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1.1.2、3四种命题练习


?1.1.2 四种命题

?1.1.3 四种命题间的相互关系

?1.结合命题真假的判定,考查四种命题的结 构.(重点、难点) ?2.对条件式的结论进行否定.(易错点) ?3.理解四种命题的关系.(重点) ?4.等价命题的应用.(难点)

?下列语句中是命题的有 ①②④ ,是真命题的 是 ④ .(填序号) ?①四边相等的四边形是平行四边形; ?②ax2+bx+c=0是一元二次方程; ?③2是质数吗? ?④x2+x+1>0.

内容 栏目 名称

定义

表示形式

对于两个命题,其中一个命题的条 原命题为“若p, 件和结论恰好是另一个命题的 条件的否定 和 结论的否定 ,这 则q”;否命 若 互否命题 题为“ 綈p, 样的两个命题叫做互否命题.如 果把其中的一个命题叫做原命题, 则綈q 那么另一个叫做原命题 ” 的 否命题 . 对于两个命题,其中一个命题的条 件和结论恰好是另一个命题的 结论的否定和 条件的否定 ,这 互为逆否 样的两个命题叫做互为逆否命 命题 题.如果把其中的一个命题叫做 原命题,那么另一个叫做原命题 的 逆否命题 .
原命题为“若p, 则q”;逆否 命题为 “ 若綈p, 则綈q ”

?2.四种命题之间的相互关系

?3.四种命题的真假性 ?(1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情 况. 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 假 假 真 假 真 假
真 假 真 真 真 假 假



?(2)四种命题的真假性之间的关系 ?① 两 个 命 题 互 为 逆 否 命 题 , 它 们 有 的真假性.相同 ?②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的 真假性 没有关系 .

1.命题“若 p,则綈 q”的逆否命题是( A.若 p,则 q C.若 q,则綈 p

)

B.若綈 p,则 q D.若綈 q,则綈 p

答案: C

?2.命题“若a>2,则a>6”以及它的逆命题、 否命题、逆否命题中,真命题的个数为( ) ?A.1 B.2 ?C.3 D.4 ?解析: 若a>2,则a>6是假命题;逆命题: 若a>6,则a>2是真命题;否命题:若a≤2,则 a≤6是真命题;逆否命题:若a≤6,则a≤2是假 命题. ?答案: B

?3.命题“若a>b,则2a>2b -1”的否命题为 ________. ?答案: 若a≤b,则2a≤2b-1

?4.把下列命题改写成“若p,则q”的形式, 并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题. ?(1)正数的平方根不等于0; ?(2)当a≤2时,f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上单 调递增. ?解析: (1)原命题:若a是正数,则a的平方 根不等于0. ?逆命题:若a的平方根不等于0,则a是正数. ?否命题:若a不是正数,则a的平方根等于0. ?逆否命题:若a的平方根等于0,则a不是正 数.

?(2)原命题:若a≤2,则f(x)=x2-ax+1在[1, +∞)上单调递增. ?逆命题:若f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上单调 递增,则a≤2. ?否命题:若a>2,则f(x)=x2 -ax+1在[1,+ ∞)上不单调递增. ?逆否命题:若f(x)=x2-ax+1在[1,+∞)上不 单调递增,则a>2.

? ?(2012·陕西高考)设a,b是向量,命题“若a =-b,则|a|=|b|”的逆命题是( ) ?A.若a≠-b,则|a|≠|b| ?B.若a=-b,则|a|≠|b| ?C.若|a|≠|b|,则a≠-b ?D.若|a|=|b|,则a=-b

?

分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆 否命题. ?(1)若实数a,b,c成等比数列,则b2=ac; ?(2)函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是减 函数时,loga2<0.

名称 原命题

命题 若实数a,b,c成等比数列,则b2=ac

? [解题过程]
逆命题

(1)

若实数a,b,c满足b2=ac,则a,b,c成等 比数列 若实数a,b,c不成等比数列,则b2≠ac

否命题

若实数a,b,c,且b2≠ac,则a,b,c不成 逆否命题 等比数列

名称 原命题 ?(2) 逆命题

命题 若函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+

∞)上是减函数,则loga2<0
若loga2<0,则函数y=logax(a>0且 a≠1)在(0,+∞)上是减函数

否命题 逆否命 题

若函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+
∞)上是增函数,则loga2≥0 若loga2≥0,则函数y=logax(a>0且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数

?1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命 题. ?(1)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实根;

?(2)“若x=2,则x2+x-6=0”; ?(3)垂直于同一平面的两直线平行. ?解析: (1)逆命题:若方程mx2 -x+n=0有 实数根,则m·n<0. ?否命题:若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0没 有实数根. ?逆否命题:若方程mx2 -x+n=0没有实数根,

?(2)逆命题:“若x2+x-6=0,则x=2”. ?否命题:“若x≠2,则x2+x-6≠0”. ?逆否命题:“若x2+x-6≠0,则x≠2”.

?(3)原命题:若两直线垂直于同一平面,则两 直线平行. ?逆命题:如果两条直线平行,那么这两条直线 垂直于同一个平面. ?否命题:如果两条直线不垂直于同一平面,那 么这两条直线不平行. ?逆否命题:如果两条直线不平行,那么这两条 直线不垂直于同一平面.

?

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命 题,并判断命题的真假. ?(1)若方程x2+2x+a=0有实根,则a<1; ?(2)若ab=0,则a=0或b=0; ?(3)若x2+y2=0,则x,y全为零.

?[解题过程] (1)原命题:若方程x2+2x+a=0 有实根,则a<1,假命题. ?逆命题:若a<1,则方程x2+2x+a=0有实根, 真命题. ?否命题:若方程x2+2x+a=0无实根,则a≥1, 真命题. ?逆否命题:若a≥1,则方程x2+2x+a=0无实 根,假命题.

?(2)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.真命 题. ?否 命 题 : 若 ab≠0 , 则 a≠0 , 且 b≠0. 真 命 题. ?逆否命题:若a≠0,且b≠0,则ab≠0.真命 题. ?(3)逆命题:若x,y全为零,则x2+y2=0.真命 题. ?否命题:若x2 +y2≠0,则x,y不全为零.真 命题. ?逆否命题:若x,y不全为零,则x2 +y2≠0.真

?[题后感悟] 对于命题在判断它的真假性时, 如果直接判断有难度可以利用原命题与逆否命 题、逆命题与否命题的等价性,先判断等价命 题的真假,由等价命题的真假确定原来命题的 真假.

?2.判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题、 否命题、逆否命题,同时判断这些命题的真 假. ?(1)若a>b,则ac2>bc2; ?(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的 内接四边形; ?(3) 若 在 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c 中 , b2 - 4ac<0,则该二次函数图象与x轴有公共点.

?解析: (1)该命题为假.因为当c=0时,ac2 =bc2. ?逆命题:若ac2>bc2,则a>b,为真. ?否命题:若a≤b,则ac2≤bc2,为真. ?逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b,为假.

?(2)该命题为真. ?逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则四边 形的对角互补.为真. ?否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形 不是圆的内接四边形,为真. ?逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则 四边形的对角不互补,为真.

?(3)该命题为假.∵当b2-4ac<0时,二次方程 ax2+bx+c=0没有实数根,因此二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴无公共点. ?逆命题:若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴有公共点,则b2-4ac<0,为假. ?否命题:若在二次函数y=ax2 +bx+c中,b2 -4ac≥0,则该二次函数图象与x轴没有公共 点,为假. ?逆否命题:若二次函数y=ax2 +bx+c的图象 与x轴没有公共点,则b2-4ac≥0,为假.

3.设 a>0,b>0,证明:若 a>b,则 a> b.

证明: 原命题的逆否命题是: 若 a≤ b,则 a≤b. ∵a>0,b>0, ∴ a与 b皆有意义且 a>0, b>0. ∵ a≤ b, ∴ a· a≤ b· a, a· b≤ b· b.
即 a≤ ab, ab≤b, ∴a≤b,即逆否命题为真命题,故原命题为真命题.

?[题后感悟] (1)由于原命题与其逆否命题是等 价的,因此当证明原命题感到困难或对原命题 不易判断真假时,可考虑证明或判断它的逆否 命题是否成立. ?(2)利用逆否命题与原命题等价,可以省去否 定条件和结论时的过程,简化问题的求解.

1.正确写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题 一般地用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用綈 p 和 綈 q 分别表示 p 和 q 的否定, 因此, 若原命题为: “若 p, q”, 则 则其逆命题为: “若 q, p”; 则 否命题为: “若綈 p, 则綈 q”; 逆否命题为:“若綈 q,则綈 p”.

p,则綈 q”;逆否命题为:“若綈 q,则綈 p”.

?逆命题:若f(x)的图象关于y轴对称,则函数f(x) 为偶函数; ?否命题:若函数f(x)不是偶函数,则f(x)的图象 不关于y轴对称; ?逆否命题:若f(x)的图象不关于y轴对称,则函 数f(x)不是偶函数.

?◎用“若p,则q”的形式写出(1)的原命题, (2)的否命题. ?(1)负数的平方是正数. ?(2)正方形的四条边相等. ?【错解】 (1)原命题:若一个数是负数的平 方,则这个数是正数. ?(2)否命题:若一个四边形不是正方形,则它 的四条边都不相等.

?【正解】 (1)原命题:若一个数是负数,则 它的平方是正数. ?(2)否命题:若一个四边形不是正方形,则它 的四条边不都相等.


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