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湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2016届高三数学第一次模拟考试试卷 文


湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中 2016 届高三数学第一次模拟考试试卷 文
试卷满分:150 分 注意事项: 1、答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题 卡上的指定位置。 2、选择题的作答:每小题选出答案后,用合乎要求的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、非选择题的作答:用合乎要求的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用合乎要求的 2B 铅笔涂黑。答案写在 答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 集合 P ? ? x A. (1,2]

? x ?1 ? ? 0? , Q ? y | y ? 4 ? x 2 ,则 P ? Q ? ( ? x?3 ?
B. [1,2) C. [1,2] D. ?

?

?



2 2.设 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“复数 z ? x ? 1 ? ? x ? 1? i ”为纯虚数的(

?

?



A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3. 在 ?ABC 中, AB ? A. 30 ?

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3 , AC ? 1 , ?B ? 30 ? , ?ABC 的面积为
C. 60 ? )
2 B. ?x ? R , x ? x 2 D. ?x ? R , x ? x

3 ,则 ?C ? () 4

B. 120?

D. 45 ?

2 4 命题“ ?x ? R , x ? x ”的否定是( 2 A. ?x ? R , x ? x 2 C. ?x ? R , x ? x

5.已知平面向量 a, b, c 满足 a ? (?1,1) , b ? (2,3) , c ? (?2, k ) ,若 (a ? b)//c ,则实数 k = ( A.4 B.-4 C.-8 D.8 6.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?) (? ? 0 , ? ?



? ) 的部分图象 2
? 6

? 的值分别是( 如图所示,则 ? ,

) D. 4 ,

? A. 2 ,

? 3

? B. 2 ,

? 6

? C. 4 ,

? 3

1

?x ? y ? 1 ? 0 ? 2 2 7.变量 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ,则 ( x ? 2) ? y 的最小值为( ? x ? ?1 ?
A.



3 2 2

B. 5

C.

9 2

D. 5 )

8. 按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 63,则判断框中的整数 M 的值是(

A.6

B.5
2

C.7

D.8 )

9. 已知函数 f ? x ? ? x ?

ln x x

,则函数 y ? f ? x ? 的大致图像为(

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.
7 3



B. D.

17 2
17 ? 3 10 2

C.13

x2 y 2 11.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两顶点为 A1, A2, 虚轴两端点为 B1, B2, 两焦点为 F1, F2. 若 a b
以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F 2B2,则双曲线的离心率为( A. )

1? 5 2

B.

3? 5 2

C.

1? 2 2

D.

3? 2 2
2 x

12. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 16 , 当 x ? ? 0, 4 ? 时,f ( x) ? x ? 2 , 则函数 f ( x)
2

在 ? ?4, 2016? 上的零点个数是( A.504 B.505

) C.1008 D.1009

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分.
? 13. 在 △ ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c . a ? 15 , b ? 10 , A ? 60 , 则

c oB s ? _____________.
14.在区间 [ ?2,1] 上随机选一个数 x ,使得函数 f ( x) ? log2 (1 ? x 2 ) 有意义的概率为

15. 设抛物线 y ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是抛物线上一点,且在 x 轴上方, PA ? l ,A 为垂足,
2

若直线 PF 的倾斜角为 120? ,则 PF =_______. 16.已知函数 f ( x) ? 2e ?
x

1 2 ax ? ax ? 1 有两个极值,则实数 a 的取值范围为_______. 2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,满足 S4 ? 4(a3 ? 1) , 3a3 ? 5a4 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 求数列

{| an |} 的前 项和为 Tn . n

18(本小题满分 12 分)某市为庆祝北京夺得 2022 年冬奥会举办权,围绕“全民健身促健康、同心共 筑中国梦”主题开展全民健身活动. 组织方从参加活动的群众中随机抽取 120 名群众, 按他们的年龄分组:

) ) 第组 [20,30) ,第 2 组 [30,40 ,第 3 组 [40,50 ,第 4 组 [50,60) ,第 5 组 [60,70] ,得到的频率分布直方
图如图所示. (Ⅰ)若电视台记者要从抽取的群众中选人进行采访,估计被采访人恰好在第组或第 4 组的概率; (Ⅱ)已知第组群众中男性有 3 名,组织方要从第组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队,求至少 有名女性群众的概率.
3

19. (本题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 ?DAB ? 600 , PA ? PD , M 为 CD 的 中点, BD ? PM . (1)求证:平面 PAD ? 平面 ABCD ; (2)若 ?APD ? 90 ,四棱锥 P ? ABCD 的体积为
0

2 3 ,求三棱锥 A ? PBM 的高. 3

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程;

3 x2 y 2 ,右顶点 A(2,0) 。 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

(2)在 x 轴上是否存在定点 M ,使得过 M 的直线 l 交椭圆于 B、D 两点,且 k AB k AD ? ? 在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由。

3 恒成立?若存 4

21. (本小题满分 12 分)
2 已知 f ( x ) 是定义在 [?2, 2] 上的奇函数,当 x ? [?2, 0) 时, f ( x) ? ?ax ? ln(? x) ? 1, a ? R .

(1)当 a ?

1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; 2
4

(2)若对于 (0, 2] 上任意的 x ,都有 f ( x) ? x ? 1成立,求实数 a 的最大值.

四、选做题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.解答 时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图: AB 是圆 O 的直径, C 是弧 BD 的中点, CE ? AB ,垂足为 E , BD 交 CE 于点 F . (1)求证: CF ? BF ; (2)若 AD ? 4 ,圆 O 的半径为 6 ,求 BC 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程.

1 ? x ? 1 ? t, ? ? x ? cos? , ? 2 (为参数) 已知直线 l : ? ,曲线 C1 : ? ( ? 为参数) . 3 y ? sin ? , ? ? y? t. ? 2 ?
(1)设与 C1 相交于 A, B 两点,求 AB ; (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到曲线 C2 ,设点 2 2

P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| . (1)求不等式 f ( x) ? 4 ;

m2 ? 2 n2 ? 1 ? (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) 的最小值为 a ,且 m ? n ? a(m ? 0, n ? 0) ,求 的 m n
取值范围.
5

文科数学参考答案 一选择题 1—6 A C 二填空题 13. B D C A 7---12 D B A C A B

6 3

14.

2 , 3

15.

8 ,16. a ? ?2 3

三解答题 17 【 试 题 解 析 】 解 : (1) 由 题 意 可 求 得 ?

?4a1 ? 6d ? 4(a1 ? 2d ? 1) , 解 得 a1 ? 9, d ? ?2, 所 以 3 ( a ? 2 d ) ? 5 ( a ? 3 d ) 1 1 ?

an ? 11? 2n .

(6 分)

(2) 设 ?an ?的前 n 项和为 S n ,则 Sn ? 10n ? n2 ,设 an 的前 n 项和为 Tn , 当 n ? 5 时, an ? 0, Tn ? Sn ? 10n ? n2 , 当 n ? 6 时, Tn ? S5 ? a6 ? a7 ? ?? an ? S5 ? (Sn ? S5 ) ? 2S5 ? Sn ? n2 ?10n ? 50 综上得 Tn ? ?
2 ? ?10n ? n , n ? 5 . 2 ? n ? 10 n ? 50 , n ? 6 ?

? ?

(12 分)

18【答案】(Ⅰ) 0.25 .(Ⅱ)

4 . 5

【 解 析 】 ( Ⅰ ) 设 第 组 [ 20,30) 的 频 率 为

f1 , 则 由 题 意 可 知 ,

f1 ? 1 ? (0.010? 0.035? 0.030? 0.020) ?10 ? 0.05 .??????????????2 分
被采访人恰好在第组或第 4 组的频率为 0.05 ? 0.020 ? 10 ? 0.25 . ∴估计被采访人恰好在第组或第 4 组的概率为 0.25 .????????????????????4 分 (Ⅱ)第组 [ 20,30) 的人数为 0.05 ? 120 ? 6 . ∴第组中共有 6 名群众,其中女性群众共 3 名.?????????????6 分 记第组中的 3 名男性群众分别为 A, B, C , 3 名女性群众分别为 x, y , z , 从 第 组 中 随 机 抽 取

2



























( A, B), ( A, C ), ( A, x), ( A, y), ( A, z), ( B, C ), ( B, x), ( B, y), ( B, z), (C, x), (C, y), (C, z), ( x, y), ( x, z), ( y, z) 共

15 个基本事件.???????????9 分
至 少 有 一 名 女 性 群 众 包 含

( A, x), ( A, y), ( A, z), ( B, x), ( B, y), ( B, z), (C, x), (C, y), (C, z), ( x, y), ( x, z), ( y, z)
共 12 个基本事件.??????????????????????????11 分
6

∴从第组中随机抽取 2 名群众组成志愿者服务队,至少有名女性群众的概率为 【考点】频率分布直方图、古典概型. 19. (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E ,连接 PE,EM,AC. ? PA ? PD ,? PE ? AD .? 底面 ABCD 为菱形,? BD ? AC , 又 EM∥AC,? EM ? BD .又 BD ? PM ,? BD ? 平面 PEM , 则 BD ? PE .? PE ? 平面 ABCD .又 PE ? 平面 PAD , ? 平面 PAD ? 平面 ABCD .???????????????????6 分

12 4 ? .???12 分 15 5

(Ⅱ)解:设 PA ? PD ? a ,由 ?APD ? 90? ,可得 AD ?

2a ,

PE ?

2 3 a , S ABCD ? ? ( 2a) 2 ? 2 ? 3a 2 . 2 4

由(Ⅰ)可知 PE ? 平面 ABCD ,则

1 1 2 6 3 2 3 VP ? ABCD ? ? PE ? S ABCD = ? a ? 3a 2 ? a ? 3 3 2 6 3

? a3 ? 2 2 ,则 PA ? PD ? 2 , AD ? 2 .???????????????8 分
可得 PE ? 1 , BE ? EM ? BM ? 3 , PB ? PM ? 2 . ∴ S?PBM ?

39 , S?ABM ? 3 . 4

设三棱锥 A ? PBM 的高为 h ,则由 VA? PBM ? VP ? ABM 可得

1 1 ? h ? S ?PBM ? ? PE ? S ?ABM .即 h ? 3 3

3 4 13 . ? 13 39 4

所以三棱锥 A ? PBM 的高为

4 13 .?????12 分 13

20【解析】(1)由

c 3 x2 ? , a ? 2 得 b 2 ? 1 ,所以椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 ???4 分 a 2 4

(2)设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), M (m,0) ,直线 l 的方程设为 x ? ky ? m ,与椭圆的方程联立得:

7

(k 2 ? 4) y 2 ? 2kmy ? m2 ? 4 ? 0 ???6 分
所以 y1 y2 ?

m2 ? 4 2km , y1 ? y2 ? ? 2 , k2 ? 4 k ?4

从而 k AB k AD ? ?

y y 3 3 ? 1 ? 2 ? ? ,整理得: 4 x1 ? 2 x2 ? 2 4

m2 ? 4 2 2km (3k ? 4) ? 3k (m ? 2) 2 ? 3(m ? 2)2 ? 0 ???10 分 2 k ?4 k ?4 解得: m ? 2 (舍去)或 m ? 1
故在 x 轴上是否存在定点 M (1,0), 使得过 M 的直线 l 交椭圆于 B、D 两点,且 k AB k AD ? ? 立. ???12 分 21.解: (Ⅰ) ∵ f ( x) 为[-2,2]上的奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) . 当 x ? (0, 2] 时, ? x ?[?2,0) , f ( x) ? ? f (? x) ? ax2 ? ln x ?1 .

3 恒成 4

1 1 1 时, x ? (0, 2] 时, f '( x) ? x ? , f '(1) ? 2 , f (1) ? ? . x 2 2 所以,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 . ?????5 分
当a ? (II)由题可知, | ax2 ? ln x ? x ? 1|? 1 对于任意的 x ? (0, 2] 成立,
2 2 即 ax ? ln x ? x ? 2 ? 0 或 ax ? ln x ? x ? 0 对于任意的 x ? (0, 2] 成立,

?a ?

? ln x ? x ? 2 ? ln x ? x 或a ? 对于任意的 x ? (0, 2] 成立, 2 x x2 ? ln x ? x ? 2 ①显然函数 y ? 没有最大值,∴不存在实数 a 满足题意; x2 ? ln x ? x 2 ln x ? x ? 1 ②设 g ( x) ? , x ? (0, 2] . g '( x) ? , x ? (0, 2] , 2 x x3
令 g′(x)=0,得 x =1. 当 x ? (0,1) , g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (1, 2] , g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增.

a ? g ( x)min ? g (1) ? ?1 .
综上,实数 a 的最大值为-1.???????????????12 分

8

23【解析】(1)直线的普通方程为 y ? 3 ?x ? 1? , C1 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1 . 联立方程组 ?

? y ? 3 ? x ? 1?, ? x ? y ? 1,
2 2

,解得与 C1 的交点为 A?1,0 ?, B? ,?

?1 ?2 ?

3? ? ,则 AB ? 1 . 2 ? ?

1 ? x ? cos? , ? ?1 ? 3 ? 2 ?, sin ? (2) 曲线 C2 为 ? ( ? 为参数) ,故点 P 的坐标是 ? cos? , ?2 ? 3 2 ? ? ?y ? sin ? , ? 2 ?
3 3 cos? ? sin ? ? 3 2 2 2

从而点 P 到直线的距离是 d ?

?

3? ?? ? ? 2 sin ?? ? ? ? 2? , ? 4 ? 4? ? ?

由此当 sin ?? ?

? ?

??

6 ? ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 4 4?

?

2 ?1 .

?

24 【解析】 (1)由 f ( x) ? 4 知 | 2 x ? 1|? 4 , 于是 ?4 ? 2 x ? 1 ? 4 , 解得 ?

3 5 ?x? , 故不等式 f ( x) ? 2 2 2

的解集为 ( ?

3 5 , ). 2 2

9

x ? [ , ] 时,其最小值 (2) 由条件得 g ( x) ? | 2x ? 1 |? | 2 x ? 3? | |2 x? 1 ? (2 x ? 3) ?| ,当且仅当 2
a ? 2 ,即 m ? n ? 2 .


1 3 2 2

2 1 1 2 1 1 2n m 1 ? ? (m ? n)( ? ) ? (3 ? ? ) ? (3 ? 2 2) , m n 2 m n 2 m n 2
m2 ? 2 n 2 ? 1 2 1 1 7?2 2 , ? ? m ? n ? ? ? 2 ? (3 ? 2 2) ? m n m n 2 2

所以



?7 ? 2 2 ? m2 ? 2 n 2 ? 1 ? 的取值范围为 ? , ?? ? ?, m n 2 ? ?

此时 m ? 4 ? 2 2 , n ? 2 2 ? 2 .

10


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