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辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学 2.3数学归纳法教案 理 新人教B版选修2-2


2.3 数学归纳法
【教学目标】 了解数学归纳法的原理及使用范围, 初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和 一个结论,会用数学归纳法证明一些简单的等式问题;通过对归纳法的复习,体会不完全归 纳法的弊端,通过实例理解理论与实际的辨证关系;在学习中感受探索发现问题、提出问题 的,解决问题的乐趣. 【教学重点】数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设 【教学难点】数学归纳法的 原理 一、课前预习: (阅读教材 69 页,完成知识点填空) 1.数学归纳法的证题步骤 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取 (2)(归纳递推)假设当 n ? k ( 也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 上述证明方法叫做数学归纳法. 2.用框图表示数学归纳法的步骤 时命题成立; )时命题成立,推出当 时命题

思考: (1)在数学归纳法的第一步归纳奠基中,第一个值 n0 是否一定为 1? (2)所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明吗? (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设是否一定要用上? 二、课上学习: 例 1:用数学归纳法证明: 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? [
3 3 3 3

n(n ? 1) 2 ] 2

1

例 2:设 n∈N ,n>1,用数学归纳法证明 1+

*

1 2



1

1 +…+ > n. 3 n

例 3:用数学归纳法证明(3 n +1)· 7 -1(n∈N*)能被 9 整除.

n

例 4:自学教材 71 页例 2,探究 72 页练习 B 第 2 题. 三、课后练习: 1.若 f (n) ? 1 ? A.1

1 1 1 ? ? ... ? (n ? N *) ,则 n ? 1 时, f (n) 是( 2 3 2n ? 1
1 B. 3 1 1 C.1+ + 2 3 D.非以上答案

)

2.一个关于自然数 n 的命题,如果验证 n ? 1 时命题成立,并在假设 n ? k , k ? 1 时命题成 立的基础上,证明了 n ? k ? 2 时命题成立,那么综合上述说法,可以证明对于( ) A.一切自然数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都 不对 3.利用数学归纳法证明不等式

1 1 1 13 ? ? ... ? ? 时,由 k 递推到 k ? 1 左边应 n ?1 n ? 2 n ? n 14
B.

添加的因式 A.

1 2(k ? 1)

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

C.

1 1 ? 2k ? 1 2(k ? 1)

D.

1 2k ? 1
1 1 1 1 1 ( n ? N * ),假设当 n ? k 时不 ? 2 ? ... ? ? ? 2 2 2 n?2 2 3 (n ? 1)

4.用数学归纳法证明 等式成立,则当

n ? k ? 1 时,应推证的目标不等式是________.
5.用数学归纳法证明:1 ? a ? a ? ... ? a
2 n ?1

1 ? a n?2 ? ( n ? N *, a ? 1 ),在验证 n ? 1 成 1? a
B . 1? a ? a
2

立时,左边所得的项为( D. 1 ? a ? a ? a
2 3

)

A.1

C.1? a

6.设 Sk=

1 1 1 1 + + +…+ ,则 Sk+1 为( k+1 k+2 k+3 2k

)
2

1 A.Sk+ 2k+2

B.Sk+

1 1 + 2k+1 2k+2

1 1 1 1 C.Sk+ - D.Sk+ - 2k+1 2k+2 2k+2 2k+1

3



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