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数学技术方法在水文学中的应用_图文


第七章 数学技术方法在水 文学中的应用

Zuo Qiting

主要内容 7.1 7.2 7.3
水文学中常用的数值方法 参数率定常用的数学方法 参数灵敏度分析的数学方法

Zuo Qiting

7.1 水文学中常用的数值方法
7.1.1 有限差分法
有限差分法的基本思想: 有限差分法的基本思想:把微分方程连续的 定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,然 后用各离散格点上待求函数的差商来近似代替该 点的微商, 点的微商,原微分方程和定解条件就近似地代之 以代数方程组,即有限差分方程组, 以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组 就可以得到原问题在离散点上的近似解。 就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再 利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整 个区域上的近似解。 个区域上的近似解。
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7.1.1.1 有限差分法概述
差分的格式:在精度上分为一阶格式、 差分的格式:在精度上分为一阶格式、二阶 格式和高阶格式; 格式和高阶格式;在空间上分为中心格式和逆风 格式;在时间上分为显格式、隐格式、显隐交替 格式;在时间上分为显格式、隐格式、 格式等。 格式等。 构造差分格式的方法一般有三种: 构造差分格式的方法一般有三种:(1)数值 微分法;( ;(2 积分插值法;( ;(3 待定系数法。 微分法;(2)积分插值法;(3)待定系数法。

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7.1.1.2 差分的基本概念
一阶差商的定义式为: 一阶差商的定义式为:

?f ( x ) f ( x + h ) ? f ( x ) = ?x h

(7.1.1) 7.1.1)

那么当增量h很小时, 那么当增量h很小时,我们可以用差商来近似 代替微商, 代替微商,即:
df ( x ) ?f ( x ) f ( x + h) ? f ( x ) ≈ = dx ?x h
(7.1.2) 7.1.2)
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差分形式又分为三种形式:一阶向前差分、一 差分形式又分为三种形式:一阶向前差分、 阶向后差分、一阶中心差分。其中, 阶向后差分、一阶中心差分。其中,中心差分的 截断误差最小。 截断误差最小。 对于二阶微商同样也可以用二阶差商来近 似表示,即: 似表示,
d 2 f (x) 1 df (x) df (x) f (x + h) + f (x ? h) ? 2 f (x) ≈ ( |x+h/ 2 ? |x?h/ 2 ) ≈ 2 h dx dx dx h2
(7.1.3) 7.1.3)
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7.1.1.3 有限差分法的求解过程
有限差分法的求解过程为: 有限差分法的求解过程为: 首先,将原微分方程离散化为差分方程组。 首先,将原微分方程离散化为差分方程组。 其次,差求解分方程组。 其次,差求解分方程组。
另外,为了保证计算过程的可行和计算结果的正确, 另外,为了保证计算过程的可行和计算结果的正确, 还需从理论上分析差分方程组的性态,包括解的唯一性、 还需从理论上分析差分方程组的性态,包括解的唯一性、 存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。 存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。

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7.1.2 有限单元法
有限单元法的基本思想是:首先, 有限单元法的基本思想是:首先,利用变分原 理把所要求解的边值问题的微分方程化为与之等价 的泛函求极值的变分问题;然后, 的泛函求极值的变分问题;然后,将定解区域划分 为有限个互不重叠的子单元, 为有限个互不重叠的子单元,并利用剖分插值把变 分问题近似地化为多元函数的求极值问题, 分问题近似地化为多元函数的求极值问题,从而得 到一个线性代数方程组,即所谓的有限元方程; 到一个线性代数方程组,即所谓的有限元方程;最 求解得到原问题的数值解。 后,求解得到原问题的数值解。

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7.1.2.1 有限单元法概述
有限单元法的计算格式: 有限单元法的计算格式:按计算单元网格划分 为三角形网格、四边形网格和多边形网格; 为三角形网格、四边形网格和多边形网格;按权函 数不同可划分为配置法、矢量法、 数不同可划分为配置法、矢量法、最小二乘法和伽 辽金法; 辽金法;按差值函数的精度可划分为线性插值函数 和高次插值函数等。 和高次插值函数等。 单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐 有对称和不对称等。 标,有对称和不对称等。

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7.1.2.2 变分的基本概念
这里需要首先介绍一下泛函的概念。 这里需要首先介绍一下泛函的概念。泛函就 是函数的函数,表示的是一个变量随某个函数而 是函数的函数, 变化的关系。例如: 变化的关系。例如: S(? )=



x2

x1

F [ x,? ( x ), ? ′( x )]dx

(7.1.7)

? )的值取决于函数 (x),因此, ? )就称为函 S( )的值取决于函数?(x),因此,S( )就称为函 ? 数 (x)的泛函。 (x)的泛函。 的泛函

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当待求函数由 ? 变为 ? 1= ? + δ? 时,泛函的 增量可以表示为

?S = S (? + δ? ) ? S (? )
= ∫x
x2
1

?S ?S 1 x2 ? 2 S ?2S ?2S [ δ? + δ?′]dx + ∫ [ 2 (δ?)2 + δ?δ?′ + 2 (δ?)2 ]dx + K ?? ??′ 2! x1 ?? ????′ ??′

1 2 = δS (? )+ 2! δ S (? ) +…
(7.1.8)

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其中, 其中,

δS (? ) = ∫x

x2
1

?S ?S [ δ? + δ? ′]dx ?? ?? ′
(7.1.9)

即泛函增量的线性部分就称为泛函的一阶变分或变分, 即泛函增量的线性部分就称为泛函的一阶变分或变分, 其余的高阶项则分别称为二阶变分、三阶变分。 其余的高阶项则分别称为二阶变分、三阶变分。

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泛函的极值条件是其变分为零, 泛函的极值条件是其变分为零,即 δS (? )=0。 。 通过化简整理可知:泛函欲取极值, 通过化简整理可知:泛函欲取极值,则函数就必须 满足微分方程

?S d ?S ? ( )=0 ?? dx ?? ′

(7.1.10)

这个方程就称为欧拉方程。因此, 这个方程就称为欧拉方程。因此,泛函求极值的变分问 题可以转化为求解欧拉方程的问题。 题可以转化为求解欧拉方程的问题。只要能够构成一个泛函 使其相应的欧拉方程为所求问题的微分方程, 使其相应的欧拉方程为所求问题的微分方程,那么就可以把 所求问题转化为等效的泛函求极值的变分问题。 所求问题转化为等效的泛函求极值的变分问题。
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7.1.2.3 有限单元法的求解过程
有限元方法的解题步骤可归纳为: 有限元方法的解题步骤可归纳为:
建立积分方程; 建立积分方程; 区域单元剖分; 区域单元剖分; 确定单元基函数; 确定单元基函数; 单元分析; 单元分析; 总体合成; 总体合成; 边界条件的处理; 边界条件的处理; 解有限元方程。 解有限元方程。
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7.1.3 有限体积法
有限体积法(Finite Volume Method,FVD), 有限体积法( Method,FVD), 又称控制体积法、广义差分法。其基本思路是: 又称控制体积法、广义差分法。其基本思路是:将计 算区域划分为一系列不重叠的、 算区域划分为一系列不重叠的、形状规则或不规则的 单元或控制体, 单元或控制体,将待解的微分方程对每一个控制体积 得出一组离散方程。 分,得出一组离散方程。其中的变量定义在控制体的 形心,是网格点上的因变量的数值。 形心,是网格点上的因变量的数值。根据控制体内质 动量守恒定律列出质量、动量平衡方程, 量、动量守恒定律列出质量、动量平衡方程,在计算 出通过每个控制体边界沿法向输入输出量后, 出通过每个控制体边界沿法向输入输出量后,对每个 控制体分别进行质量和动量平衡计算, 控制体分别进行质量和动量平衡计算,即可求出待求 未知量。 未知量。
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7.1.4 边界单元法
边界单元法( Method, 边界单元法(Boundary Element Method,简称 BEM),又称边界积分方程—边界元法。 ),又称边界积分方程 BEM),又称边界积分方程—边界元法。它以定义在边界上 的边界积分方程为控制方程,通过对边界单元插值离散, 的边界积分方程为控制方程,通过对边界单元插值离散, 化为代数方程组求解。 化为代数方程组求解。 边界元法主要有以下几个特点: 边界元法主要有以下几个特点: 由于只需对边界进行离散和插值,使解题的维数降低一维, 由于只需对边界进行离散和插值,使解题的维数降低一维, 大大减少了工作量; 大大减少了工作量; 由于处于边界上的奇异解在线性代数方程组的系数矩阵中 会有最大的对角线主元,因此,代数方程组不会是病态的, 会有最大的对角线主元,因此,代数方程组不会是病态的, 可以减少计算误差的积累; 可以减少计算误差的积累; 离散化的误差只发生在边界, 离散化的误差只发生在边界,而域内函数值和其导数值是 直接用解析公式计算的。 直接用解析公式计算的。函数值和其导数值的计算精度是 相同的。 相同的。
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7.2 参数率定常用的数学方法
7.2.1 最小二乘法
7.2.1.1 一般最小二乘法的原理
在研究某一个问题时, 在研究某一个问题时,往往通过建立一个模型来求得某 些量的理论值,通过实验与观测手段可以得到其观测值。 些量的理论值,通过实验与观测手段可以得到其观测值。由 于种种原因,如模型不完全正确以及观测有误差等, 于种种原因,如模型不完全正确以及观测有误差等,理论值 与观测值会存在差距,这些差距的平方和H=∑(理论值H=∑(理论值 与观测值会存在差距,这些差距的平方和H=∑(理论值-观测 可以作为理论与实测符合程度的度量。通常, 值)2可以作为理论与实测符合程度的度量。通常,理论值中 包含有未知参数(或参数向量), ),最小二乘法要求选择的参 包含有未知参数(或参数向量),最小二乘法要求选择的参 数值, 达到最小。因此, 数值,使H达到最小。因此,最小二乘法的直接意义是作为 一种估计未知参数的方法。 一种估计未知参数的方法。

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7.2.1.2 全最小二乘法的原理
全最小二乘法的原理。 全最小二乘法的原理。给定超定程 Ax ≈ ∧b ,全 最小二乘法是求出解向量 xTLs ,满足相容程 A xTLs = bTLs ∧ 的最佳逼近, 其中 A 和 bTLs是A和b的最佳逼近,由以下优化问题决 定: ? ∧ ? 7.2.4) min [A, b] ? ? A, bTLs ? (7.2.4) x ? ?F
满足bTLs

?∧? ∈ R? A ? ? ?
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b 若令 A = A + E , TLs = b + r 。E,r分别表示 A 和 bTLs 的逼近误差,则式(7.2.4) 的逼近误差,则式(7.2.4)可表示为





min [E, r ] F
x

(7.2.5) 7.2.5)

? F 为Frobenius范数。 Frobenius范数 范数。

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7.2.2 遗传算法
7.2.2.1 遗传算法的原理
遗传算法的主要思想来源于达尔文的生物进化论, 遗传算法的主要思想来源于达尔文的生物进化论, 适者生存、自然选择、 适者生存、自然选择、优胜劣汰是遗传算法的主要指导 原则。通过自然选择、遗传、变异等作用机制, 原则。通过自然选择、遗传、变异等作用机制,逐步提 高各个个体的适应性。 高各个个体的适应性。 遗传算法以一种群体中的所有个体为对象, 遗传算法以一种群体中的所有个体为对象,并利用 随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索。 随机化技术指导对一个被编码的参数空间进行高效搜索。 其中,选择、交叉和变异构成了遗传算法的遗传操作; 其中,选择、交叉和变异构成了遗传算法的遗传操作; 参数编码、初始群体的设定、适应度函数的设计、 参数编码、初始群体的设定、适应度函数的设计、遗传 操作设计、 操作设计、控制参数设定五个要素组成了遗传算法的核 心内容。 心内容。
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7.2.2.2 遗传算法的基本步骤
其计算流程如下: 其计算流程如下: (1)编码;(2)初始群体的生成;(3)适应性评 编码;( ;(2 初始群体的生成;( ;(3 估检测;( ;(4 选择;( ;(5 交换;( ;(6 变异。 估检测;(4)选择;(5)交换;(6)变异。 流程图如下图所示

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简单的遗传算法流程图
初始化参数

生成零代种群

进制转换

生成下一代种群

基因突变 适应值评价 基因交叉
符合精度或 达到最大代数



基因复制



结束

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GA求解多目标问题的方法 7.2.2.3 GA求解多目标问题的方法
GA求解多目标问题中的相关方法: 求解多目标问题中的相关方法: 求解多目标问题中的相关方法
权重法(weight) 权重法(weight) 目标规划法(Goal 目标规划法(Goal Programming) 目标达成法( Attainment) 目标达成法(Goal Attainment) 其他方法:权重平均排序法、非繁殖遗传算法、 其他方法:权重平均排序法、非繁殖遗传算法、非控 分选遗传算法等。 分选遗传算法等。

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7.2.3 SCE—UA优化算法 — 优化算法
7.2.3.1 SCE—UA算法的特点 算法的特点
SCE-UA法具有以下特点或优点: SCE-UA法具有以下特点或优点: 法具有以下特点或优点 在多个吸引域内获得全局收敛点; 在多个吸引域内获得全局收敛点; 能够避免陷入局部最小点; 能够避免陷入局部最小点; 能有效地表达不同参数的敏感性与参数间的相关性; 能有效地表达不同参数的敏感性与参数间的相关性; 能够处理具有不连续响应表面的目标函数, 能够处理具有不连续响应表面的目标函数,即不要求 目标函数与导数的清晰表达; 目标函数与导数的清晰表达; 能够处理高维参数问题。 能够处理高维参数问题。
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SCE-UA的计算过程 7.2.3.2 SCE-UA的计算过程
SCE算法的一般步骤如下: SCE-UA 算法的一般步骤如下:
(1)生成样本; (2)样本点排序;(3)复合形划分; 样本点排序;( ;(3 复合形划分; 生成样本; 复合形个体演化;( ;(5 混合复合形;( ;(6 (4)复合形个体演化;(5)混合复合形;(6)检查收 敛性;( ;(7 检查复合形数目的缩减。 敛性;(7)检查复合形数目的缩减。

流程图如下图所示

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SCE-UA算法的流程图 算法的流程图

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7.2.4 贝叶斯方法
7.2.4.1 贝叶斯方法的原理
贝叶斯理论认为未知参数是一个随机变量,记 贝叶斯理论认为未知参数是一个随机变量, θ 为 。它的估计值则是此随机变量的一个抽样值。在具 它的估计值则是此随机变量的一个抽样值。 θ 体进行观测之前,根据过去的经验, 体进行观测之前,根据过去的经验,人们对参数 已积 h 累了一些知识。 θ 的具体值未知, 累了一些知识。虽然参数 的具体值未知,但它服从概(θ ) 即先验分布)。 )。贝叶斯理论观点认为获得样本 率分布 (即先验分布)。贝叶斯理论观点认为获得样本 θ h(θ ) 的先验知识( X的目的是对 的先验知识(体现在先验分布 ) X θ X 进行调整, = ( x1 , x 2 , L 进行调整,在获得样本 , x n ) h(θ 后,标定出参数X ) 在给定时的条件分布 即后验分布), θ ),而这个条件分布就反映了人们对参数 (即后验分布),而这个条件分布就反映了人们对参数 的新认识。 的新认识。
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7.2.4.2 贝叶斯方法的特点
贝叶斯方法的主要特点是在获得后验分布 即使丢掉总体信息和样本信息, 后,即使丢掉总体信息和样本信息,也不影响对 参数的统计推断。此外, 参数的统计推断。此外,将观察数据的不确定性 和因估计和预测中的误差而引起的不确定性有效 结合起来,是贝叶斯方法的另一大特点。 结合起来,是贝叶斯方法的另一大特点。

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7.3 参数灵敏度分析的数学方法 7.3.1 扰动分析法
扰动分析法是一种最简单的参数灵敏度分析方 法,即在某个参数最佳估计值附近给定一个人工干 如参数值增减10%),并计算参数在小范围内 10%), 扰(如参数值增减10%),并计算参数在小范围内 产生波动所导致的模型输出的变化率。 产生波动所导致的模型输出的变化率。 扰动分析方法的计算思路十分简单, 扰动分析方法的计算思路十分简单,但其结果 强烈依赖于优化算法的选择。 强烈依赖于优化算法的选择。

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RSA方法 7.3.2 RSA方法
RSA方法( RSA方法(Regionalized Sensitivity Analysis)是一 方法 ) 种有效的全局灵敏度分析方法, Hornberge和 种有效的全局灵敏度分析方法,由Hornberge和Spear 于1978年提出的。同时RSA方法还是一种基于行为和非 1978年提出的。同时RSA方法还是一种基于行为和非 年提出的 RSA 行为的二元划分来进行参数识别的方法, 行为的二元划分来进行参数识别的方法,即给定一组 参数,如果系统的模拟满足事先设定的条件, 参数,如果系统的模拟满足事先设定的条件,那么这 组参数就是可接受的,否则是不可接受的。 组参数就是可接受的,否则是不可接受的。 它的特点是将优化条件进行弱化, 它的特点是将优化条件进行弱化,用一些可以用 定量或定性语言描述的条件来决定参数的取舍。 定量或定性语言描述的条件来决定参数的取舍。
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GLUE方法 7.3.3 GLUE方法
GLUE方法( GLUE方法(Generalized Likelihood Uncertainty 方法 Estimation)是一种度量模型不确定性的方法,同时也 Estimation)是一种度量模型不确定性的方法, 是一种全局参数灵敏度分析的方法, Beven于1992年 是一种全局参数灵敏度分析的方法,由Beven于1992年 提出。 提出。 GLUE方法不同于RSA方法对参数集“ GLUE方法不同于RSA方法对参数集“是”和“否”的 方法不同于RSA方法对参数集 二元划分,而是采用似然度对不同的参数进行区分。 二元划分,而是采用似然度对不同的参数进行区分。GLUE 方法既考虑到最优即最好这一直观事实, 方法既考虑到最优即最好这一直观事实,也避免了采用单 一的最优值进行预测而带来的风险。 一的最优值进行预测而带来的风险。

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