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“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试及答案201333

“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试 2000 年 3 月 19 日 上午 8:30—10:00 一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1、直线 l1,l2 分别过点 P( – 2,– 2 ),Q( 1,3 ),它们分别绕点 P 和 Q 旋转,但保持平行,那么, 它们之间的距离 d 的取值范围是( (A)( – ∞, 34 ] ) (C)( 34 ,+ ∞ ) (D)[ 34 ,+ ∞ ) (B)( 0,+ ∞ ) 2、等比数列{ a n }中,a 1 + a 2 + ? + a 5 = – 27,a 6 + a 7 + ? + a 10 = 3, 则 lim ( a 1 + a 2 + ? + a n ) =( n??? ) (C) (A)– 30 (B)30 243 10 (D)– 243 10 ) 3、 正方体 ABCD – A1B1C1D1 中, F 分别是 AB、 1 的中点, A1E 和 C1F 所成的角是 E、 BB 则 ( (A)arcsin 21 5 (B)arccos 3 5 (C) ? 4 (D) ? 3 4、圆锥的侧面展开图是半径为 1,圆心角为 ( (A) ) 3? 的扇形,则过圆锥顶点的截面面积的最大值是 2 3 4 (B) 1 2 (C) 3 2 (D) 3 7 16 5、If the line x + 3 y + a = 0 and the circle x 2 + y 2 = 1 have two different intersections(交点)in the third quadrant(象限), then the interval(范围)of the real number a is( (A)( – 2,– 1 ) (B)( – 2,– 3 ) (C)( 1,2 ) ) ) (D)( 3 ,2 ) 6、使不等式 2 x – a > arccos x 的解是– (A)1 – 1 < x ≤ 1 的实数 a 的值是( 2 1 2 2? 2 5? – (C) – (D) – π 2 3 6 2 2 1 1 n 7、设 a > b > c,n∈ N,且 + ≥ 恒成立,则 n 的最大值为( ) a?b b?c a?c (B) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 ? 2 8、过椭圆的左焦点 F 作直线交椭圆于 A、B 两点,若| AF |∶ BF | = 2∶ | 3,且直线与长轴的夹角 为 ? ,则椭圆的离心率为( 4 1 5 (B) ) (A) 2 5 (C) 3 5 (D) 2 5 9、设函数 f ( x ) = ( x – 1 ) 2 + n(x∈ – 1,3 ],n∈ [ N)的最小值为 a n,最大值为 b n,记 C n = b 2 – n 2 a n,则数列{ C n }( ) (A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为 1 的等比数列 (C)是常数数列 (D)不是等差数列也不是等比数列 10、 如图, 半径为 1 的圆 M 切直线 AB 于 O 点, 射线 OC 从 OA 出发, 绕着 O 点,顺时针方向旋转到 OB,旋转过程中 OC 交⊙ 于 P,记 M ∠ PMO 为 x,弓形 PNO 的面积 S = f ( x ),那么 f ( x )的图象是( ) C P A x N M O 第10题图 B y ? ? 2 y ? ? ? 2 2? x y ? ? 2? x y ? ? O O O 2? x O ? 2? x (A) (B) (C) (D) 二、A 组填空题(每小题 6 分,共 60 分) 11、已知 0 < a < b,x = a ? b – b ,y = b – b ? a ,则 x,y 的大小关系是 12、{ a n }是等差数列,a 2 + a 4 + ? + a 2 n = P,则该数列前 2 n + 1 项的和是 13、如果任意实数 x 均使 arctan x 2 ? x ? 。 。 。 13 ? ≥ – a 成立,则 a 的取值范围是 4 3 14、f ( x ) = ? then a = ? 1 ? x 2 (?1 ? x ? 1) ? , if the equation f ( x ) = a has one and only one real root(实根), ( | x |? 1) ? |x| ? 。 。 15、若不等式 3x ? k > x ? 4 的解集为{ x | x ≥ 4 },则整数 k 的最大值为 16、现有直径为 d 的圆木,要把它锯成横断面为矩形的梁,从材料力学知道,横断面为矩形的梁 的强度 Q = k ? b ? h 2, b 为断面宽, 为断面高, 为常数) 要使强度最大, ( h k , 则高与宽的比是 。 17、设 P0 是抛物线 y = 2 x 2 + 4 x + 3 上的一点,M1,M2 是抛物线上的任意两点,k1,k2,k3 分别 是 P0M1,M1M2,M2P0 的斜率,若 k 1 – k 2 + k 3 = 0,则点 P0 的坐标为 。 18、过原点作互相垂直的两条直线,分别交抛物线 y = x 2 于 A、B 两点,则线段 AB 中点的轨迹 方程是 。 19、给出一系列化合物的分子式:C6H6,C10H8,C14H10,?,若该系列化合物的分子式可以无 限增大,则该系列化合物分子式中含碳元素的质量分数的极限值为 %。 20、扇形铁皮 AOB,弧长为 20π cm,现剪下一个扇形环 ABCD 做圆台形容器的侧面,使圆台母 线长 30cm 并从剩下的扇形 COD 内剪下一个最大的圆,刚好做容器的下底(指较大的底) ,则扇 形圆心角是 度。 三、B 组填空题(每小题 6 分,共 30 分) 21、函数 f ( x )是定义在 R

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