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高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2_2

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1.4 导数在实际生活中的应用

学习目标 1.学会解决利润最大,用料最省, 效率最高等优化问题. 2.学会利用导数解决生活中简单实 际问题,并体会导数在解决实际问题 中的作用. 3.提高将实际问题转化为数学问题 的能力.

重点难点
重点:用导数解决实际生活中的最优 化问题. 难点:将实际问题转化为数学问题.

导数在实际生活中的应用 导数在实际生活中有着广泛的应用.例如,用料最省、利润最大、效率最高等问题,常常可以归结 为函数的______问题,从而可用________来解决. 预习交流 1 做一做:有一长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为______ m2. 预习交流 2 做一做:做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径为______. 预习交流 3 用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题?

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做

个备忘吧!

我的学困点

我的学疑点

答案:
预习导引 最值 导数 预习交流 1:提示:设矩形长为 x m,则宽为(8-x) m,矩形面积 S=x(8-x)(8>x>0),令 S′= 8-2x=0,得 x=4. 此时 S 最大=42=16(m2). 预习交流 2:提示:设半径为 r,则高 h=r227, ∴S=2π r·h+π r2=2π r·2r72+π r2=54rπ +π r2, 令 S′=2π r-54rπ2 =0,得 r=3, ∴当 r=3 时,用料最省. 预习交流 3:提示:(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际 意义的值应舍去. (2)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函 数关系式中自变量的定义区间.
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精选教育学习资料 (3)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函数在这点有
极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.
一、面积、体积最大问题 如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r.计划将此钢板切割成等腰梯形 的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD=2x,梯形面积为 S.

(1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值.
思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助椭圆的方程,可表示出等腰梯形 的高.
用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是 根据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数 的方法来解.
2.必要时,可选择建立适当的坐标系,利用点的坐标建立函数关系或曲线方程,有利于解决问题. 二、费用最省问题
如图所示,设铁路 AB=50,B,C 之间距离为 10,现将货物从 A 运往 C,已知单位距离铁路费用为 2, 公路费用为 4,问在 AB 上何处修筑公路至 C,可使运费由 A 至 C 最省?

思路分析:可从 AB 上任取一点 M,设 MB=x,将总费用表示为变量 x 的函数,转化为函数的最值求解.

某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼 房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了

使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?

??注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平

均购地费用=购建地筑总总费面用积???

1.求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考虑,不符合实际意义 的理论值应舍去;
2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函数在这点有 极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值;
3.在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应确 定函数关系式中自变量的取值范围,即函数的定义域.
三、利润最大问题

某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量 为 5 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加
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的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车 的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量.
(1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比 例 x 应在什么范围内?
(2)若年销售量关于 x 的函数为 y=3 240???-x2+2x+53???,则当 x 为何值时,本年度的年利润最大?
最大利润是多少? 思路分析:根据题意建立目标函数关系式,利用导数求解.
某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P=24 200-15x2,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+200x 元.问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最 大?最大利润是多少?(利润=收入-成本)
利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤: 第一步,分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间 的函数关系 y=f(x). 第二步,求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0. 第三步,比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.

1.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为______. 2.一个箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x2???602-x???(0<x<60),则当箱子的容积最大时, x 的值为__________. 3.将 8 分成两个非负数之和,使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小,则这个最 小值等于__________. 4.以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为__________. 5.某商品每件成本 9 元,销售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格,销售量可以增加,且 每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低量 x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比.已知商品单价降 低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

提示:用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能

的要领部分写下来并进行识记.

知识精华

技能要领

答案: 活动与探究 1:解:(1)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立平面直角坐标系(如图所示),则点 C 的

横坐标为 x,点 C 的纵坐标为 y,满足方程

(y>0),

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解得 y=2 r2-x2(0<x<r). S=12(2x+2r)·2 r2-x2=2(x+r)· r2-x2,
其定义域为{x|0<x<r}. (2)记 f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0<x<r,
则 f′(x)=8(x+r)2(r-2x). 令 f′(x)=0,得 x=12r.
因为当 0<x<12r 时,f′(x)>0;当12r<x<r 时,f′(x)<0,所以 f???12r???是 f(x)的最大值.

因此,当 x=12r 时,S 也取得最大值,最大值为 f???21r???=3 2 3r2,即梯形面积 S 的最大值为3 2 3r2.
迁移与应用: 解:设容器底面短边的边长为 x m,则另一边长为(x+0.5) m,高为14.8-4x-44(x+0.5)=3.2-
2x(m). 由题意知 x>0,x+0.5>0, 且 3.2-2x>0,∴0<x<1.6.
设容器的容积为 V m3, 则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x) =-2x3+2.2x2+1.6x(0<x<1.6).
∴V′=-6x2+4.4x+1.6. 令 V′=0,有 15x2-11x-4=0,
解得 x1=1,x2=-145(舍去).
∴当 x∈(0,1)时,V′(x)>0,V(x)为增函数, x∈(1,1.6)时,V′(x)<0,V(x)为减函数.
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8,这个极大值就是 V 在 x∈(0,1.6)时的最大值,即 Vmax=1.8. 这时容器的高为 1.2 m.
∴当高为 1.2 m 时,容器的容积最大,最大值为 1.8 m3.

活动与探究 2:解:设 MB=x,于是 AM 上的运费为 2(50-x),MC 上的运费为 4 102+x2,则由 A 到 C 的总运费为

p(x)=2(50-x)+4 100+x2(0≤x≤50).

p′(x)=-2+ 4x ,令 p′(x)=0, 100+x2

解得

x1=

103,x2=-

10 (舍去). 3

当 x< 10 时,p′(x)<0;当 x> 10 时,p′(x)>0,所以当 x= 10 时,取得最小值.

3

3

3

即在离 B 点距离为103 3的点 M 处筑公路至 C 时,货物运费最省. 迁移与应用:
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解:设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元,则

f(x)=(560+48x)+2

160×10 000 2 000x

=560+48x+10 x800(x≥10,x∈N*),

f′(x)=48-

令 f′(x)=0,得 x=15 或 x=-15(舍去), 当 x>15 时,f′(x)>0;
当 10≤x<15 时,f′(x)<0, 因此当 x=15 时,f(x)取最小值 f(15)=2000. 故为了楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为 15 层. 活动与探究 3:解:(1)由题意得:上年度的年利润为(13-10)×5 000=15 000(万元);
本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x); 本年度每辆车的出厂价为 13×(1+0.7x);
本年度年销售量为 5 000×(1+0.4x), 因此本年度的年利润为 y=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5 000×(1+0.4x)
=(3-0.9x)×5 000×(1+0.4x) =-1 800x2+1 500x+15 000(0<x<1), 由-1 800x2+1 500x+15 000>15 000,
解得 0<x<56.
所以当 0<x<56时,本年度的年利润比上年度有所增加.
(2)本年度的年利润为
f(x)=(3-0.9x)×3 240×???-x2+2x+53??? =3 240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),
则 f′(x)=3 240×(2.7x2-9.6x+4.5) =972(9x-5)(x-3),
由 f′(x)=0,解得 x=59或 x=3(舍去),
当 x∈???0,59???时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当 x∈???59,1???时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 所以当 x=59时,f(x)取极大值 f???59???=20 000 万元. 因为 f(x)在(0,1)上只有一个极大值,所以它是最大值, 所以当 x=59时,本年度的年利润最大,最大利润为 20 000 万元.
迁移与应用: 解:每月生产 x 吨时的利润为
f(x)=???24 200-15x2???x-(50 000+200x) =-15x3+24 000x-50 000(x≥0).
由 f′(x)=-35x2+24 000=0,
解得 x1=200,x2=-200(舍去).

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因为 f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x=200 使 f′(x)=0,故它就是最大值点,且最大值为 f(200) =-15×2003+24 000×200-50 000=3 150 000(元).
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元. 当堂检测 1.2π r2 解析:如图,设内接圆柱的底面半径为 R,母线长为 L,则 R=rcos θ ,L=2rsin θ ,所
以侧面积 S=2π rcos θ ·2rsin θ =4π r2sin θ cos θ .

令 S′=4π r2(cos2θ -sin2θ )=0,解得

,即当

,也就是 R= r 时,侧

面积 S 最大,且最大值为 2π r2. 2.40 解析:V(x)=-12x3+30x2,V′(x)=-32x2+60x,令 V′(x)=0,得 x=40(x=0 舍去),且

当 0<x<40 时 V′(x)>0;当 40<x<60 时 V′(x)<0,故 V(x)在 x=40 时取得最大值. 3.44 解析:设其中一个数为 x,则另一个数为 8-x,且 0≤x≤8, 则 y=x3+(8-x)2=x3+x2-16x+64, y′=3x2+2x-16=0,
解得 x=2???x=-83舍去???,且当 0≤x≤2 时,y′≤0;当 2≤x≤8 时,y′≥0,故当 x=2 时,y 取最
小值 44.

4.25 解析:设矩形垂直于直径的一边长为 x,则另一边长为 2 25-x2,于是矩形面积 S(x)=

2x·

25-x2,则

S′(x)=

50-4x2 ,令 25-x2

S′(x)=0



x=5

2

2???x=-5

2

2舍去???,因此当

x=5

2

2时面积

取最大值为 S???5 2 2???=25. 5.解:(1)设商品降价 x 元时,多卖出的商品数为 kx2,若记商品在一个星期的销售利润为 f(x),

则由题意,得 f(x)=(30-x-9)(432+kx2)

=(21-x)(432+kx2).

又由已知条件 24=k·22,得 k=6.

∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30].

(2)由(1),知 f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).

当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x

[0,2)

2

(2,12)

12

(12,30]

f′(x)



0



0



f(x)

极小值

极大值

故 x=12 时,f(x)有极大值,x=2 时,f(x)有极小值. 又 f(0)=9 072,f(2)=8 664,f(12)=11 664,

所以定价为 30-12=18 元,能使一个星期的商品销售利润最大.

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