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北师大版高二数学选修2-1试题及答案


高二数学选修 2-1 测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 72 分) 1、a3>8 是 a>2 的( A.充分非必要条件 C.充要条件 ) B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 )

2、全称命题“所有被 5 整除的整数都是奇数”的否定是( A.所有被 5 整除的整数都不是奇数; B.所有奇数都不能被 5 整除 C.存在一个被 5 整除的整数不是奇数; D.存在一个奇数,不能被 5 整除
1 3、抛物线 y ? ? x 2 的准线方程是( 8 1 A. x ? B. y ? 2 32

) C. y ?
1 32

D. y ? ?2

4、有下列命题:① ax2 ? bx ? c ? 0 是一元二次方程( a ? 0 ) ;②空集是任何集 合的真子集; ③若 a ? R , 则 a2 ? 0 ; ④若 a, b ? R 且 ab ? 0 , 则a ? 0 且b ? 0. 其 中真命题的个数有( A.1 ) C. 3 ) C.
4 5

B. 2

D. 4

x2 y2 ? ? 1 的离心率为( 5、椭圆 25 16

A.

3 5

B.

3 4

D.

9 25

6、以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的 抛物线的方程是( ) B. y ? 3x 2 D. y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9 x

A. y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2 C. y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2

7、已知 a=(2,-3,1) ,b=(4,-6,x) ,若 a⊥b,则 x 等于( A.-26 B.-10 C.2 D.10



8、如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点,
则 AB

1 1 ? BC ? BD 2 2
B. GA

等于(



A. AD C. AG

D. MG

9、已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确 定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是(
A. OM ? OA ? OB ? OC C. OM ? OA ?

) B. OM ? 2OA ? OB ? OC
D. OM ?

1 1 OB ? OC 2 3

1 1 1 OA ? OB ? OC 3 3 3

10、设 a ? 3 , b ? 6 , 若 a?b=9,则 ? a, b ? 等于(
A.90° B.60° C.120°


D.45°

1? ? 11、已知向量 a=(1,1,-2) ,b= ? 2,1, ? ,若 a·b≥0,则实数 x 的取值 x? ?

范围为(
A. (0, )


2 3
B. (0, ]

2 3

C. (??, 0) ∪ [ , ??)

2 3

D. (??, 0] ∪ [ , ??)

2 3

12、设 x1 , x2 ? R ,常数 a ? 0 ,定义运算“﹡” : x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 , 若 x ? 0 ,则动点 P( x, x ? a ) 的轨迹是( A.圆 B.椭圆的一部分 ) D.抛物线的一部分

C.双曲线的一部分

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 13 、 命 题 “ 若 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 , 则 x = 1 或 x = 3 ” 的 逆 否 命 题 为 .

14、给出下列四个命题:① ?x ? R ,是方程 3x-5=0 的根;② ?x ? R,| x |? 0 ; ③ ?x ? R, x2 ? 1 ;④ ?x ? R, 都不是方程x2 ? 3x ? 3 ? 0的根 .

其中假命题 的序号有 ... 15 、 若 方 程 为



x2 y2 ? ?1 表 示 的 图 形 是 双 曲 线 , 则 k 的 取 值 范 围 2 ? k k ?1

. .

16、抛物线 y 2 ? 4x 的准线方程是

,0 , 2, ) b ? (?1, 2, 1) 确 定 的 平 面 的 一 个 法 向 量 是 17 、 由 向 量 a ? ( 1 n ? ( x,y,2) ,则 x=

,y=



三、解答题(本大题共 5 小题,共 53 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推 证过程) 18、 (本小题满分 8 分) 双曲线的离心率等于 2, 且与椭圆
x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点, 求此双曲线方程. 25 9

19、 (本小题满分 10 分) 已知命题 P : “若 ac ? 0, 则二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 没有实根”. (1)写出命题 P 的否命题; (2)判断命题 P 的否命题的真假, 并证明你的结论.

20、 (本小题满分 11 分)

已知 ab ? 0 ,求证 a ? b ? 1 的充要条件是 a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0

21、 (本小题满分 12 分) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分 别是BB1、CD的中点. (Ⅰ)证明:AD⊥D1F; (Ⅱ)求AE与D1F所成的角; (Ⅲ)证明:面 AED⊥面 A1FD1. A A1

D1 B1 D E F B

C1

C

22、 (本小题满分 12 分)

设椭圆

2 x2 y2 + 2 ? 1(a>b>0)的左焦点为 F1(-2,0),左准线 L1 : x ? ? a 与 2 a b c

x 轴交于点 N(-3,0) ,过点 N 且倾斜角为 300 的直线 L 交椭圆于 A、B 两点。 (1)求直线 L 和椭圆的方程; (2)求证:点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上。

参考答案
一、选择题 题 1 号 答 C 案 二、填空题 2
C

3
B

4
B

5
A

6
D

7
A

8
C

9
D

10
B

11 C

12 D

13、若 x≠1 且 x≠3,则 x ? 4 x ? 3 ? 0
2

14、②

15、 ?k | k ? 1或k ? 2?

16、 x ? ?1 三、解答题 18、解:设双曲线方程为

17、-4,-3

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) , a 2 b2

∵ 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点坐标为(-4,0)和(4,0) ,即 c=4, 25 9
c ? 2 ,∴ a=2.∴ b2 ? c2 ? a 2 =12. a

又双曲线的离心率等于 2,即

故所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 12

19、 解:(1)命题 P 的否命题为: “若 ac ? 0, 则二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根” . (2)命题 P 的否命题是真命题. 证明如下:

? ac ? 0,? ?ac ? 0, ? ? ? b 2 ? 4ac ? 0,
∴二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 有实根. ∴该命题是真命题. 20、证明:必要性:

? a ? b ? 1,即b ? 1 ? a, ? a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? a 3 ? ?1 ? a ? ? a?1 ? a ? ? a 2 ? ?1 ? a ? ? .... ? 0
3 2

充分性:? a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0

?a ? b ??a 2 ? ab ? b 2 ? ? ?a 2 ? ab ? b 2 ? ? 0 ?a 2 ? ab ? b 2 ??a ? b ? 1? ? 0.
即 又ab ? 0, 即a ? 0, 且b ? 0,

b? 3b 2 ? a ? ab ? b ? ? a ? ? ? ? 0, 只有a ? b ? 1. 2? 4 ? 综上可知, 当ab ? 0, a ? b ? 1的充要条件是 a 3 ? b 3 ? ab ? a 2 ? b 2 ? 0
2 2

2

21、解:以点 D 为原点,DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x、y、z 轴,建立如 图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,则 D(0,0,0) ,A(2,0,0) , D1(0,0,2) ,E(2,2,1) ,F(0,1,0) . z ∴ AD =(-2,0,0) , D1F =(0,1,-2) , . AE =(0,2,1) (Ⅰ)∵ AD · D1F =0,∴ AD⊥D1F. D (Ⅱ) ∵ AE ·D1F =0, ∴AE与D1F所成的角为90°. A (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AD⊥D1F,由(Ⅱ)知 AE⊥D1F, x 又 AD∩AE=A,所以 D1F⊥面 AED. 又因为 D1F ? 面 A1FD1,所以面 AED⊥面 A1FD1. 22、解: (1)由题意知,c=2 及 a ? 3 得 a=6
c
2

D1 A1 B1 E F
H

C1

C
y

B

∴ b 2 ? 6 ? 22 ? 2

∴椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 6 2

直线 L 的方程为:y-0=tan300(x+3)即 y=

3 (x+3) 3

?x 2 ? 3 y 2 ? 6 (2)由方程组 ? 得 2x 2 ? 6x ? 3 ? 0 ? 3 ( x ? 3) ?y ? 3 ?

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=-3

x1x2=

3 2

∵ k F1 A ? k F1B

1 ( x1 ? 3)(x 2 ? 3) y1 y2 3 ? ? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)
? x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 3?x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

?

? ?1

∴ F1 A ? F1 B则?AF1 B ? 900 ∴点 F(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上



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