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2009年高考四川数学(理科)试题及参考答案

数学(理工农医类)参考答案

选择题:本体考察基本概念和基本运算。每小题 5 分,满分 60 分。

(1) C

(2) B (3) A

(4) D

(5) D (6) B

(7) C

(8) B (9) A (10)D

(11) B (12) A

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分,满分 16 分。

(13) -20

(14)4

(15) 90

(16)①②③

三、解答题 (17)本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定 理等基础知识及基本运算能力。

sin B ? 10 ?cos B ? 1? sin2 b ? 3 10

解:(Ⅰ) A 、 B 为锐角,

10 ,

10

cos 2A ? 1? 2sin2 A ? 3



5,

?sin A ? 5 cos A ? 1? sin2 A ? 2 5

5,

5,

?cos( A ? B) ? cos Acos B ? sin Asin B ? 2 5 ? 3 10 ? 5 ? 10 ? 2 5 10 5 10 2

0? A?B??

?A?B ? ? 4

…………………………………………6 分

C ? 3? ?sin C ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

4,

2.

a?b?c 由正弦定理 sin A sin B sin C 得

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b

Q a ?b ? 2 ?1,

? 2b ? b ? 2 ?1,?b ?1

?a ? 2,c ? 5

……………………………………12 分

(18)本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算, 考察运用概率只是解决实际问题的能力。
解:(Ⅰ)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6

人持银卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”,

科学管理合组织,不断深化“双基”建设狠抓安全技术教育培训工作面落实手指口述确认操、岗位描规范提高员责任意识和整体能。

事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡”,

事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡”。

P(B) ? P( A1) ? P( A2 )

? C91C221 ? C91C61C211

C336

C336

? 9 ? 27 34 170
? 36 85

36 所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 85 。

…………………………………………………………6 分

(Ⅱ)? 的可能取值为 0,1,2,3

P(?

?

0 )?

C33 C93

?

1 84 ,

P(?

? 1)

?

C61C32 C93

?3 14

P(?

?

2)

?

C62C31 C93

?

15 28

P(?


? 3)

?

C63 C93

?

15 21 ,

所以? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

1

3

15

5

84

14

28

21

E? ? 0? 1 ?1? 3 ? 2? 15 ? 3? 5 ? 2

所以

84 14

28

21 , ……………………12 分

(19)本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数 学问题的能力。 解法一:

(Ⅰ)因为平面 ABEF ⊥平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ,

平面 ABEF 平面 ABCD ? AB ,

所以 BC ⊥平面 ABEF

科学管理合组织,不断深化“双基”建设狠抓安全技术教育培训工作面落实手指口述确认操、岗位描规范提高员责任意识和整体能。

所以 BC ⊥ EF .

因为 ?ABE 为等腰直角三角形, A B? A E,

所以 ?AEB ? 45

又因为 ?AEF ? 45 ,

所以 ?FEB ? 45 ? 45 ? 90 ,

即 EF ⊥ BE ? B ,

所以 EF ⊥平面 BCE 。 ……………………………………4 分

(Ⅱ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCE

1 AB 取 BE 的中点 N,连接 AN,MN,则 MN∥= 2 ∥=PC

所以 PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN

因为 CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内,

所以 PM∥平面 BCE

……………………………………8 分

(Ⅲ)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知,EA⊥平面 ABCD

作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA。从而,FG⊥平面 ABCD

作 GH⊥BD 于 G,连结 FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH

因此,∠AEF 为二面角 F-BD-A 的平面角

因为 FA=FE, ∠AEF=45°,

所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.

2 设 AB=1,则 AE=1,AF= 2 .

1 FG=AF·sinFAG= 2

13 在 Rt△FGH 中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+ 2 = 2 ,

3 2 32 GH=BG·sinGBH= 2 · 2 = 4
FG 2 在 Rt△FGH 中,tanFHG= GH = 3

科学管理合组织,不断深化“双基”建设狠抓安全技术教育培训工作面落实手指口述确认操、岗位描规范提高员责任意识和整体能。

2

故二面角 F-BD-A 的大小为 arctan 3 .

………………………………12 分

解法二: (Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以 AE⊥AB.
又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABEF,
平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 AE⊥平面 ABCD. 所以 AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图 所示的直角坐标系 A-xyz. 设 AB=1,则 AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为 FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.

F (0, ? 1 , 1)

从而,

22.

所以

EF

?

(0,

?

1 2

,

1) 2

,

BE

?

(0,

?1,1)

,

BC

?

(1,

0,

0)

.

EF ? BE ? 0 ? 1 ? 1 ? 0 2 2 , EF ? BC ? 0 .

所以 EF⊥BE, EF⊥BC.
因为 BE ? 平面 BCE,BC∩BE=B ,
所以 EF⊥平面 BCE. (Ⅱ)存在点 M,当 M 为 AE 中点时,PM∥平面 BCE.

1 M ( 0,0, 2 ),

1 P ( 1, 2 ,0 ).

(?1, ? 1 , 1)

从而 PM =

22,

(?1, ? 1 , 1) (0, ? 1 , ? 1)

于是 PM · EF =

2 2 · 2 2 =0

所以 PM⊥FE,又 EF⊥平面 BCE,直线 PM 不在平面 BCE 内,

故 PMM∥平面 BCE.

………………………………8 分

(Ⅲ)设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ,并设 n1 =(x,y,z).

uuuv BD ?(1,?1,0),

uuuv BF

?(0,?

3 ,1 )

22

科学管理合组织,不断深化“双基”建设狠抓安全技术教育培训工作面落实手指口述确认操、岗位描规范提高员责任意识和整体能。

uv uuuv ???nuv1gBuuDuv ? 0 ??n1gBF ? 0

?x ? y ? 0

?



??? ?

3 2

y

?

1 2

z

?

0

取 y=1,则 x=1,z=3。从而 n1 ?(1,1,3)。

取平面 ABD 的一个法向量为 n2 ?(0,0,1)。

uv uuv

uuv uuv cos(n1, n2 ) ?

unv1 gnuuv2 n1 n2

?

3 ? 3 11 11g1 11


3 11 故二面角 F—BD—A 的大小为 arccos 11 。……………………………………12 分
(20)本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题 及推理运算能力。

c? 2
{a 2 a2 ?2 解:(Ⅰ)有条件有 c

,解得 a ?

2,c=1 。

?b ? a2 ? c2 ?1。

x2 ? y2 ?1

所以,所求椭圆的方程为 2

。…………………………………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1(?1, 0) 、 F(2 1,0)。
若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1.

y?? 2

将 x=-1 代入椭圆方程得

2。

M (?1, 2 ) N(?1,? 2 )

不妨设

2、

2,

uuuuv uuuv ? F2M ? F2N ? (?2,

2 ) ? (?2, ? 2

2 ) ? (?4, 0)

2

.

uuuuv uuuv

? F2M ? F2 N

?4
,与题设矛盾。

?直线 l 的斜率存在。

设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y=k(x+1)。

设 M (x1,y1) 、 N (x2 , y2 ) ,

科学管理合组织,不断深化“双基”建设狠抓安全技术教育培训工作面落实手指口述确认操、岗位描规范提高员责任意识和整体能。

x2 ?y2 ?1
{2
联立 y=k(x+1) ,消 y 得 (1? 2k 2 )x2 ? 4k 2x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。

由根与系数的关系知

x1

?

x2

?

?4k 2 1? 2k 2

,从而

y1

?

y2

?

k ( x1

?

x2

? 2)

?

2k 1? 2k 2



又 F2M ? (x1 ?1, y1) , F2N ? (x2 ?1, y2) ,

?F2M ? F2N ? (x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2) 。 ? F2M ? F2 N 2 ? (x1 ? x2 ? 2)2 ? ( y1 ? y2 )2

?

8k 2 ? ( 1? 2k

2
2

)2

?

( 2k 1? 2k

2

)2

?

4(16k 4 ? 9k 2 ?1) 4k 4 ? 4k 2 ?1

4(16k 4 ? 9k 2 ?1) ? 4k 4 ? 4k 2 ?1

?

(2

26 )2 3



化简得 40k 4 ? 23k 2 ?17 ? 0

k 2 ? 1或者k 2 ? ? 17

解得

40

?k ? ?1. ?所求直线l的方程为y ? x ?1或者y ? ?x ?1
(21)本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理 和运算能力。
解:(Ⅰ)由题意知1? ax ? 0
当 0 ? a ? 1时,f (x)的定义域是(0,? ?);当a ? 1时,f (x)的定义域是(? ?,0)

f?(x)=

-ax ln a 1? ax

gloga

e

?

ax ax ?1

当 0 ? a ? 1时,x ? (0, ??).因为ax ?1 ? 0, ax ? 0,故f?(x)<0,所以f(x)是减函数

当 a ? 1时,x ? (??, 0),因为ax ?1 ? 0, ax ? 0,故f ?(x) ? 0, 所以f (x)是减函数 ….(4 分) (Ⅱ)因为 f (n) ? loga (1? an ), 所以a f (n) ? 1? an

科学管理合组织,不断深化“双基”建设狠抓安全技术教育培训工作面落实手指口述确认操、岗位描规范提高员责任意识和整体能。

由函数定义域知1? an >0,因为 n 是正整数,故 0<a<1.

lim
所以 n??

a f (n) an ? a

?

lim
n??

1? an an ? a

?

1 a

(Ⅲ)(h x) ? ex (x2 ? m ?1)(x ? 0),所以h?(x) ? ex (x2 ? 2x ? m ?1)

令 h?(x) ? 0,即x2 ? 2x ? m ?1 ? 0,由题意应有? ? 0,即m ? 0

当 m=0 时, h?(x) ? 0 有实根 x ? ?1 ,在 x ? ?1 点左右两侧均有 h?(x) ? 0 故无极值

当 0 ? m ?1时, h?(x) ? 0 有两个实根 x1 ? ?1? m, x2 ? ?1? m 当 x 变化时, h?(x) 、 h(x) 的变化情况如下表所示:

x

(??, x1)

x1

(x1, x2 )

x2

(x2 , 0)

h?(x)

+

0

-

0

+

h(x)



极大值



极小值



?h(x) 的极大值为 2e?1? m (1? m) , h(x) 的极小值为 2e?1? m (1? m)

当 m ? 1时, h?(x) ? 0 在定义域内有一个实根, x ? ?1? m

同上可得 h(x) 的极大值为 2e?1? m (1? m) 综上所述, m ?(0,? ?)时,函数 h(x) 有极值;

当 0 ? m ?1时 h(x) 的极大值为 2e?1? m (1? m) , h(x) 的极小值为 2e?1? m (1? m)
当 m ? 1时, h(x) 的极大值为 2e?1? m (1? m)
(22)本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理 论证、分析与解决问题的能力。
1 解:(Ⅰ)当 n ?1 时, a1 ? 5a1 ?1,?a1 ? ? 4

又 Q an ? 5an ?1, an?1 ? 5an?1 ?1

? an?1

?

an

?

5an?1,即an?1

?

?

1 4

an

?数列?an? 成等比数列,其首项

a1

?

?

1 4

,公比是

q

?

?

1 4

科学管理合组织,不断深化“双基”建设狠抓安全技术教育培训工作面落实手指口述确认操、岗位描规范提高员责任意识和整体能。

? an

?

(?

1)n 4

4 ? (? 1)n

?bn

?

1? (?

4 1)n

4 ……………………………………..3 分

bn
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

?

4

?

5 (?4)n

?1

? cn

?

b2n

? b2n?1

?

5? 42n ?1

5 42n?1

?1

?

(16n

25 ?16n ?1)(16n

?

4)

=

25 ?16n (16n )2 ? 3?16n

? 4)

?

25 ?16n (16n )2

?

25 16n

13

4

又 b1 ? 3,b2 ? 3 ,?c1 ? 3



n

?

1时, T1

?

3 2

n


?

2时,Tn

?

4 3

?

25? ( 1 162

?1 163

?K

?1 16n

)

?

4

?

25 ?

1 162

[1 ?

( 1 )n?1] 16

3

1? 1

16

1

? 4 ? 25? 162 ? 69 ? 3 ......................7分

3

1? 1 48 2

16

bn
(Ⅲ)由(Ⅰ)知

?

4

?

5 (?4)n

?1

一方面,已知 Rn ? ?n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ?1(k ? N *)

则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k?1

1

1

1

? 4n ? 5 ? ( ?41 ? 1

?42 ? 1 ?43 ?

K?K 1

1

?k 2?4

1?

) 1

? 4n ?

5?

?[

1 41 ?

? 1

1 (42?

? 1

1 43?

?)K K ? 1

1 (k 24?

?

1

1 k ?24?1

)] 1

科学管理合组织,不断深化“双基”建设狠抓安全技术教育培训工作面落实手指口述确认操、岗位描规范提高员责任意识和整体能。

> 4n ?1

??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1 对一切大于 1 的奇数 n 恒成立

??

?

4, 否则,(?

?

4)n

?

?1只对满足

n

?

4

1 ?

?

的正奇数

n

成立,矛盾。

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n
事实上,对任意的正整数 k,有

5

5

b2n?1

? b2n

?

8?

(?4)2 k ?1

? ?1

(?4)2k

?1

?

8

?

5 (16)k

?1

?

20 (16)k ?

4

?

8

?

15?16k ? 40 (16k ?1)(16k ? 4)

?

8

?当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N *) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m )

< 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N *) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 < 8(m ?1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ?对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n 综上所述,正实数 ? 的最小值为 4………………………….14 分

科学管理合组织,不断深化“双基”建设狠抓安全技术教育培训工作面落实手指口述确认操、岗位描规范提高员责任意识和整体能。


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