交 y 轴于点 Q,并且 F1P⊥F1Q,证明:当 a 变化时,点 P 在某定直线上. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出
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,解出即

可; (2)设 P(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,其中 .利用斜率的计算

公式和点斜式即可得出直线 F1P 的斜率

=

,直线 F2P 的方程为

.即可得出 Q

.得到直线 F1Q 的斜率

=

.利用 F1Q⊥F1P,可得

=

.化为

.与椭圆的方程联立即可解出点 P 的坐标. 解答: 解: (1)∵椭圆 E 的焦距为 1,∴ ,解得 .

13

故椭圆 E 的方程为

. .

(2)设 P(x0,y0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,其中

由题设可知:x0≠c.则直线 F1P 的斜率

=

,直线 F2P 的斜率

=



故直线 F2P 的方程为



令 x=0,解得

.即点 Q



因此直线 F1Q 的斜率

=



∵F1Q⊥F1P,∴ 化为

=





联立

,及 x0>0,y0>0,

解得





即点 P 在定直线 x+y=1 上. 点评: 本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质,直线和直线、直线和椭圆的位置关系 等基础知识和基本技能,考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力,属于难题. 19. (13 分) (2013?安徽)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为 22.5°,AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°, (1)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)求 cos∠COD.

考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的

14

位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用线面平行的判定与性质,可证平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)先作出 OP 与平面 PCD 所成的角,再求出 OC,OF,求出 cos∠COF,利用二倍 角公式,即可求得 cos∠COD. 解答: (1)证明:设平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l,则 ∵AB∥CD,AB?平面 PCD,∴AB∥平面 PCD ∵AB?面 PAB,平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l,∴AB∥l ∵AB 在底面上,l 在底面外 ∴l 与底面平行; (2)解:设 CD 的中点为 F,连接 OF,PF 由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD ∵OP⊥底面,CD?底面,∴OP⊥CD ∵OP∩OF=O ∴CD⊥平面 OPF ∵CD?平面 PCD ∴平面 OPF⊥平面 PCD ∴直线 OP 在平面 PCD 上的射影为直线 PF ∴∠OPF 为 OP 与平面 PCD 所成的角 由题设,∠OPF=60° 设 OP=h,则 OF=OPtan∠OPF=
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∵∠OCP=22.5°,∴ ∵tan45°= ∴tan22.5°= ∴OC= = =
2

=1

在 Rt△ OCF 中,cos∠COF=

=

∴cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos ∠COF﹣1=17﹣12

点评: 本题考查线面平行的判定与性质,考查空间角,考查学生的计算能力,正确找出线面 角是关键.

20. (13 分) (2013?安徽)设函数 fn(x)=﹣1+x+

+

+…+

(x∈R,n∈N+) ,证明:

15

(1)对每个 n∈N+,存在唯一的 x∈[ ,1],满足 fn(xn)=0; (2)对于任意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn}满足 0<xn﹣xn+p< .

考点: 反证法与放缩法;函数的零点;导数的运算;数列的求和;数列与不等式的综合. 专题: 压轴题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: (1)由题意可得 f′(x)>0,函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数.求得 fn(1)>0,
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fn( )<0,再根据函数的零点的判定定理,可得要证的结论成立. (2)由题意可得 fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0,由 fn+1(x) 在(0,+∞) 上单调递增,可得 xn+1<xn,故 xn﹣xn+p>0.用 fn(x)的解析式减去 fn+p (xn+p) 的解析式,变形可得 xn﹣xn+p= 求和,可得它小于 + ,再进行放大,并裂项

,综上可得要证的结论成立.

解答: 证明: (1)对每个 n∈N+,当 x>0 时,由函数 fn(x)=﹣ 1+x+ ) ,可得

f′(x)=1+ +

+…

>0,故函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数. + +…+ >0,即 fn(1)>0.

由于 f1(x1)=0,当 n≥2 时,fn(1)=

又 fn ( ) =﹣1+ +[

+

+

+…+

]≤﹣ + ?

=﹣ + ×

=﹣ ?

<0,

根据函数的零点的判定定理,可得存在唯一的 xn

,满足 fn(xn)=0.

(2)对于任意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn},当 x>0 时,∵fn+1(x)=fn(x) + >fn(x) ,

∴fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. 由 fn+1(x) 在(0,+∞)上单调递增,可得 xn+1<xn,即 xn﹣xn+1>0,故数列{xn} 为减数列,即对任意的 n、p∈N+,xn﹣xn+p>0.

16

由于 fn(xn)=﹣1+xn+ fn+p (xn+p)=﹣ 1+xn+p+ + +…+

+

+…+

=0 ①,

+[

+

+…+

]②,

用①减去②并移项,利用 0<xn+p≤1,可得 xn﹣xn+p= + ≤ ≤ <

=

< .

综上可得,对于任意 p∈N+,由(1)中 xn 构成数列{xn}满足 0<xn﹣xn+p< . 点评: 本题主要考查函数的导数及应用,函数的零点的判定,等比数列求和以及用放缩法证 明不等式,还考查推理以及运算求解能力,属于难题. 21. (13 分) (2013?安徽)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试 活动,分别由李老师和张老师负责,已知该系共有 n 位学生,每次活动均需该系 k 位学生参 加(n 和 k 都是固定的正整数) ,假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随 机地发给该系 k 位学生, 且所发信息都能收到, 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信 息的学生人数为 X. (I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率; (II)求使 P(X=m)取得最大值的整数 m. 考点: 概率的应用;古典概型及其概率计算公式;计数原理的应用. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论;转化思想;概率与统计. 分析: (I)由题设,两位老师发送信息是独立的,要计算该系学生甲收到李老师或张老师 所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件, 该生没有接到任一位老师发送的信息 的概率,利用概率的性质求解; (II)由题意,要先研究随机变量 X 的取值范围,由于 k≤n 故要分两类 k=n 与 k<n 进行研究,k=n 时易求,k<n 时,要研究出同时接受到两位老师信息的人数,然后再 研究事件所包含的基本事件数,表示出 P(X=m) ,再根据其形式研究它取得最大值 的整数 m 即可. 解答: 解: (I)因为事件 A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件 B:“学生甲收到张老师所
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发信息”是相互独立事件,所以 与 相互独立,由于 P(A)=P(B)= P( )=P( )=1﹣ ,

= ,故

17

因此学生甲收到活动信息的概率是 1﹣(1﹣ ) = (II)当 k=n 时,m 只能取 n,此时有 P(X=m)=P(X=n)=1 当 k<n 时,整数 m 满足 k≤m≤t,其中 t 是 2k 和 n 中的较小者,由于“李老师与张老师 各自独立、随机地发送活动信息给 k 位”所包含的基本事件总数为( ) ,当 X=m
2

2

时,同时收到两位老师所发信息的学生人数为 2k﹣m,仅收到李老师或张老师转发信 息的学生人数为 m﹣k,由乘法原理知:事件{X=m}所包含的基本事件数为

P(X=m)=

=
2

当 k≤m<t 时,P(X=M)<P(X=M+1)?(m﹣k+1) ≤(n﹣m) (2k﹣m)?m≤2k ﹣

假如 k≤2k﹣

<t 成立,则当(k+1) 能被 n+2 整除时,

2

k≤2k﹣

<2k+1﹣

<t,故 P(X=M)在 m=2k﹣



m=2k+1﹣

处达到最大值;

当(k+1) 不能被 n+2 整除时,P(X=M)在 m=2k﹣[ [x]表示不超过 x 的最大整数) , 下面证明 k≤2k﹣ <t

2

]处达到最大值(注:

因为 1≤k<n,所以 2k﹣

﹣k=



=

≥0

而 2k﹣

﹣n=

<0,故 2k﹣

<n,显然 2k﹣

<2k

18

因此 k≤2k﹣

<t

综上得,符合条件的 m=m=2k﹣[

]

点评: 本题主要考查古典概率模型,计数原理,分类讨论思想等基础知识和基本技能,考查 抽象的思想,逻辑推理能力,运算求解能力,以及运用数学知识分析解决实际问题的 能力,本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手,或者因为分类不清未能 正确分类导致失分

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