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2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测:(二十一) 坐标系与参数方程 Word版含答案

课时跟踪检测(二十一) 坐标系与参数方程 1.(2017· 宝鸡模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐 标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ). (1)求 C 的直角坐标方程; ?x=2t, (2)直线 l:? 3 ?y=1+ 2 t +|EB|. 1 (t 为参数)与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 E,求|EA| 解:(1)由 ρ=2(cos θ+sin θ)得 ρ2=2ρ(cos θ+sin θ), 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y, 即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 化简得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0, 设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=1,t1t2=-1, 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2| = ?t1+t2?2-4t1t2= 5. ? ?x=cos α, 2.(2017· 张掖模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (α 为参数),在 2 ?y=sin α ? π? 2 以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρcos? ?θ-4?=- 2 ,曲线 C3:ρ =2sin θ. (1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标; (2)设点 A,B 分别为曲线 C2,C3 上的动点,求|AB|的最小值. ? ?x=cos α, 解:(1)曲线 C1:? 消去参数 α, 2 y = sin α ? ? 得 y+x2=1,x∈[-1,1].① 1 π? 2 曲线 C2:ρcos? ?θ-4?=- 2 ?x+y+1=0,② 联立①②,消去 y 可得 x2-x-2=0?x=-1 或 x=2(舍去),所以 M(-1,0). (2)曲线 C3:ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1,是以(0,1)为圆心,半径 r=1 的圆. |0+1+1| 设圆心为 C,则点 C 到直线 x+y+1=0 的距离 d= = 2,所以|AB|的最小值 2 为 2-1. 3.(2018 届高三· 昆明一中调研)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴的非负半 π? 轴为极轴建立极坐标系.已知点 P 的极坐标为? ?2 3,6 ? , 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ?x=2cos α, ? (α 为参数). ?y=- 3+2sin α (1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 Q 为曲线 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l:ρcos θ+2ρsin θ+1=0 距离的最 小值. ? ?x=2cos α, 解:(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ 可得点 P 的直角坐标为(3, 3),由? ? ?y=- 3+2sin α (α 为参数) 得 x2+(y+ 3)2=4, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+(y+ 3)2=4. (2)直线 l 的普通方程为 x+2y+1=0, ? ?x=2cos α, 曲线 C 的参数方程为? (α 为参数), y =- 3 + 2sin α ? ? 3 ? 设 Q(2cos α,- 3+2sin α),则 M? ?2+cos α,sin α?, 故点 M 到直线 l 的距离 d= ?3+cos α+2sin α+1? ? 5sin?α+φ?+5? 2? ?2 ? ? 12+22 = 5 2 5 - 5+ 2 1 5 tan φ= ?, ≥ = -1? 2? ? 2 5 ∴点 M 到直线 l 的距离的最小值为 5 -1. 2 4.(2017· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|· |OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; π? (2)设点 A 的极坐标为? ?2,3?,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值. 解:(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1= 4 . cos θ 由|OM|· |OP|=16,得 C2 的极坐标方程 ρ=4cos θ(ρ>0). 因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB>0), 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB 的面积 1 ?sin?α-π?? S= |OA|· ρB· sin∠AOB=4cos α· ? ? 3 ?? 2 π 3? ? =2 sin?2α- ?- ≤2+ 3. 3? 2 ? ? ? π 当 α=- 时,S 取得最大值 2+ 3. 12 所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3. π? 5.(2017· 成都模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,倾斜角为 α? ?α≠2?的直线 l 的参数方程 ? ?x=1+tcos α, 为? (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 ?y=tsin α ? 线 C 的极坐标方程是 ρcos2θ-4sin θ=0. (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; π? (2)已知点 P(1,0).若点 M 的极坐标为? ?1,2?,直线 l 经过点 M 且与曲线 C 相交于 A, B 两点,设线段 AB 的中点为 Q,求|PQ|的值. 3 ? ?x=1+tcos α, 解: (1)∵直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ∴直线 l 的普通方程为 y=tan ?y=tsin α ? α· (x-1). 由 ρcos2

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