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2014年北京市朝阳区高三一模文科数学试题


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试(文史类)
2014.3 (考试时间 120 分钟 满分 150 分)

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. (1)已知集合 A ? {x ? N | 0 ? x ? 3} , B ? {x | 2x?1 ? 1} ,则 A (A) ? (B) ?1? (C) ?2?

B?
(D) ?1, 2?

(2)已知 i 为虚数单位,复数 (A) ? 1 ? i

2i 的值是 1? i
(B) 1 ? i (C) ? 1 ? i (D)1 ? i

? x ? y ≤ 3, ? (3)若 x, y 满足约束条件 ? y ≤ x ? 1, 则函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? x ? 3 y ≥ 3, ?
(A) ?1 (B) 0 (C) 3 (D) 6 (4)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命题 p 是“甲落地站稳”, q 是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为 (A) p ? q (B) p ? ? ?q ? (C) ? ?p ? ? ? ?q ? (D) ? ?p ? ? ? ?q ? 开始 (5)执行如右图所示的程序框图,则输出 S 的值是 ( ) S=1,i=1 S=S+i i=i+2


(A)10 (B)17 (C)26 (D)28

i >7? 是

输出 S 结束
1

(6)函数 f ( x) ?
y
π

sin x 的图象大致为 x2 ? 1
y
y o
π 2

y
π 2



o

x



o

π

x

-

π 2

x

-

o

π 2

x

(A)

(B)

(C)

(D)

(7)已知 AB 和 AC 是平面内两个单位向量,它们的夹角为 60 ,则 2 AB ? AC 与 CA 的 夹角是 (A) 30 (B) 60 (C) 90 (D) 120

( 8 )如图,梯形 ABCD 中, AD

BC , AD ? AB ? 1 , AD ? AB , ?BCD ? 45 , 将

?ABD 沿对角线 BD 折起.设折起后点 A 的位置为 A? ,并且平面 A?BD ? 平面 BCD .给出
下面四个命题: ① A?D ? BC ; ②三棱锥 A? ? BCD 的体积为 ③ CD ? 平面 A?BD ;

A

D

2 ; 2

B
其中正确命题的序号是 (A)①②

C

④平面 A?BC ? 平面 A?DC .

(B)③④

(C)①③

(D)②④

2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.

(9)抛物线 y 2 ? 8x 的准线方程是

.

(10)在一次选秀比赛中,五位评委为一位表演者打分,若去掉一个最低分后平均分为 90 分,去掉一个最高分后平均分为 86 分.那么最高分比最低分高 分. (11) 在 ?ABC 中, 已知 b ? 4 , c ? 2 , ?A ? 60 , 则a ? a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边. ;

?C ?

.

(12)一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ;表面积为 .

1 1 正视图 1 侧视图

俯视图

(13)已知直线 y ? x ? m 与曲线 x2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A, B ,若 | AB |≥ 2 3 ,则实 数 m 的取值范围是 . (14)将 1,2,3,…,9 这 9 个正整数分别写在三张卡片上,要求每一张卡片上的任意两 数之差都不在这张卡片上.现在第一张卡片上已经写有 1 和 5,第二张卡片上写有 2,第 三张卡片上写有 3, 则 6 应该写在第 张卡片上; 第三张卡片上的所有数组成的集合是 .

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 3cos2 x . (Ⅰ)求 f (0) 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ?x ? 在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. 2 (16) (本小题满分 13 分) 某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 20 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力 和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
逻辑思维 运动 协调能力 能力

? π? ? ?

一般

良好

优秀

一般 良好 优秀

2
4 1

2

1
1

b
3

a

例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是 4 人. 由于部分数据丢失, 只 知道从这 20 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为

1 . 5
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ) 从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 2 位, 求其中至少有一位逻辑思维能力优秀 的学生的概率. (17) (本题满分 14 分) 在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 为菱形,O 为 AC 1 1 与 B1D1 交点,已知 AA 1 ? AB ? 1 , ?BAD ? 60 . (Ⅰ)求证: A1C1 ? 平面 B1BDD1 ; (Ⅱ)求证: AO ∥平面 BC 1 D ; ( Ⅲ ) 设 点 M 在 ?BC1D 内 ( 含 边 界 ) , 且 A1 D1 O B1 C1

OM ? B1D1 , 说明满足条件的点 M 的轨
迹,并求 OM 的最小值. A

D B

C

4

(18) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ax ? 1 , a ? R ,记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? e 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 0 时,若函数 F ( x) 没有零点,求 a 的取值范围.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 (1, ) ,一个焦点为 ( 3,0) . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与 x 轴交于点 P ,与椭圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的 垂直平分线与 x 轴交于点 Q ,求

| AB | 的取值范围. | PQ |

(20) (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是公差不等于 0 的等差数列, {bn } 是等比数列 (n ? N? ) ,且 a1 ? b1 ? 0 . (Ⅰ)若 a3 ? b3 ,比较 a2 与 b2 的大小关系; (Ⅱ)若 a2 ? b2 , a4 ? b4 . (ⅰ)判断 b10 是否为数列 {an } 中的某一项,并请说明理由; (ⅱ)若 bm 是数列 {an } 中的某一项,写出正整数 m 的集合(不必说明理由).

5



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