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高中数学人教版选修2-2教学课件:1.7.1《定积分在几何中的应用》课件_图文

1.7 定积分的简单应用 我们已经看到 , 定积分可以用来计算曲 边 梯形的面积 , 求变速运动物体的位移 .事实 上, 定积分有着广泛的应用 .下面我们介绍 定积分的一些简单应用 . 1.7.1 定积分在几何中的应用 例1 计算由曲线y 2 2 y 1 ? x, y ? x 所围图形 的面积S. 分析 首先画草图 y ? x2 B C D A 1 y2 ? x ?图1.7 ? 1?.从图中可 以看出 , 所求图形的 面积可以转化为两 o x 图1.7 ? 1 个曲边梯形面积的差 , 进而可以用定积分求面 积 S .为了确定出被积函数和 积分的上、下限 , 我们需要求出两条曲线 的交点的横坐标 . 解 作出函数 y 2 ? x, y ? x 2 y 1 的草图, 所求面积为图 1.7 ? 1 中阴影部分的面积 . 解方程组 y ? x2 B C D A 1 y2 ? x y ? x, 2 o x y ? x2 图1.7 ? 1 得交点的横坐标为 x ? 0及x ? 1. 1 因此, 所求图形面积为 S ? S曲边梯形 OABC ? S曲边梯形 OABD ?? 1 0 2 x dx ? ? x dx ? x 0 3 1 2 3 2 1 3 2 1 1 ? x ? ? ? . 3 0 3 3 3 0 1 例 2 计算由直线 y ? x ? 4,曲线y ? 2 x以及 y 4 y ? x?4 y ? 2x x轴所围图形的面积S . 2 S2 分析 首先画出草图 S1 5 10 x ?图1.7 ? 2?,并设 法 把 o 图1.7 ? 2 所求图形面积问题转 化为求曲边梯形的面积 问题.与例1不同的是 , 还需把所求图形的面积 分成两部分 S1和 S 2 . 为了确定出被积函数和 积分的上、下限 ,需 要求出直线 y ? x ? 4 与曲线 y ? 2x 的交点 的横坐标, 直线y ? x ? 4与x轴的交点 . 解 作出直线 y ? x ? 4,曲线 y 4 y ? x?4 y ? 2x y ? 2x 的草图 , 所求面积为 2 S2 S1 图1.7 ? 2阴影部分的面积 . o 5 10 x y ? x ? 4, 解方程组 图1.7 ? 2 y ? 2x 得直线 y ? x ? 4与曲线 y ? 2x 的交点?8,4?. y ? x ? 4与x轴的交点为 ?4,0?.故, 所求图形的面积为 4 8 8 ? ? ? ? ? 2 x dx ? 2 x dx ? x ? 4 dx S ? S1 ? S2 ?0 ?4 ? ? ? ?4 ? 2 2 ? x 3 3 2 4 0 2 2 ? x 3 3 2 8 1 40 2 ? ?x ? 4? ? . 2 3 4 4 8 思考 本题还有其他解法吗 ? 如果有, 请 写出你的解法 ,并比较一下这些解法 . 由上面例题可以发现, 在利用定积分求 平面图形的面积时, 一般要先画出它的 草图, 再借助图形直观确定出 被积函数 以及积分的上、下限 .

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