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山东省高三数学 11平面向量单元测试 新人教A版

山东省新人教版数学高三单元测试 11【平面向量】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分) 1. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A、一条线段 B、一段圆弧 2. 下列命中,正确的是( A、| a |=| b | ? a = b C、 a = b ? a ∥ b 、圆上一群孤立点 ) B、| a |>| b | ? a > b D、| a |=0 ? a =0 ) 、一个单位圆

3. 已知 AB ? (6,1), BC ? ( x, y ), CD ? (?2,?3), BC ∥ DA ,则 x ? 2 y 的值为( A.2 B. 0 C. 0.5 D. -2 ) D.

4. 已知 a ? ? 3,1? , b ? ? 2, ? ? ,若 a // b ,则实数 ? 的值为( A. ?

2 3

B. ?

3 2

C.

2 3

5. 已知非零向量 a 、 b 满足向量 a ? b 与向量 a ? b 的夹角为 的是( ) (A) a ? b (B) | a |?| b |

? ,那么下列结论中一定成立 .... 2

3 2

(C) a ? b

(D) a

b

6. 若非零向量 a, b 满足 | a |?| b |, 2a ? b ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为( ) A. 30°
°

?

?

B. 60°

C. 120°

D. 150°

7. 已知 ?ABC 中, ? A , ? B , ?C 的对边分别为 a, b, c 三角形的重心为 G .

aGA ? bGB ? cGC ? 0 ,则 ? A ?
A. 30 ? B. 60 ? C. 90 ?





D. 120?
1 AB ? t AC ,其中 t 为实数,若点 P 落 3 1 2 2 3

8. 已知点 P 为 ?ABC 所在平面上的一点,且 AP ? 在 ?ABC 的内部,则 t 的取值范围是( A. 0 ? t ? )

1 4

B. 0 ? t ?

1 3

C. 0 ? t ?

D. 0 ? t ?

? ? ? 9. 设 A(a,1) ,B(2, b) ,C (4,5) 是坐标平面上三点, O 为坐标原点, 若 OA与 OB 在 OC 方向 方

向上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为(



A. 5a ? 4b ? 14

B. 4a ? 5b ? 3

C. 4a ? 5b ? 14

D. 5a ? 4b ? 3

10. 设平面向量 a =(-2,1), b =(λ ,-1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 的取值范围是 ( )

1 2 1 C、 (? ,?? ) 2

A、 (? ,2) ? (2,??)

B、 (2,?? ) D、 (??,? )

1 2

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分) 11. 已知向量 a ? 3, b ? (1,2) ,且 a

?

?

?

? ? ? b ,则 a 的坐标是



12. 直线 l 上有不同三点 A, B, C , O 是直线 l 外一点,对于向量 OA ? (1- cos? )OB +

sin ? OC (? 是锐角)总成立,则 ? ? _________________;
13. 已知在平面直角坐标系中, 为原点,且 (其中 均为实数) ,若 N(1,0) ,则的最小 值是 .

14. 在平面直角坐标系中,双曲线 C 的中心在原点,它的一个焦点坐标为 ( 5, 0) ,

e1 ? (2,1) 、 e2 ? (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 C 上的点 P ,若
,则 a 、 b 满足的一个等式是 OP ? ae1 ? be2 ( a 、 b ? R ) 三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15. ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 为 角 A, B, C 的 对 边 , 向 量 。

m ? (2sin B, 2 ? cos 2B),
n ? (2sin 2 ( B ? ? ), ?1) ,且 m ? n . 2 4

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3, b ? 1 ,求 c 的值. 16. (本小题满分 10 分)已知 ?ABC 内接于圆 O : x + y =1( O 为坐标原点) ,
2

2

且 3 OA +4 OB +5 OC = 0 。 (I)求 ?AOC 的面积; (Ⅱ)若 ?xOA ? ?

?
4

,设以射线 Ox 为始边,射线 OC 为终边所形成的角为 ? ,

判断 ? 的取值范围。

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 C 点的坐标。 17. (本小题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD=4,BC=6,CD=2,

3 AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0
(1) 求四边形 ABCD 的面积; (2) 求三角形 ABC 的外接圆半径 R; (3) 若 ?APC ? 600 ,求 PA+PC 的取值范围。 18. (本小题满分 12 分) 已知 ?ABC ,AB ? (cos 其中 x ? (0 ,

3x 3x x x , ? sin ) ,AC ? (cos , sin ) , 2 2 2 2

?
2

).

⑴求 | BC | 和 ?ABC 的边 BC 上的高 h ; ⑵若函数 f ( x) ?| BC | ?? ? h 的最大值是 5 ,求常数 ? 的值.
2

答案 一、选择题 1. D2. C3. B4. C5. B6. C7. B8. D9. B10. 答案:A 点评:易误选 C,错因:忽视 a 与 b 反向的情况。 二、填空题 11. ? ?

?3 5 6 5 ? ? 3 5 6 5 ? 0 ,? 或? ? , 12. 45 13. 14. 4ab?1 ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 5 ? ? 5
B ? ? ) ? (2 ? cos 2 B) 2 4

三、解答题
2 15. 解: (1) m ? n ? 2 sin B ? 2 sin (

? 2 sin B ? (1 ? cos(B ?

)) ? 2 ? cos2 B 2 ? 2 sin B ? 2 sin 2 B ? 2 ? cos2 B
? 2 sin B ? 1 ? 0
因为 0 ? B ? ? 所以 B ? ,? sin B ?

?

1 2

?
6



5? 6

(2)在 ?ABC 中,因为 b<a,所以 B ? 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2accos B 得 c 2 ? 3c ? 2 ? 0 所以 c ? 1 或 c ? 2 ,

?
6

16. 解: (1)由 3 OA +4 OB +5 OC = 0 得 3 OA +5 OC = ?4 OB , 平方化简,得 OC · OA = ? ,所以 cos ? OA, OC ? = ? , 而 ? OA, OC ??[0, ? ] 所以 sin ? OA, OC ? =
?AOC 的面积是 S?AOC =

3 5

3 5

4 。 5

2 1 OA OC sin ? OA, OC ? = 。 2 5
3 5

(2)由(1)可知 cos ? OA, OC ? = ? ? 0 ,得 ? OA, OC ? 为钝角, 又 ? ? OA, OC ? ?

?
4

? ? ? 2k? 或 ? OA, OC ? = ? ? 3 4 1 4

?
4

? 2k? , k ? Z 3 4

所以 ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? ? 2k? 或 ? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? , k ? Z (3)由题意,C 点的坐标为 (cos? ,sin ? ) ,进而 OC ? (cos? ,sin ? ) ,

5 4

2 2 2 2 ? ,? ) ,可得 OA ? OC ? cos? ? sin ? ? ? sin(? ? ) 2 2 2 2 4 ? 3 3 OA ? OC ? ? ,于是有 sin(? ? ) ? 4 5 5 5 3 3 1 当 ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? ? 2k? 时, ? ? ? 2k? ? ? ? ? ? ?? ? 2k? , 4 4 2 4 ? 4 所以 cos(? ? ) ? ? 4 5
又 OA ? (

sin ? ? sin[(? ? ) ? ] ? sin(? ? )cos ? cos(? ? )sin 4 4 4 4 4 4 3 2 4 2 2 ? ? ? (? ) ? ?? 5 2 5 2 10 7 2 从而 cos? ? ? 。 10 1 1 1 3 当 ? ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? 时, 0 ? 2k? ? ? ? ? ? ? ? 2k? , 4 2 4 4 ? 4 所以 cos(? ? ) ? 4 5
cos? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin 4 4 4 4 4 4 4 2 3 2 2 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10 7 2 从而 sin ? ? 。 10
综上, C 点的坐标为 (?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2 7 2 2 7 2 , )。 ,? )或( 10 10 10 10

17. (1)由 3 AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0 得 ?BAD ? ?BCD ? ?

??ABC ? ?ADC ? ?
? AC 2 ? 42 ? 62 ? 2 ? 4 ? 6cos ?ABC ? 42 ? 22 ? 2 ? 2 ? 4cos ?ADC
? cos ?ABC ? 1 2
0 故 ?ABC ? 60

1 1 ? S ABCD ? ? 2 ? 4 ? sin1200 ? ? 4 ? 6sin 600 ? 8 3 2 2
(2)由(1)知 AC ? 2 7 ,? 2 R ?

AC 2 7 4 21 ? ? 0 sin ?ABC sin 60 3

?R ?

2 21 3

(3) 由(1)和(2)知点 P 在三角形 ABC 的外接圆上,故 PA=2Rsin∠ACP, PC=2Rsin∠CAP,设∠ACP=θ ,则∠CAP=

2? ?? , 3

2? ? ? ? ? PA ? PC ? 2R ?sin ? ? sin( ? ? ) ? ? 4 7 sin(? ? ) , 3 6 ? ?

? ? (0,

2? ? ? 5? ) ?? ? ? ( , ) 3 6 6 6

? ?1 ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? 6 ?2 ?

? PC ? PA ? 2 7, 4 7 ? ?
18. ⑴ BC

?

? AC ? AB ? (cos

x 3x x 3x ? cos , sin ? sin ) , 2 2 2 2

x 3x x 3x | BC | 2 ? (cos ? cos ) 2 ? (sin ? sin ) 2 2 2 2 2

x 3x x 3x ? 2 ? 2(sin sin ? cos cos ) ? 2 ? 2 cos 2 x ? 4 sin 2 x 2 2 2 2
因为 x ? (0 ,

?
2

) ,所以 | BC

|? 2 sin x ,因为 | AB |?| AC |? 1 , ?ABC 是等腰

三角形,所以 h ?

1 | AB | 2 ?( | BC |) 2 ? cos x 2

注 : 运 用 数 形 结 合 解 三 角 形 的 办 法 求 解 | BC | 也 可 参 ( 照 给 分 。

cos A ?

AB ? AC | AB | ? | AC |

,?

cos 2 x , 依题意,0 ? A ? ? ,0 ? 2 x ? ? , 所以 A ? 2 x
h ? cos x

,因为

| AB |?| AC |? 1,所以 | BC |? 2 sin x ,
2 2

? 2 ?2 ⑵由⑴知, f ( x) ?| BC | ?? ? h ? ?4 cos x ? ? cos x ? 4 ? ?4(cos x ? ) ? 4 ? , 8 16
因为 x ? (0 ,

?
2

) , cos x ? (0 , 1) ,所以



?2 ?2 ? ? 5, 若0 ? ? ? 8, 则当 cos x ? 时,f ( x) 取得最大值 4 ? , 依题意 4 ? 8 16 16
解得 ?

?4
2 ? 0 ,因为 cos x ? (0 , 1) ,所以 f ( x) ? ?4 cos x ? ? cos x ? 4 ? 4 ,



②若 ?

与 f ( x) 取得最大值 5 矛盾 ③若

? ? 8 ,因为 cos x ? (0 , 1) ,
f ( x) ? 4 s i2 x n? ? c ox ? s 4 s i2 x n? 8 c ox s, f ( x)
的 最 大 值

所 以

? M ? f ( ) ? 7 ? 5 ,与“函数 f ( x) 的最大值是 5 ”矛盾 3

(或:若 ? ? 8 ,当 cos 依题意 ?

x ? 1 时, f ( x) 取得最大值,最大值为 f (0) ? ?

? 5 ,与 ?

? 8 矛盾

综上所述,

? ? 4.


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