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学案《导数的几何意义》复习课 2014.8.4 (1)

// 福 建 省 福 安 市 第 一 中 学 导 学 案 //

高三数学《导数的几何意义》复习课
【复习目标】
1. 回顾割线斜率的无限逼近与切线的斜率之间的关系; 2. 通过函数的图像直观地理解导函数的几何意义, 即曲线 y=f(x)在函数图像上某点处的 切线的斜率,以及导数的直观变化与函数单调性之间的关系; 3. 会用导数求函数 y=f(x)在点 x0 处的切线方程: y ? y0 ? f ' ( x0 )(x ? x0 ) 区分所求切线是曲线上某点处的切线,还是过某点的切线,并正确解题: 4. 会用导数的几何意义灵活解决问题

【自主复习】
知识梳理:
1.函数 f ( x ) 在 x0 处导数的定义: 一般地,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率,我们称它为函数 y ? f ( x) 在

x ? x0 处的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y' |x? x0 ;
导函数(导数):如果函数 y ? f ( x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数,此时对于 每 一个 x ? (a, b) ,都对应着一个确定的导数 f ( x) ,从而构成了一个新的函数 f ( x) , 称
/ /

这个函数 f ( x) 为函数 y ? f ( x) 在开区间内的导函数,简称导数,
/

用导数定义是求导数的基本方法,必须严格按以下三个步骤进行: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; (2)求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ; ?x ?x
?y →一个唯一确定的值; ?x

(3) 当 ?x ? 0 ,得

' 那么这个唯一确定的值称为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ( x0 ) 。

2.导数的几何意义: 函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数的几何意义, 就是曲线 y ? f ( x) 在点 P x0, f ? x0 ? 处的切 线的斜率,即曲线 y ? f ( x) 在点 P x0, f ? x0 ? 处的切线的斜率是 f ? ? x0 ? ,相应地切线 的方程是 y ? y0 ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? 。 3. 关于曲线切线的易错点辨析:
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?

?

?

?

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(1)关于曲线在某一点的切线: 在初中学过圆的切线,直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做 圆的切线,惟一的公共点叫做切点.我们不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线, 即不能说直线和曲线有惟一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线, 如图 3—1 中的曲线 C 是我们熟知的正弦曲线 y=sinx.直线 l1 与曲线 C 有惟一公共点 M,但我们不能说直线 l1 与曲线 C 相切;而直线 l 2 尽管与曲线 C 有不止一个公共点,我们 还是说直线 l 2 是曲线 C 在点 N 处的切线.即曲线的切线,并不一定与曲线只 有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多.因此,对于一般的曲线,须重新寻求曲线的切线的定义.所 以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线.

(2)求过某点的曲线的切线: 在求曲线的切线方程时, 要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线, 还是过某点的 切线:曲线上某点处的切线只有一条,而过某点的切线不一定只有一条,即使此点在曲 线上也不一定只有一条;

自主检测(先考):
1. 已知 f ( x ) 是 R 上可导的奇函数,A(1,2) 、B( 1+?x, f (1+ x ) 是函数图像上的 点,且 ?x ? 0 时, (1) f ?(1) ?

f (1 ? ?x ) ? f (1) ? ?4 ,则: (1 ? ?x ) ? 1
;

(2) y ? f ( x ) 在点 A 处的切线方程是 (3)曲线 y ? f ( x ) 在 x ? ?1 处的切线方程是

, 3) 处的切线的倾斜角为( 2. 曲线 y ? x ? 2x ? 4 在点 (1
3

) D.120° )

A.30° 3.设曲线 y ? A.2

B.45°

C.60°

x ?1 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( 在点 (3, x ?1 1 1 B. C. ? D. ?2 2 2
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4.一物体的运动方程是 s ? 1 ? t ? t ,其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 t ? 3
2

时的瞬时速度为__________。 5. 曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为________ 6. 如图是 f ( x) ? x 3 ? x 的图像, (1)分别求出 f ( x ) 在 x ? 0、x ? 1 处的切线方程, 并画出切线的图像 (2)指出切线与曲线 f ( x) ? x ? x 的交点个数
3

y

x -1 1
O

1

7.已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 f ( x) ? x ? ax ? b 相切于点 N (1,3),求 k、a、b 的值。
3

8.过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,求切线方程。
2

选作题.[2014· 安徽卷] 若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (i)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切; (ii) 曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧. 则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x3; ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1)2; ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x; ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x; ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x
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复习检测(先考):参考答案: 1.解:由导数的定义可知 ? f ?(1) ? ?4

y y= 2 x-2

? y ? f ( x) 在(1,2)处的切线方程是 y = -4x + 6.
?-4 4 又 y ? f ( x) 为奇函数, 则 f ?(?1) =
x
-

? y ? f ( x) 在(-1,-2)处的切线方程是 y = -4x - 6.
2. 【答案】B 3. 【答案】D 4. 【答案】 5 米/秒 5.【答案】 y ? 4 x ? 3 6.解:由 f ?( x) ? 3x ? 1 可知,
2

O

1

1 y= - x

过点 A 的切线为: y ? ? x 一个交点、 过点 B 的切线为 y ? 2( x ? 1) 、交点两个 (如右图) 。 7.解由点 N 在切线上可得 3=k+1,得 k=2, 由 y? ? 3x ? a,
2

?3+a=k=2 ,得 a=-1,

由点 N 在曲线上有 3=1+a+b,得 b=3 8. 解: y? ? 2 x ? 1 ,判断点(-1,0)不在抛物线上,所以设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则切
2 2 线的斜率为 2 x0 ? 1 ,且 y0 ? x0 ? x0 ? 1 于是切线方程为: y ? x0 ? x0 ?1 ? (2x0 ? 1)( x ? x0 ) ,

因为点(-1,0)在切线上,可得: 0 ? x0 ? x0 ? 1 ? (2 x0 ? 1)(?1 ? x0 )
2

解得 x0 =0 或 x0 =-2,所以切线为: 3x +y ? 3 ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 选作题:①③④ [解析] 对于①,因为 y′=3x2,y′x=0=0,所以 l:y=0 是曲线 C:y=x3 在点 P(0,0)处的切 线,画图可知曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,①正确; 对于②,因为 y′=2(x+1),y′x=-1=0,所以 l:x=-1 不是曲线 C:y=(x+1)2 在点 P(-1, 0)处的切线,②错误; 对于③,y′=cos x,y′x=0=1,所以曲线 C 在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,③正确; 1 对于④,y′= 2 ,y′x=0=1,所以曲线 C 在点 P(0,0)处的切线为 l:y=x,画图可知曲线 C cos x 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,④正确; 1 对于⑤,y′= ,y′x=1=1,所以曲线 C 在点 P(1,0)处切线为 l:y=x-1,又由 h(x)=x-1 x 1 x-1 -ln x(x>0)可得 h′(x)=1- = ,所以 hmin(x)=h(1)=0,故 x-1≥ln x,所以曲线 C 在 x x 点 P 附近位于直线 l 的下侧,⑤错误.
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高三数学《导数的几何意义》复习课
【交流反馈】
1.请同学们把复习检测(先考)中存在的问题在小组内交流讨论,自主解决。时间:4 分钟 2.请各组的数学学科长汇总小组的疑问,让我们一起解决。 3.我的心得:

【拓展探究】
探究 1. 如右图,是函数 f ( x) ? ? x2 ? 1 的图象, 点 M ( x1, y1 ), N( x2 , y2 ) 是在 x ? ( ?1,1) 之间 的弧 AB 上的不同的两动点,则直线 MN 的斜 率 k MN 的取值范围是 在点 M 处的切线斜率 k M 的取值范围是 , 。 M

y 1 N x B(1,0)

A (-1, 0)

O

变式一: M ( x1, y1 ), N( x2 , y2 ) 是函数 f ( x) ? x3 图像在 x ? ( ?1,1) 之间的不同的两动点, 若

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围 x1 ? x2

变式二: (2013 年浙江高考)如下有(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)四个函数图像:

(1)

(2)

(3) y 1

(4)

已知导数 y ? f ?( x ) 的图像如右图所示, 则哪些可能是函数 y=f(x)的图像

x -1
O

1

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探究 2.已知曲线 f ( x ) ?

1 3 4 x ? ; 3 3

(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. (友情提示: x3 -3x 2 ? 4 ? x3 +x 2 -4x 2 ? 4 ? x 2 ( x ? 1) ? 4( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)( x 2 ? 4 x ? 4)

我的心得和收获:

【当堂训练】
1.已知 P 是函数 f ( x) ? x 上的动点,A(1,1)是函数 f ( x) ? x 上的定点,当点 P
2 2

点沿曲线 f ( x) ? x 向点 A 无限逼近时,直线 AP 的斜率 K 会逼近的定值是 y 2.(龙岩市 2013 届高三检测)
2

已知二次函数 f ( x ) 的图象如右图 所示,则其导函数 f ?( x) 的图象大 致形状是( ) -1
O

x 1

3. M ( x1, y1 ), N( x2 , y2 ) 是函数 f ( x ) ? sin x 图像在 x ? ( ? 直线 MN 的斜率 k MN 的取值范围是 4. 求曲线 y ?

? ?

, ) 之间的不同的两动点,则 2 2


,在点 M 处的切线斜率 k M 的取值范围是

1 过点 A( ?1,3) 的切线方程。 x

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【小结与反馈】
1.曲线 y ? f ( x) 在点 P x0, f ? x0 ? 处的切线的斜率是 f ? ? x0 ? ,相应地切线的方程是:

?

?

y ? y0 ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? 。
2.切线的斜率 f ? ? x ? 即导数的正负以及单调性的变化能反映出函数的增减“凹凸”的不同, 解题时要善于数形结合,理解透彻。 3. 在求过某一点的切线方程时, 切不可直接求该点处的导数做为切线的斜率(这是常见的错 误),而应设切点为 ( x0 , y0 ) ,通过待定的切线方程求出切点坐标,再由切点定切线。

《导数的几何意义》复习课
班级___________姓名____________座号____________ 【课外拓展】
1. (2008 北京高考)如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC , 其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (6,4) ,则函 数 f ( x ) 在 x ? 1 处的导数 f ?(1) ? _________. y 4 3 2 1 O A C

B 1 2 3 4 5 6

x

2.[2014·江西卷] 若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的 坐标是________. 3、 f ?( x) 是 f ( x ) 的导函数, f ?( x) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是( )

(A)
3

(B)

(C)

(D)

4. 已知函数 f ( x) ? x ? x , 点 A(1,0) , (1)过点 A 的切线方程是 (2)若 若

M ( x1, y1 ), N( x2, y2) 是函数 f ( x ) 图像在 x ? ( ?1,1) 之间的不同的两动点,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围 x1 ? x2
x

5. [2014·福建卷文 21 理 20] 已知函数 f ( x) ? e ? ax ( a 为常数)的图像与 y 轴交于 点 A,曲线 y ? f ( x ) 在点 A 处的切线斜率为-1.求 a 的值和点 A 处的切线方程。

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6. 设函数 f ( x ) ? ax ?

b , 曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 . x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形 面积为定值,并求此定值.

7(选做) 设直线 l : y ? g ( x),曲线S : y ? F ( x) . 若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件: ①直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点; ② 对任意 x∈R 都有 g ( x) ? F ( x) . 则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线” . 已知函数 f ( x) ? x ? 2sin x .求证: y ? x ? 2 为曲线 f ( x) 的“上夹线” .

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