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2013石家庄高中毕业班第一次模拟考试数学理科参考答案

2013 年高中毕业班第一次模拟考试
数学理科答案
一、选择题 A 卷答案 1-5 DCBCC B 卷答案 1-5 DBCBB 二、填空题

6-10 ADADD 6-10 ADADD

11-12 AD 11-12 AD

13 . 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 或 x ? 2

14 .

4 5

15 . 24

16 . ?1, 2 ?

三、解答题:(阅卷老师,可根据学生的答题情况,酌情给分) 17.解:第一步:在 ? AEF 中,利用正弦定理, 解得 A E
? a sin ? sin (? ? ? )
AE sin ? ? EF sin (1 8 0 ? ? ? ? )
?



;?????4 分
? a sin ? sin (? ? ? )
?

第二步:在 ? CEF 中,同理可得 C E

;?????8 分
2

第三步:在 ? ACE 中,利用余弦定理, A C
a s in ?
2 2

AE

? CE

2

? 2 A E ? C E co s ?

?

s in (? ? ? )
2

?

a s in ?
2 2

s in (? ? ? )
2

? 2

a s in ? s in ? c o s ?
2

s in (? ? ? ) s in (? ? ? )

????12 分 (代入角的测量值即可,不要求整理,但如果学生没有代入,扣 2 分) 18.解: (Ⅰ)由男生上网时间频数分布表可知 100 名男生中,上网时间少于 60 分钟的有 60 人,不少于 60 分钟的有 40 人,??????2 分 故从其中任选 3 人,恰有 1 人上网的时间少于 60 分钟的概率为
C 60 C 40 C 100
? 156 539
3 1 2

?????4 分 ??????6 分 上网时间少于 60 分 60 70 130
200 91

(Ⅱ) 男生 女生 合计 ?????8 分
K
2

上网时间不少于 60 分 40 30 70

合计 100 100 200

?

2 0 0 ? (1 8 0 0 ? 2 8 0 0 )

2

100 ? 100 ? 130 ? 70

?

? 2 .2 0

,??????10 分

∵ K 2 ? 2 .2 0 ? 2 .7 0 6 ∴没有 90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.??????12 分 19. 解: (Ⅰ)依题意 R t ? A B C ? R t ? A D C , ? B A C ? ? D A C , ? A B O ? ? A D O ,所以 A C 而 P A ? 面 A B C D , P A ? B D ,又 P A ? A C ? A ,∴ B D ? 面 P A C ,

? BD

,??2 分
1

又 B D ? 面 P B D ,∴平面 P A C ? 平面 P B D ????4 分 (Ⅱ) 过 A 作 A D 的垂线为 x 轴, A D 为 y 轴, A P 为 z 轴,建立如图所示坐 标系,则 所以 G ( 由 AG
3 6
? PB
B( 3 2 ,? 1 2 , 0)

z P

, D (0 , 1 , 0 ) , C (
3 2 ,? 1 2 , ?? )

3 , 1, 0 )

,设 P (0, 0, ? ) ,

,

1 ? , ) 6 3



??? ? PB ? (



,得
3 1 ? 3 1 , , )?( , ? , ?? ) ? 0 6 6 3 2 2
? 2 2
2 2 );

???? ??? ? AG ? PB ? (

A B x

y D

解得 ? 2

?

1 2

,?

.??????6 分

C

∴P 点的坐标为 ( 0 , 0 ,

面 P B D 的一个法向量为 m

???? ? 6 A G ? ( 3 ,1,

2)

,?????8 分 , PD
???? ? (0 ,1, ? 2 2 )

设面 P C D 的一个法向量为 n
???? ?n ? PD ? 0 ? ???? ? ?n ?CD ? 0 ?

???? ? ( x , y , z ) , C D ? ( ? 3 , 0, 0 )

即?

? ?

2y ? z ? 0

,∴ n

? (0, 1,

2)

??????10 分
? 2 2

?? 3x ? 0 ?
n?m | n || m | ? (0 ,1, 2 ) ? ( 3 ,1, 3? 6 2)

cos ? n, m ??



所以二面角 B ? P D ?

A

的余弦值为

2 2

.?????12 分
A F 2 | ? | B F1 | ? | B F 2 |

20. 解: (Ⅰ)由椭圆的定义知 | A F1 | ? | A B 上的中线, ∴ F1 F2 ? A B ,????????2 分 在 R t △ A F1 F 2 中, c o s 3 0 ? ?
2c 4a 3 ,

,又 |

A F 2 | ? | B F 2 | ,∴ | A F1 | ? | B F1 | ,即 F1 F 2

为边



c a

?

3 3



∴椭圆的离心率

3 3

.???????4 分(注:若学生只写椭圆的离心率
? e ? 5 ?1 2

3 3

,没有过程扣 3 分)

(Ⅱ)设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 因为 0 ①当直线 A B 与 x 轴垂直时,
? a ? 3a ? 1
4 2

,c
b a
4 2

? 1 ,所以 a ?

1? 2

5

. ????6 分
b a
4 2

1 a
2

?

y b

2 2

?1

, y2

?

,OA ?OB

??? ??? ? ?

? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 1 ?

,

? (a ?
2

3 2
2

) ?
2

5 4

a
2

2

=
a

, 因为 a

2

?

3? 2

5

,所以 O A ? O B

??? ??? ? ?

? 0



恒为钝角, 2 2 ? O A ? O B ? A B .?????????8 分
? ?AOB

②当直线 A B 不与 x 轴垂直时,设直线 A B 的方程为: y 整理得: ( b 2
x1 ? x 2 ?
2

? k ( x ? 1)

,代入

x a

2 2

?

y b

2 2

?1,

? a k )x ? 2k a x ? a k
2 2 2 2 2 2

2

?a b
2

2

? 0



?2a k
2 2

2 2

b ? a k ??? ??? ? ? O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2

, x1 x 2

?

a k
2

2

2

?a b
2 2 2

2

b ? a k

x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? k ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2

2

? x1 x 2 (1 ? k ) ? k ( x1 ? x 2 ) ? k
2 2

2

?

(a k
2

2

2

? a b )(1 ? k ) ? 2 a k
2 2 2 2

4

? k (b ? a k )
2 2 2 2

b ? a k
2 2

2

? ?

k (a ? b ? a b ) ? a b
2 2 2 2 2

2

b ? a k
2 2 2 4 2

2 2 2

k ( ? a ? 3 a ? 1) ? a b b ? a k
2 2
4

2
2

??????10 分 由 ①可知 m ( a ) ? 0 ,
AB
2

令 m (a ) ?
? ?AOB

? a ? 3a ? 1 ,

恒为钝角.,所以恒有 O A 2 ? O B 2 ?
/

.??????12 分

21. 解: (Ⅰ) f ( x ) ?

2x

2

? 2x ? a x ?1

? 0 在区间 [1, ?? ) 上恒成立,

即 a ? ? 2 x ? 2 x 区间 [1, ?? ) 上恒成立, ???????1 分
2

a ? ? 4 .??????3 分

经检验, 当 a=- 4 时, f ( x ) ?
/

2x

2

? 2x ? 4 x ?1

?

2 ( x ? 2 )( x ? 1 ) x ?1

, x ? [1, ?? ) 时, f ( x ) ? 0 ,
/

所以满足题意的 a 的取值范围为 [ ? 4 , ? ? ) .??????4 分 (Ⅱ) 函数的定义域 ( ? 1, ?? ) , f ( x ) ?
/

2x

2

? 2x ? a x ?1

? 0, 依题意方程 2 x

2

? 2 x ? a ? 0 在区间 ( ? 1, ?? )

有两个不等的实根,记 g ( x ) ? 2 x

2

? ?? ? 0 ? ? 2 x ? a ,则有 ? g ( ? 1) ? 0 , ? 1 ?? ? ?1 ? 2

得0 ? a ?

1 2

.????????6 分
1 2 1 ? 2a 2
1 2
2

? x 1 ? x 2 ? ? 1, 2 x 2 ? 2 x 2 ? a ? 0 , x 2 ? ?
2

?

,?

? x2 ? 0 ,

f (x2 ) x1

?

x 2 ? ( 2 x 2 ? 2 x 2 ) ln( x 2 ? 1 )
2 2

? 1 ? x2

,令 k ( x ) ?

x

2

? (2 x

? 2 x ) ln( x ? 1)

?1? x

, x ? (?

1 2

,0 )

????????8 分
k (x) ? ? x
2

x ?1
1 2

? 2 x ln( x ? 1) , k ( x ) ?
/

x

2 2

( x ? 1)

? 2 ln( x ? 1 ) , k ( x ) ?
//

2x

2

? 6x ? 2
3

( x ? 1)

,

因为 k ( ?
//

) ? ?

1 2

, k ( 0 ) ? 2 ,存在 x 0 ? ( ?
//

1 2

, 0 ) ,使得 k ( x 0 ) ? 0 ,
//

x
//

(?

1 2

, x0 )

x0

( x 0 ,0 )

k (x)

-

0

+

3

k (0) ? 0 , k (?
/
/

1 2

) ? 1 ? 2 ln 2 ? 0 ,? k ( x ) ? 0 ,所以函数 k ( x ) 在 ( ?
/

1 2

, 0 ) 为减函数,

???????10 分
k (0 ) ? k ( x ) ? k (? 1 2 ) 即0 ?

f (x2 ) x1

? ?

1 2

? ln 2 ????????12 分

法二:6 分段后面还有如下证法,可以参照酌情给分. 【证法 2】 x 2 为方程 2 x 2 ∵0
? a ? 1 2
? 2x ? a ? 0

的解,所以 a ? ? 2 x 2 ? 2 x 2 ,
2


? 0

x1 ? x 2 ? 0

, x2

? ?

1 2

?

1 ? 2a 2

,∴ ?

1 2

? x2 ? 0

,

先证

f ( x2 ) x1

,即证

f ( x 2 ) ? 0 ( x1 ? x 2 ? 0

), ,所以
f ( x2 )

在区间 ( x1 , x 2 ) 内, 即
f ( x 2 ) ? 0 ,∴
f ( x2 ) x1
2 2

f ?( x ) ? 0
? 0

, ( x2 , 0) 内

f ?( x ) ? 0

为极小值,

f ( x 2 ) ? f (0 ) ? 0

,

f ( x2 ) x1

成立;???????8 分
1 2 1 2 ? ln 2 )( ? 1 ? x 2 ) ? ( 1 2 ? ln 2 )( x 2 ? 1)

再证

? ?

1 2

? ln 2 ,即证 f ( x 2 ) ? ( ?
1 2

,

x 2 ? ( 2 x 2 ? 2 x 2 ) ln ( x 2 ? 1) ? (

? ln 2 ) x 2 ? 1 2

? ln 2

,
x ? (? 1 2 , 0)

令 g (x) ?

x ? ( 2 x ? 2 x ) ln ( x ? 1) ? (
2 2

? ln 2 ) x


1 2

???????10 分

g ? ( x ) ? 2 x ? ( 4 x ? 2 ) ln ( x ? 1) ?

2 x ( x ? 1) x ?1

?(

? ln 2 ) ,

? ? 2 ( 2 x ? 1) ln ( x ? 1) ? (

1 2

? ln 2 )
1 2

, ,

ln ( x ? 1) ? 0

,2x ?1 ? 0 ,
1 2

? ln 2 ? 0

∴ g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ( ?
g ( x) ? g (? 1 4 1 2 1 2 1 2 ? ? ln ? 1 4 ) ? 1 4 ? 1 2 ? (2 ? 1 4 ln 2 ?

, 0)

为增函数.
1 2 ? 1 1 ( ? ln 2 ) 2 2

? 1) ln 1 2

? ln 2



综上可得 0

?

f ( x2 ) x1

? ?

1 2

? ln 2

成立.?????????12 分

22.证明:(Ⅰ)∵∠BAD=∠BMF, 所以 A,Q,M,B 四点共圆,?????3 分 所以 P A ? P B ? P M ? P Q .??????5 分 (Ⅱ)∵ P A ? P B ? P C ? P D , ∴ PC ? PD ? PM ? PQ 又 ?CPQ ? ?M PD , , 所以 ? C P Q ~ ? M P D ,?????7 分
4

∴ ? PCQ ? ? PMD

,则 ? D C B ? ? F M D ,??????8 分

∵ ?BAD ? ?BCD , ∴ ? B M D ? ? B M F ? ? D M F ? 2? B A D , ? BO D ? 2? BAD , 所以 ? B M D ? ? B O D .???????10 分 23.解:(Ⅰ)依题意 ? sin ? ? ? co s ? ??????3 分
2 2

得: y

2

? x
2

? 曲线 C 1 直角坐标方程为: y

? x

.???????5 分

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 2 (Ⅱ)把 ? 代入 y ? x 整理得: 2 ? y ? t ? 2 ?

t

2

?

2 t ? 4 ? 0 ??????7 分

? ? 0 总成立,
t1 ? t 2 ? ? 2

, t1t 2 ? ? 4
(? 2 ) ? 4 ? (?4) ? 3 2
2

AB ? t 1 ? t 2 ?

??????10 分

另解: (Ⅱ)直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 ? x ,把 y ? 2 ? x 代入 y
x
2

2

? x 得:

? 5 x ? 4 ? 0 ??????7 分

? ? 0 总成立, x 1 ? x 2 ? 5 , x 1 x 2 ? 4
AB ? 1? k
2

x1 ? x 2 ?

2

(5 ? 4 ? 4 ) ? 3 2
2

???????10 分

24. 解:(Ⅰ) ?

?x ? 2 ?x ? 2 ? 2x ? 2 ? 3

解得 x ?

7 3

?1 ? x ? 2 解得 x ? ? ? ?2 ? x ? 2 x ? 2 ? 3 ?x ? 1 1 解得 x ? ???????3 分 ? 3 ?2 ? x ? 2 ? 2 x ? 3

不等式的解集为 ( ? ? , ) ? ( , ? ? ) ??????5 分
3 3

1

7

5

?? 3x ? 2 ? 2a, x ? 2 ? (Ⅱ) a ? 2时, f ( x ) ? ? ? x ? 2 a ? 2 , 2 ? x ? a ; ?3 x ? 2 ? 2 a , x ? a ?
? ?3 x ? 6, x ? 2 a ? 2时, f ( x ) ? ? ; ?3 x ? 6, x ? 2

?? 3x ? 2 ? 2a, x ? a ? a ? 2时, f ( x ) ? ? x ? 2 a ? 2 , a ? x ? 2 ; ?3 x ? 2 ? 2 a , x ? 2 ?
? f ( x ) 的最小值为 f ( 2 ) 或 f ( a ) ;??????8 分

则?

? f (a ) ? 1 ? f (2) ? 1

,解得 a ? 1 或 a ? 3 .??????10 分

6


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