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广东省中山一中2015-2016学年高二上学期第一次段考数学试卷(文科) Word版含解析

2015-2016 学年广东省中山一中高二(上)第一次段考数学试卷 (文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ) A. C. B.a2>b2 D.a|c|>b|c|

2.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( A.64 B.81 C.128 D.243

)

3.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A.138 B.135 C.95 D.23 4.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168 D.192 )

)

5.在△ ABC 中,若 A. B. C.5 D.

,则△ ABC 的面积为(

)

6.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 A. (﹣∞,1) B. (1,+∞)

的实数 x 的取值范围是(

)

C. (﹣∞,0)∪(0,1) D. (﹣∞,0)∪(1,+∞) )

7.在△ ABC 中,若 sinC+sin(B﹣A)=sin2A,则△ ABC 的形状为( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=3n+2n+1,则 an=( A.an= B.an=2×3n﹣1 )

C.an=2×3n﹣1+2

D.an=

9.在△ ABC 中,a=x,b=2,B=45°,若此三角形有两解,则 x 的取值范围是( A.x>2 B.x<2 C. D.

)

10.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.﹣1 C.2 D.

=(

)

11.对一切实数 x,不等式 x4+ax2+1≥0 恒成立,则实 a 的取值范围是( A. D.[0,+∞) (﹣∞,﹣2) B.[﹣2,+∞) C.[0,2]

)

12.数列{an}的首项为 a1=1,数列{bn}为等比数列且 bn= a21=( ) A.2014 B.2015 C.2016 D.2017

,若 b10b11=2015

,则

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 13.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n+1,则 a3+a4+a5+a6=__________. 14.已知﹣ <A< ,﹣π<B< ,则 2A﹣ B 的取值范围为__________.

15.在一座 20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为 60°,塔底俯角为 45°,那么这座 塔的高为__________. 16.如图,它满足第 n 行首尾两数均为 n,则第 7 行第 2 个数是__________.第 n 行(n≥2) 第 2 个数是__________.

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1a2=2,a3a4=32,求数列{an}的通项公式. 18.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项 an; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

19.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135° 求 BC 的长.

20.在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C= (Ⅰ)若△ ABC 的面积等于 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ ABC 的面积.



21.在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( ﹣1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船, 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向 能最快追上走私船,并求出所需要的时间. 22.数列{an}的首项为 a(a≠0) ,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=t?Sn+a(t≠0) .设 bn=Sn+1, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)当 t=1 时,若对任意 n∈N+,|bn|≥|b3|恒成立,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年广东省中山一中高二(上)第一次段考数 学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若 a、b、c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ) A. C. B.a2>b2 D.a|c|>b|c|

【考点】不等关系与不等式. 【专题】计算题. 【分析】本选择题利用取特殊值法解决,即取符合条件的特殊的 a,b 的值,可一一验证 A, B,D 不成立,而由不等式的基本性质知 C 成立,从而解决问题. 【解答】解:对于 A,取 a=1,b=﹣1,即知不成立,故错; 对于 B,取 a=1,b=﹣1,即知不成立,故错; 对于 D,取 c=0,即知不成立,故错; 对于 C,由于 c2+1>0,由不等式基本性质即知成立,故对; 故选 C. 【点评】本小题主要考查不等关系与不等式、不等关系与不等式的应用、不等式的基本性质 等基础知识,属于基础题. 2.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( A.64 B.81 C.128 D.243 )

【考点】等比数列. 【分析】由 a1+a2=3,a2+a3=6 的关系求得 q,进而求得 a1,再由等比数列通项公式求解. 【解答】解:由 a2+a3=q(a1+a2)=3q=6, ∴q=2, ∴a1(1+q)=3, ∴a1=1, ∴a7=26=64. 故选 A. 【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算. 3.已知等差数列{an}满足 a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前 10 项的和 S10=( A.138 B.135 C.95 D.23 【考点】等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题. )

a3+a5=10 【分析】 本题考查的知识点是等差数列的性质, 及等差数列前 n 项和, 根据 a2+a4=4, 我们构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出基本量(首项及公差) ,进而 代入前 n 项和公式,即可求解. 【解答】解:∵(a3+a5)﹣(a2+a4)=2d=6, ∴d=3,a1=﹣4, ∴S10=10a1+ =95.

故选 C 【点评】在求一个数列的通项公式或前 n 项和时,如果可以证明这个数列为等差数列,或等 比数列,则可以求出其基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或等比数列的通项公式, 写出该数列的通项公式, 如果未知这个数列的类型, 则可以判断它是否与某个等差或等比数 列有关,间接求其通项公式. 4.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168 D.192 【考点】等比数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】根据等比数列的性质可知 等于 q3,列出方程即可求出 q 的值,利用 即可求出 )

a1 的值,然后利用等比数列的首项和公比,根据等比数列的前 n 项和的公式即可求出{an} 的前 4 项和. 【解答】解:因为 = =q3=27,解得 q=3

又 a1=

= =3,则等比数列{an}的前 4 项和 S4=

=120

故选 B 【点评】 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的前 n 项和的公式化简求值, 是 一道中档题.

5.在△ ABC 中,若 A. B. C.5 D.

,则△ ABC 的面积为(

)

【考点】余弦定理. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】依题意可求得 cosC,从而可求得 sinC,利用三角形的面积公式即可求得答案. 【解答】解:∵在△ ABC 中,a=10,b=8,cos(A+B)=﹣cosC= ∴cosC=﹣ ,又 C∈(0,π) , ,

∴sinC= ∴S△ ABC= absinC = ×10×8× = .

=



故选 A. 【点评】本题考查正弦定理,考查三角函数的诱导公式,考查利用正弦定理求解三角形面积 的方法,属于中档题.

6.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 A. (﹣∞,1) B. (1,+∞)

的实数 x 的取值范围是(

)

C. (﹣∞,0)∪(0,1) D. (﹣∞,0)∪(1,+∞)

【考点】函数单调性的性质. 【分析】由函数的单调性可直接得到 法均可. 【解答】解:由已知得 解得 x<0 或 x>1, 的大小,转化为解分式不等式,直接求解或特值

故选 D. 【点评】本题考查利用函数的单调性解不等式,属基本题. 7.在△ ABC 中,若 sinC+sin(B﹣A)=sin2A,则△ ABC 的形状为( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 )

【考点】三角形的形状判断. 【专题】解三角形. 【分析】由两角和与差的三角函数公式结合三角形的知识可得 cosA=0 或 sinA=sinB.进而 可作出判断. 【解答】解:∵sinC+sin(B﹣A)=sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=sin2A. ∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcosA ∴2sinBcosA=2sinAcosA. ∴cosA(sinA﹣sinB)=0, ∴cosA=0 或 sinA=sinB. ∵0<A,B<π,∴A= 或 A=B.

∴△ABC 为直角三角形或等腰三角形. 故选:D. 【点评】本题考查三角形形状的判断,涉及两角和与差的三角函数公式,属基础题. 8.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=3n+2n+1,则 an=( )

A.an=

B.an=2×3n﹣1

C.an=2×3n﹣1+2

D.an=

【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用当 n=1 时,a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,即可得出. 【解答】解:∵Sn=3n+2n+1, ∴当 n=1 时,a1=S1=3+2+1=6, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n+2n+1﹣[3n﹣1+2(n﹣1)+1]=2×3n﹣1+2, ∴an= .

故选:D. 【点评】本题考查了递推关系的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 9.在△ ABC 中,a=x,b=2,B=45°,若此三角形有两解,则 x 的取值范围是( A.x>2 B.x<2 C. D. )

【考点】正弦定理的应用. 【专题】计算题. 【分析】利用正弦定理和 b 和 sinB 求得 a 和 sinA 的关系,利用 B 求得 A+C;要使三角形两 个这两个值互补先看若 A≤45°,则和 A 互补的角大于 135°进而推断出 A+B>180°与三角形 内角和矛盾;进而可推断出 45°<A<135°若 A=90,这样补角也是 90°,一解不符合题意进 而可推断出 sinA 的范围,利用 sinA 和 a 的关系求得 a 的范围. 【解答】解: = =2

∴a=2 sinA A+C=180°﹣45°=135° A 有两个值,则这两个值互补 若 A≤45°,则 C≥90°, 这样 A+B>180°,不成立 ∴45°<A<135° 又若 A=90,这样补角也是 90°,一解 所以 a=2 <sinA<1

sinA 所以 2<a<2 故选 C 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力.

10.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

=(

)

A.1

B.﹣1 C.2

D.

【考点】等差数列的性质. 【专题】计算题. 【分析】充分利用等差数列前 n 项和与某些特殊项之间的关系解题. 【解答】解:设等差数列{an}的首项为 a1,由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5,a1+a5=2a3,



=

=

=

=1,

故选 A. 【点评】 本题主要考查等差数列的性质、 等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的综合应用, 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则有如下关系 S2n﹣1=(2n﹣1)an. 11.对一切实数 x,不等式 x4+ax2+1≥0 恒成立,则实 a 的取值范围是( ) A. D.[0,+∞) (﹣∞,﹣2) B.[﹣2,+∞) C.[0,2] 【考点】函数最值的应用. 【专题】计算题. 【分析】 讨论 x 是否为零, 然后将 a 分离出来, 使得﹣a 恒小于不等式另一侧的最小值即可, 求出 a 的范围即为所求. 【解答】解:∵对一切实数 x,不等式 x4+ax2+1≥0 ∴x4+1≥﹣ax2 在 R 上恒成立 当 x=0 时不等式恒成立 当 x≠0 时,﹣a≤ 而 ≥2 在 R 上恒成立

∴﹣a≤2 即 a≥﹣2 故选 B. 【点评】本题主要考查了恒成立问题,以及参数分离法和利用基本不等式求函数的最值,属 于中档题.

12.数列{an}的首项为 a1=1,数列{bn}为等比数列且 bn= a21=( ) A.2014 B.2015 C.2016 D.2017

,若 b10b11=2015

,则

【考点】数列递推式. 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列.

【分析】由已知结合 bn= 性质求得答案. 【解答】解:由 bn=

,得到 a21=b1b2…b20,结合 b10b11=2015

,以及等比数列的

,且 a1=1,得 b1=



b2=

,∴a3=a2b2=b1b2,

b3=

,∴a4=a3b3=b1b2b3,

… an=b1b2…bn﹣1. ∴a21=b1b2…b20. ∵数列{bn}为等比数列, ∴a21=(b1b20) (b2b19)…(b10b11)= .

故选:B. 【点评】本题考查了数列递推式,考查了等比数列的性质,是中档题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 2 13.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n +2n+1,则 a3+a4+a5+a6=40. 【考点】数列的求和. 【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用 a3+a4+a5+a6=S6﹣S2,即可得出. 【解答】解:∵数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n+1, 则 a3+a4+a5+a6=S6﹣S2=(62+2×6+1)﹣(22+2×2+1)=40. 故答案为:40. 【点评】本题考查了递推关系、数列前 n 项和公式的应用,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

14.已知﹣

<A<

,﹣π<B<

,则 2A﹣ B 的取值范围为(

) .

【考点】不等式比较大小. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】根据﹣ <A< ,﹣π<B< ,分别求出 2A、﹣ B 的取值范围,进而求出

2A﹣ B 的取值范围即可. 【解答】解:根据﹣ <A< ,﹣π<B< ,

可得﹣π<2A<π、﹣ 所以 <2A﹣ B

﹣ B ,



所以 2A﹣ B 的取值范围为 ( 故答案为: ( ) .

) .

【点评】本题主要考查了不等式的基本性质的运用,解答此题的关键是分别求出 2A、﹣ B 的取值范围. 15.在一座 20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为 60°,塔底俯角为 45°,那么这座 塔的高为 20(1+ )m. 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】计算题. 【分析】在直角三角形 ABD 中根据 BD=ADtan60°求得 BD,进而可得答案. 【解答】解析:如图,AD=DC=20. ∴BD=ADtan60°=20 . ∴塔高为 20(1+ )m.

【点评】本题主要考查解三角形在实际中的应用.属基础题. 16.如图,它满足第 n 行首尾两数均为 n,则第 7 行第 2 个数是 22.第 n 行(n≥2)第 2 个 数是 .

【考点】进行简单的合情推理. 【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】设第 7 行第 2 个数是 x,由斜列:2,4,7,11,16,…,可知 4﹣2=2,7﹣4=3, 11﹣7=4,16﹣11=5,x﹣16=6,解得 x.由 a2=2,a3=4,a4=7,a5=11,…,可得:a3﹣a2=2, a4﹣a3=3,a5﹣a4=4,…,利用“累加求和”方法即可得出. 【解答】解:①设第 7 行第 2 个数是 x,由斜列:2,4,7,11,16,…,可知 4﹣2=2,7 ﹣4=3,11﹣7=4,16﹣11=5,x﹣16=6,解得 x=22. ②由 a2=2,a3=4,a4=7,a5=11,…,

可得:a3﹣a2=4﹣2=2,a4﹣a3=7﹣4=3,a5﹣a4=11﹣7=4,…, ∴an=a2+(a3﹣a2)+(a4﹣a3)+…+(an﹣an﹣1) =2+2+3+…+(n﹣1) =1+

=



故答案分别为:22;



【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 17.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1a2=2,a3a4=32,求数列{an}的通项公式. 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】导数的综合应用. 【分析】由题意可得首项和公比的方程组,解方程组易得通项公式. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q,则 q>0, 由已知可得 ,

解方程组可得 ∴数列{an}的通项公式 an=2n﹣1. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,求出数列的首项和公比是解决问题的关键,属基础 题. 18.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项 an; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n. 【考点】等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用等差数列的通项公式,根据 a10 和 a20 的值建立方程组,求得 a1 和 d,则 通项 an 可得. (2)把等差数列的求和公式代入 Sn=242 进而求得 n. 【解答】解: (Ⅰ)由 an=a1+(n﹣1)d,a10=30,a20=50,得 方程组 解得 a1=12,d=2.所以 an=2n+10.

(Ⅱ)由 方程 .



解得 n=11 或 n=﹣22(舍去) . 【点评】本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式,考查运算能力. 19.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135° 求 BC 的长.

【考点】解三角形;三角形中的几何计算. 【专题】数形结合. 【分析】由余弦定理求得 BD,再由正弦定理求出 BC 的值. 【解答】解:在△ ABD 中,设 BD=x,则 BA2=BD2+AD2﹣2BD?AD?cos∠BDA, 即 142=x2+102﹣2?10x?cos60°,整理得:x2﹣10x﹣96=0, 解之:x1=16,x2=﹣6(舍去) . 由正弦定理得: ∴ . ,

【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用,一元二次方程的解法,求出 BD 的值,是解 题的关键.

20.在△ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c,已知 c=2,C=



(Ⅰ)若△ ABC 的面积等于 ,求 a,b; (Ⅱ)若 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ ABC 的面积. 【考点】余弦定理的应用. 【分析】 (Ⅰ)先通过余弦定理求出 a,b 的关系式;再通过正弦定理及三角形的面积求出 a, b 的另一关系式,最后联立方程求出 a,b 的值. (Ⅱ)通过 C=π﹣(A+B)及二倍角公式及 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求出 ∴sinBcosA=2sinAcosA.当 cosA=0 时求出 a,b 的值进而通过 absinC 求出三角形的面积;

当 cosA≠0 时,由正弦定理得 b=2a,联立方程解得 a,b 的值进而通过 absinC 求出三角形的 面积. 【解答】解: (Ⅰ)∵c=2,C= ∴a2+b2﹣ab=4, 又∵△ABC 的面积等于 ∴ ∴ab=4 联立方程组 ,解得 a=2,b=2 , ,c2=a2+b2﹣2abcosC



(Ⅱ)∵sinC+sin(B﹣A)=sin(B+A)+sin(B﹣A)=2sin2A=4sinAcosA, ∴sinBcosA=2sinAcosA 当 cosA=0 时, , , , ,求得此时

当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a, 联立方程组 解得 , .

所以△ ABC 的面积 综上知△ ABC 的面积 【点评】本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角 函数有关知识的能力. 21.在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( ﹣1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75°方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走私船, 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向 能最快追上走私船,并求出所需要的时间. 【考点】解三角形的实际应用. 【专题】应用题. 【分析】设缉私船追上走私船需 t 小时,进而可表示出 CD 和 BD,进而在△ ABC 中利用余 弦定理求得 BC,进而在△ BCD 中,根据正弦定理可求得 sin∠BCD 的值,进而求得 ∠BDC=∠BCD=30°进而求得 BD,进而利用 BD=10t 求得 t. 【解答】解:如图所示,设缉私船追上走私船需 t 小时, 则有 CD= ,BD=10t.在△ ABC 中, ∵AB= ﹣1,AC=2, ∠BAC=45°+75°=120°. 根据余弦定理可求得 BC= . ∠CBD=90°+30°=120°. 在△ BCD 中,根据正弦定理可得

sin∠BCD=



∵∠CBD=120°,∴∠BCD=30°,∠BDC=30°, ∴BD=BC= ,则有 10t= ,t= =0.245(小时)=14.7(分钟) .

所以缉私船沿北偏东 60°方向,需 14.7 分钟才能追上走私船.

【点评】 本题主要考查了解三角形的实际应用. 考查了运用三角函数的基础知识解决实际的 问题. 22.数列{an}的首项为 a(a≠0) ,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=t?Sn+a(t≠0) .设 bn=Sn+1, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)当 t=1 时,若对任意 n∈N+,|bn|≥|b3|恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出; (2)当 t=1 时,an=a,Sn=na,bn=na+1,由对任意 n∈N+,|bn|≥|b3|恒成立,得|na+1|≥|3a+1|, 两边平方化为(n﹣3)a[(n+3)a+2]≥0,对 a 分类讨论即可得出. 【解答】解: (1)∵Sn+1=t?Sn+a(t≠0) . ① 当 n≥2 时,Sn=tSn﹣1+a ②, ①﹣②得,an+1=tan, 又由 S2=tS1+a,得 a2=ta1, ∴数列{an}是首项为 a,公比为 t 的等比数列, ∴an=a?tn﹣1(n∈N*) . 2 t=1 a =a ( )当 时, n ,Sn=na,bn=na+1, 由对任意 n∈N+,|bn|≥|b3|恒成立, 得|na+1|≥|3a+1|, 化为(n﹣3)a[(n+3)a+2]≥0 (*) 当 a>0 时,n<3 时, (*)不成立; 当 a<0 时, (*)等价于(n﹣3)[(n+3)a+2]≤0 (**) n=3 时, (**)成立. n≥4 时,有(n+3)a+2≤0,即 a≤n n=1 时,有 4a+2≥0, 综上,a 的取值范围是 恒成立,∴ . .

.n=2 时,有 5a+2≥0, .

【点评】本题考查了递推关系的应用、含绝对值数列问题、分类讨论方法,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.


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