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2016年浙江省稽阳联谊学校联考数学试卷(文科)(解析版)


2016 年浙江省稽阳联谊学校联考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|(x﹣1) (x+2)<0},B={x|﹣3<x<0},则 A∩B=( ) A. C. (﹣∞,﹣2) B. (﹣2,0) (0,1) D. (1,+∞) 2.“k=1”是“直线 l1:kx+y+2=0 与直线 l2:x+ky﹣k=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 3.已知函数 f(x)=e|x|+x2,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成立的 x 的取值范围是( ) A. D. 4.某四棱锥的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是( ) B. C. (﹣ , )

A.18cm3

B.6cm3 C.

D.

5. b 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 设 a, 且 a? α, 下列说法正确的是 ( ) A.若 a⊥b,α∥β,则 b⊥β B.若 b? β,a⊥b,则 α⊥β C.若 a⊥b,α⊥β,则 b∥β D.若 b⊥β,α∥β,则 a⊥b 6.已知数列{an},{bn},其中{an}是首项为 3,公差为整数的等差数列,且 a3>a1+3,a4< a2+5,an=log2bn,则{bn}的前 n 项和 Sn 为( ) A.8(2n﹣1) B.4(3n﹣1) C. D.

7.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知点 P 为平面 AA1D1D 中的一个动点,且点 P 满足: 直线 PC1 与平面 AA1D1D 所成的角的大小等于平面 PBC 与平面 AA1D1D 所成锐二面角的大 小,则点 P 的轨迹为( ) A.直线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+∞)上为增函数,如果 f(x2+ax+a) ≤f(﹣at2﹣t+1)对任意 x∈[1,2],任意 t∈[1,2]恒成立,则实数 a 的最大值是( ) A.﹣1 B. C. D.﹣3

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分)

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9.函数 f(x)=

的图象如图所示,则 a+b+c=



10.已知 sinα=2cosα,则 tan2α= 11.已知 f(x)= R,则实数 a 的取值范围是 .

,cos2α=

. ,若 f(x)的值域为

,若 f[f(﹣ )]= ,则 a=

12.若 x>0,y>0,且 x+2y=1,那么 + 的最小值是

,2x+3y2 的取值范围是



13.在不等式组

确定的平面区域中,若 z=x+2y 的最大值为 9,则 a 的值为



14.已知单位向量 , 夹角为锐角,对 t∈R,| ﹣t |的取值范围是[ 满足( ﹣2 )?( ﹣ )=0,则| |的最小值为 15. F2 为椭圆 设 F1, + .

,+∞) ,若向量

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点, 过右焦点的直线 l 与椭圆

+

=1(a>b>0)交于 A,B 两点,与 y 轴交于 M 点,且满足 圆的离心率为 .

=3



=

,则椭

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.已知在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,函数 f(x)=cos( ﹣x)cosx+ sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值,并求出取得最大值时 x 的取值集合; (2)若 f(A)= (0<A< ) ,三角形的面积 S=6 ,且 b﹣c=1,求 a 的值.

17.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=1 且 a4,a3+a5,a6 为等差数列{bn}的前三项. (1)求 Sn 与数列{bn}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和 Tn,试问是否存在正整数 m,对任意的 n∈N*使得 Tn?bn

≤1?若存在请求出 m 的最大值,若不存在请说明理由. 18.如图,几何体 E﹣ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD=1,EC⊥BD,∠ BCD=120°,EA=2,M 是 EC 上的点,且 EM=3MC.
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(1)求证:BD⊥平面 AEC; (2)求 BM 与平面 AEC 所成角的正切值.

19.如图,过顶点在原点 O,对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的定点 A(2,1)作斜率分别为 k1,k2 的直线,分别交抛物线 E 于 B,C 两点. (1)求抛物线 E 的标准方程和准线方程; (2)若 k1+k2=k1k2,且△ABC 的面积为 8 ,求直线 BC 的方程.

20.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R) . (1)若 a<0,b>0,c=0,且 f(x)在[0,2]上的最大值为 ,最小值为﹣2,试求 a,b 的值; (2)若 c=1,0<a<1,且| 来表示) |≤2 对任意 x∈[1,2]恒成立,求 b 的取值范围. (用 a

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2016 年浙江省稽阳联谊学校联考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|(x﹣1) (x+2)<0},B={x|﹣3<x<0},则 A∩B=( ) A. C. (﹣∞,﹣2) B. (﹣2,0) (0,1) D. (1,+∞) 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,找出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:﹣2<x<1,即 A=(﹣2,1) , ∵B=(﹣3,0) , ∴A∩B=(﹣2,0) , 故选:B. 2.“k=1”是“直线 l1:kx+y+2=0 与直线 l2:x+ky﹣k=0 平行”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】求出直线平行的充要条件,结合集合的包含关系,判断即可. 【解答】解:∵“直线 l1:kx+y+2=0 与直线 l2:x+ky﹣k=0 平行”, ∴﹣k=﹣ ,解得:k=±1, 故 k=1 是 k=±1 的充分不必要条件, 故选:A. 3.已知函数 f(x)=e|x|+x2,则使得 f(x)>f(2x﹣1)成立的 x 的取值范围是( A. D. 【考点】函数单调性的性质. 【分析】根据 f(x)解析式可以判断 f(x)在[0,+∞)上为增函数,在 R 上为偶函数,从 而由 f(x)>f(2x﹣1)便可得到|x|>|2x﹣1|,两边平方即可解出该不等式,从而得出 x 的取值范围. 【解答】解:x≥0 时,f(x)=ex+x2,∴x 增大时 ex 增大,x2 增大,即 f(x)增大; ∴f(x)在[0,+∞)上单调递增; f(x)的定义域为 R,且 f(﹣x)=f(x) ; f x ∴ ( )为偶函数; ∴由 f(x)>f(2x﹣1)得:f(|x|)>f(|2x﹣1|) ∴|x|>|2x﹣1|; ∴x2>(2x﹣1)2; B. C. (﹣ , ) )

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解得

; .

∴x 的取值范围为 故选:A.

4.某四棱锥的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是(



A.18cm3

B.6cm3 C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形,高为 3 的四棱锥.由棱锥体积公式直 接求解. 【解答】解:由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为直角梯形,梯形的上下边长为分别 为 3,1,梯形的高为 3, 棱锥高为 3,根据棱锥体积公式 故选 B. 5. b 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 设 a, 且 a? α, 下列说法正确的是 ( A.若 a⊥b,α∥β,则 b⊥β B.若 b? β,a⊥b,则 α⊥β C.若 a⊥b,α⊥β,则 b∥β D.若 b⊥β,α∥β,则 a⊥b 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】利用线面、面面平行、垂直的判定方法,即可得出结论. 【解答】解:若 a⊥b,α∥β,则 b 与 β 关系不确定,故 A 不正确; 根据平面与平面垂直的判定定理,可知 B 不正确; 若 a⊥b,α⊥β,则 b 与 β 关系不确定,故 C 不正确; ∵b⊥β,α∥β,∴b⊥α,∵a? α,∴b⊥a,故 D 正确. 故选:D. 6.已知数列{an},{bn},其中{an}是首项为 3,公差为整数的等差数列,且 a3>a1+3,a4< a2+5,an=log2bn,则{bn}的前 n 项和 Sn 为( ) A.8(2n﹣1) B.4(3n﹣1) C. D. ) ,得 =6

【考点】数列的求和.

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【分析】由题意可知 a3>a1+3,a4<a2+5,根据等差数列性质可知:

,由 d 为为整

数, 即可求得 d=2, 根据等差数列通项公式即可求得 an, 根据对数的运算性质求得 bn=22n+1=8 ×4n﹣1,可知数列{bn}是以 8 为首项,4 为公比的等比数列,根据等比数列前 n 项和公式即 可求得{bn}的前 n 项和 Sn. 【解答】解:由题意可知:数列{an}的通项公式 an=a1+(n﹣1)d, 由题意可知:a3>a1+3,a4<a2+5, 即 ,由 d 为为整数,

解得:d=2, ∴an=3+2(n﹣1)=2n+1, 由 an=log2bn,即 2n+1=log2bn, ∴bn=22n+1=8×4n﹣1, ∴数列{bn}是以 8 为首项,4 为公比的等比数列, ∴{bn}的前 n 项和 Sn,Sn= 故答案选:C. 7.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,已知点 P 为平面 AA1D1D 中的一个动点,且点 P 满足: 直线 PC1 与平面 AA1D1D 所成的角的大小等于平面 PBC 与平面 AA1D1D 所成锐二面角的大 小,则点 P 的轨迹为( ) A.直线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 【考点】轨迹方程. 【分析】确定 P 到 D1 的距离等于 P 到直线 BD 的距离,利用抛物线的定义,即可得出结论. 【解答】解:∵点 P 满足:直线 PC1 与平面 AA1D1D 所成的角的大小等于平面 PBC 与平面 AA1D1D 所成锐二面角的大小, ∴P 到 D1 的距离等于 P 到直线 BD 的距离, ∴点 P 的轨迹为抛物线, 故选 D. 8.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)在[0,+∞)上为增函数,如果 f(x2+ax+a) ≤f(﹣at2﹣t+1)对任意 x∈[1,2],任意 t∈[1,2]恒成立,则实数 a 的最大值是( ) A.﹣1 B. C. D.﹣3 = (4n﹣1) ,

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据奇函数在对称区间上单调性相同结合已知可得 f(x)在(﹣∞,+∞)上是增 函数,进而可将 f(x2+ax+a)≤f(﹣at2﹣t+1)对任意 x∈[1,2],任意 t∈[1,2]恒成立, 转化为 x2+ax+a≤﹣at2﹣t+1 对任意 x∈[1,2],任意 t∈[1,2]恒成立,再分类讨论,即可 得出结论. 【解答】解:根据奇函数在对称区间上单调性相同且 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 故 f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数,
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∵f(x2+ax+a)≤f(﹣at2﹣t+1)对任意 x∈[1,2],任意 t∈[1,2]恒成立, ∴x2+ax+a≤﹣at2﹣t+1 对任意 x∈[1,2],任意 t∈[1,2]恒成立, ∴x2+ax≤﹣at2﹣t+1﹣a 对任意 x∈[1,2],任意 t∈[1,2]恒成立 a≥0 时,y=x2+ax,x∈[1,2],函数单调递增,∴4+2a≤﹣at2﹣t+1﹣a 任意 t∈[1,2]恒成 立 ∴at2+t+3+3a≤0 任意 t∈[1,2]恒成立 ∴a+1+3+3a≤0,∴a≤﹣1,不成立; a≤﹣3,y=x2+ax,x∈[1,2],∴1+a≤﹣at2﹣t+1﹣a 任意 t∈[1,2]恒成立 ∴at2+t+2a≤0 任意 t∈[1,2]恒成立 ∴a+1+2a≤0,∴a≤﹣ ,∴a≤﹣3; a>﹣3,y=x2+ax,x∈[1,2],4+2a≤﹣at2﹣t+1﹣a 任意 t∈[1,2]恒成立 ∴at2+t+3+3a≤0 任意 t∈[1,2]恒成立 ∴a+1+3+3a≤0,∴a≤﹣1,∴﹣3<a≤﹣1; 综上所述 a≤﹣1. 故选 A. 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 9.函数 f(x)= 的图象如图所示,则 a+b+c= .

【考点】函数的图象. 【分析】先由图象可求得直线的方程,又函数的图象过点(0,2) ,将其坐标代入可得 c 值, a b c 从而即可求得 + + 的值. 【解答】解:由图象可求得直线的方程为 y=2x+2, 又函数 y=logc(x+ )的图象过点(0,2) , 将其坐标代入可得 c= , 所以 a+b+c=2+2+ = 故答案为: .

10.已知 sinα=2cosα,则 tan2α= ﹣

,cos2α= ﹣



【考点】二倍角的余弦;二倍角的正切.

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【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 tanα,利用二倍角的正切函数公式可求 tan2α,利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式可求 cos2α. 【解答】解:∵sinα=2cosα, ∴tanα=2, ∴tan2α= =﹣ ,

∴cos2α=cos2α﹣sin2α=

=

=﹣ .

故答案为:﹣ ,﹣ .

11.已知 f(x)=

,若 f[f(﹣ )]= ,则 a= 8 ,若 f(x)的值域为

R,则实数 a 的取值范围是 a≥3 . 【考点】简单线性规划. 【分析】由分段函数解析式结合 f[f(﹣ )]= 求得 a 值;求出分段函数的值域,由并集 为 R 求得 a 的范围. 【解答】解:∵f(x)= ,

∴f(﹣ )=

,则 f[f(﹣ )]=f( )= +

= +8﹣a= ,得 a=8;

由 y=x+1,x≤0,得 y≤1; 由 y= ,x>0,得 y≥4﹣a,

∵f(x)的值域为 R,∴4﹣a≤1,得 a≥3. 故答案为:8;a≥3. ,2x+3y2 的取值范围是

12.若 x>0,y>0,且 x+2y=1,那么 + 的最小值是 3+2 . 【考点】基本不等式. 【分析】x>0,y>0,且 x+2y=1,那么 + =(x+2y)

=3+

+ ,再利用基本不

等式的性质可得其最小值.由 x>0,y>0,且 x+2y=1,可得 x=1﹣2y>0,0< y .2x+3y2=3y2+2(1﹣2y)=3 + ,利用二次函数的单调性即可得出.

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【解答】解:∵x>0,y>0,且 x+2y=1,那么 + =(x+2y) 当且仅当 x= y= ﹣1 时取等号.其最小值是 3+2 . .

=3+

+ ≥3+2



∵x>0,y>0,且 x+2y=1,∴x=1﹣2y>0,解得 0<y 2x+3y2=3y2+2(1﹣2y)=3 故答案分别为:3+2 ; . + ∈ .

13.在不等式组

确定的平面区域中,若 z=x+2y 的最大值为 9,则 a 的值为 3 .

【考点】基本不等式.

【分析】根据不等式组

画出平面区域图,当目标函数 z=x+2y 在区域图平移,过

x﹣y=0 与 y=a 的交点时,目标函数 z=x+2y 取得最大值为 9,求出 x﹣y=0 与 y=a 的交点为 (a,2a)带入目标函数 z=x+2y 即可求解 a 的值.

【解答】解:由不等式组

画出平面区域图(如图所示) :

当目标函数 z=x+2y 在区域图平移,过 x﹣y=0 与 y=a 的交点时,目标函数 z=x+2y 取得最大 值为 9,求出 x﹣y=0 与 y=a 的交点为(a,2a) 则有:z=a+2a=9 解得:a=3 故答案为:3.

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14.已知单位向量 , 夹角为锐角,对 t∈R,| ﹣t |的取值范围是[ 满足( ﹣2 )?( ﹣ )=0,则| |的最小值为 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】 根据| ﹣t |的最小值得出 则 = , 的夹角为 θ=60°, 设 , .

,+∞) ,若向量







,由( ﹣2 )?( ﹣ )=0 得出 C 在以 BM 为直径的圆 P 上,

求出圆 P 的半径和 OP 的长,从而得出| |的最小值. 【解答】解:设 ∵| | , 的夹角为 θ,

∴1+t2﹣2tcosθ≥ ,即 t2﹣2cosθ?t+ ≥0. ∴△=4cos2θ﹣1=0, ∴cosθ= .即单位向量 , 夹角为 60°. 设 则 = , , , , , ,

∵( ﹣2 )?( ﹣ )=0,∴MC⊥BC. ∴C 在以 BM 为直径的圆 P 上. ∵OB=OA=1,∠AOB=60°,OM=2, ∴圆 P 的半径 r=BP= ∴OC 的最小值为 OP﹣r= 故答案为: . = ,OP= . = .

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15. F2 为椭圆 设 F1,

+

=1 (a>b>0) 的左、 右焦点, 过右焦点的直线 l 与椭圆

+

=1(a>b>0)交于 A,B 两点,与 y 轴交于 M 点,且满足 圆的离心率为 .

=3



=

,则椭

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 由题意画出图形, 得到 A 的横坐标, 代入椭圆方程求得 A 的纵坐标, 结合 求得 B 的坐标,代入椭圆方程整理得答案. 【解答】解:如图, ∵ = ,∴A 为 MF2 的中点,则 ,得 , =3

代入

,∴



设 B(xB,yB) ,则







=3

,得

,即



代入椭圆方程可得:

,整理得:3c2=2a2,即



故答案为:



三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.已知在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,函数 f(x)=cos( ﹣x)cosx+ sin2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值,并求出取得最大值时 x 的取值集合;
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(2)若 f(A)=

(0<A<

) ,三角形的面积 S=6

,且 b﹣c=1,求 a 的值.

【考点】余弦定理. 【分析】 (1)已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得 f(x)= ,利

用周期公式可求 f(x)的最小正周期,利用正弦函数的性质可求最大值及取得最大值时 x 的取值集合; (2)由已知,可求 ,结合范围 ,可求 A,利用三角形面积

公式可求 bc,结合 b﹣c=1 及余弦定理即可得解 a 的值. 【解答】解: (1)由已知得: = 故 f(x)的最小正周期为 T= 故当 2x﹣ =2kπ+ = =π, k∈Z}时, f x) , ( 的最大值为 1+ , ,

, 即 x 的取值集合为{x|x=kπ+ , . ,得 bc=24,

(2)由已知,因为 又 由 ,解得

结合 b﹣c=1 及余弦定理知:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=(b﹣c)2+bc=1+24=25, 可得:a=5. 17.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a3=1 且 a4,a3+a5,a6 为等差数列{bn}的前三项. (1)求 Sn 与数列{bn}的通项公式; (2)设数列{ }的前 n 项和 Tn,试问是否存在正整数 m,对任意的 n∈N*使得 Tn?bn

≤1?若存在请求出 m 的最大值,若不存在请说明理由. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)由等差数列等差中项的性质可知:2(a3+a5)=a4+a6,即可求得公比 q,由等 比数列前 n 项和公式,即可求得 Sn,根据等差{bn}的前三项为 b1=2,b2=5,b3=8,即 b1=2, d=3,即可求得数列{bn}的通项公式; (2)由 ? n∈Z, ,利用“裂项法”即可求得 Tn, ,由 Tnbn≤1 知只要存在正整数 m 使 ,代入即可求得正整

数 m 的最大值. 【解答】解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,由 a3=1 且 a4,a3+a5,a6 为等差数列{bn}(n * ∈N )三项, 则 2(a3+a5)=a4+a6,得 2(1+q2)=q+q3=q(1+q2) ,得 q=2.
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从而 ∴{bn}的前三项为 b1=2,b2=5,b3=8, ∴公差 d=3, 故等差数列的通项公式为 bn=3n﹣1. (2)由(1)知, ∴数列 的前 n 项和:





, = . ,故由 Tnbn≤1 知只要存在正整数 m 使 . ,

从而得对于? n∈Z, 即只要 3m﹣1≤6,解得 ∵m 为正整数, ∴m 的最大值为 2.

18.如图,几何体 E﹣ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD=1,EC⊥BD,∠ BCD=120°,EA=2,M 是 EC 上的点,且 EM=3MC. (1)求证:BD⊥平面 AEC; (2)求 BM 与平面 AEC 所成角的正切值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)连接 AC 交 BD 于 O,利用三角形全等得出 O 为 BD 的中点,得出 BD⊥AO, 结合 BD⊥EC 得出 BD⊥平面 AEC; (2)连接 OM,则∠BMO 即为 BM 与平面 AEC 所成的角,利用相似比求出 OM,根据勾 股定理计算 OB,即可得出 tan∠OMB. 【解答】解: (1)连接 AC 交 BD 于 O, ∵AB=AD,BC=CD,AC 为公关边, ∴△ABC≌△ADC,∴∠DAO=∠BAO, ∴O 为 BD 的中点, ∴AO⊥BD,又 EC⊥BD,EC∩AC=C, ∴BD⊥平面 AEC. (2)连接 MO,由(1)得 BD⊥平面 AEC,
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∴∠BMO 即为 BM 与平面 AEC 所成的角. ∵CB=CD=1,∠BCD=120°,∴ ∴ ,从而 OM∥AE,∴ , , . .





19.如图,过顶点在原点 O,对称轴为 y 轴的抛物线 E 上的定点 A(2,1)作斜率分别为 k1,k2 的直线,分别交抛物线 E 于 B,C 两点. (1)求抛物线 E 的标准方程和准线方程; (2)若 k1+k2=k1k2,且△ABC 的面积为 8 ,求直线 BC 的方程.

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)抛物线 E 的方程为 x2=2py,把点 A 的坐标(2,1)代入 x2=2py 得 p=2,即可 求抛物线 E 的标准方程和准线方程; (2)设直线 BC 的方程为 y=kx+m,与抛物线方程联立,利用 k1+k2=k1k2,结合韦达定理, 利用△ABC 的面积为 8 ,求直线 BC 的方程. 【解答】解: (1)抛物线 E 的方程为 x2=2py,把点 A 的坐标(2,1)代入 x2=2py 得 p=2, ∴抛物线 E 的方程为 x2=4y,其准线方程为 y=﹣1. (2)∵B,C 两点在抛物线 E 上,∴直线 BC 的斜率存在, 设直线 BC 的方程为 y=kx+m,B(x1,y1) ,C(x2,y2) 由 ? x2﹣4kx﹣4m=0,∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4m,△=16k2+16m>0,∴k2+m>0

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,∴



同理, 由 k1+k2=k1k2,得



∴2(x1+x2)﹣x1x2+12=0,∴8k+4m+12=0,∴2k+m+3=0,∴m=﹣2k﹣3, 由△>0 得 k>3 或 k<﹣1. 又 ,

点 A(2,1)到直线 BC 的距离



, 又 m=﹣2k﹣3,∴k2﹣2k﹣8=0,解得 k=4 或 k=﹣2,都满足△>0. 当 k=4 时,m=﹣2×4﹣3=﹣11,则直线 BC 的方程为:y=4x﹣11; 当 k=﹣2 时,m=(﹣2)×(﹣2)﹣3=1,则直线 BC 的方程为:y=﹣2x+1. 20.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R) . (1)若 a<0,b>0,c=0,且 f(x)在[0,2]上的最大值为 ,最小值为﹣2,试求 a,b 的值; (2)若 c=1,0<a<1,且| |≤2 对任意 x∈[1,2]恒成立,求 b 的取值范围. (用 a

来表示) 【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质. 【分析】 (1)讨论对称轴与区间[0,2]的关系,判断 f(x)的单调性,列出方程组解出 a, b; (2)令 g(x)= 式组解出 b. 【解答】 (1)抛物线的对称轴为 ①当 时,即 b>﹣4a 时, , ,讨论极值点与区间[1,2]的关系判断 g(x)的单调性,列出不等



时,

,f(x)min=f(2)

=4a+2b+c=﹣2,




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∴a=﹣2,b=3. ②当 时,即 b≥﹣4a 时,f(x)在[0,2]上为增函数,f(x)min=f(0)=0 与 f

(x)min=﹣2 矛盾,无解, 综合得:a=﹣2,b=3. (2) 即 对任意 x∈[1,2]恒成立,即 对任意 x∈[1,2]恒成立, 对任意 x∈[1,2]恒成立,



,则



∵0<a<1,∴



(ⅰ) 若

, 即

g 2]单调递减, 时, (x) 在[1, 此时





,得

,此时

,∴

∴ (ⅱ)若 递增, 此时,

. ,即 时,g(x)在 单调递减,在 单调



只要



当 当 综上得:① ② ③

时, 时, 时, 时, 时,

, , ; ; .
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2016 年 11 月 11 日

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