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高一数学必修一、必修二期末考试教师版试卷[1]2013-1-16

高一数学必修一、必修二期末复习
一、 选择题: 1.点 P(7, ?4) 关于直线 l : 6 x ? 5 y ? 1 ? 0 的对称点 Q 的坐标是( C A. (5, 6) B. (2,3) C. (?5,6) ) D. (?2,3)

2.已知 ?C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 15 ? 0 上有四个不同的点到直线 l : y ? k ( x ? 7) ? 6 的距离等于 5 ,则 k 的取 值范围是( C A. (??, 2) )

1 B. (?2, ??) C. ( , 2) 2
x

1 D. (??, ) ? (2, ??) 2

3.函数 f ( x) ? A.0

1 ? a 是奇函数,则实数 a 的值是( C ) 3 ?1 1 1 B. C. ? D.1 2 2

4.设 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a A )

3 5

2

2 5

3

2 5

2

( A )

5、若函数 y ? a x ? x ? a 有两个零点,则 a 的取值范围是(

A. (1, ??)

B. (0,1)

C. (0, ??)

D. ?

6.对任意的 x ? 1 时总有 f ? x ? ? a ? x ? lg x ? 0 ,则 a 的取值范围是( C ) A. ?0, ???
2 2

B. ?1, ?? ?
2 2

C. ? ??,1?

D. ?0,1?

7 若圆 x ? y ? b ? 0 与圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 没有公共点,则 b 的取值范围是( ).

A、b<-5

B、b<-25
3 B.[1, ] 2

C、 b<-10
2 ,3] 2

D、b<-100

8. 直线 y = k(x-1)与以 A(3,2)、B(2,3)为端点的线段有公共点,则 k 的取值范围是(C ). A.[1, 3] C.[1,3] D.[

9、已知圆C方程为:( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 ,直线 a 的方程为 3x-4y-12=0,在圆C上到直线 a 的距离为1的点有( C)个。 A、1 B、2 C、3
A. x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

D、4
2

10. 圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,3)的圆的方程是 ( D ) B. x ? ( y ? 2) ? 1
2

C. ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

D. x ? ( y ? 3) ? 1
2 2

11.已知M (0,-2), N (0,4), 则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是 A. x ? y ? 4
2 2 2 2

C

( y ? ?2) ( y ? ?2且y ? 4)
2

B。 x ? y ? 9
2 2

C. x ? ( y ? 1) ? 9
2

D 。 x ? ( y ? 1) ? 9
2 2

12.若直线 y ? kx ? 1与圆x ? y ? 1 相交于 P、Q 两点,且 ?POQ ? 120? ,则 k 的值为 ( A )
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A. ? 3或 3

B. 3

C. ? 2或 2

D. 2

二、填空题 1.过点 (5, 2) 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是
2x ? 5 y ? 0 或 x ? 2 y ? 9 ? 0 ; .

2.曲线 y ? 2 ? 3 ? 2x ? x2 与直线 y ? k ( x ? 1) ? 5 有两个不同交点时,实数 k 的取值范围是
( 5 3 3 5 , ] ? [? , ? ); 2 2 2 2

3.将半径都为 2 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值 为
15. 8 ?

4 6. 3

.

4、已知函数 f ( x ) 对任意的实数 x1 , x2 ,满足 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) 且 f (0) ? 0 ,则

f (0) ?

,此函数为
2 2

函数(填奇偶性).答案:1,偶函数

6.已知点 P(a, b) 是圆 x ? y ? 1内不同于原点的一点,则直线 ax ? by ? 1与圆的位置关系是 _相离_ 7.已知线段AB的端点B的坐标为(4,0),端点A在圆x2 + y2 = 1上运动,则线段AB的中点的轨迹方程为 (x-2)2 + y2 = 1 4

2 8.已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ,若 f (a) ? f (b) ,且 0 ? a ? b ,则动点 p (a, b) 到直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的

距离的最小值是

.

解析: 如图:由 y ? f (0) 的图象可知,使得 f (a) ? f (b) 且 0? a ?b 的 只 能 是 0?a? 2 ?b?2 且

f (a) ? 2 ? a2 ,

f (b) ? b2 ? 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ,故 p(a, b) 在圆 a 2 ? b? ? 4 的一段弧上,如图原
点即圆心到直线的距离为 d ?

15 ? 3 .故弧上点 p(a, b) 到直线距离最小值是 5

3 ? 2 ? 1. 三.解答题
1.已知圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 ,直线 l : (4? ? 2) x ? (3 ? 5? ) y ? 2? ? 12 ? 0 . (1)求证:直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时 ? 的值以及最短弦长. 解 (1)直线 l 过定点 (3, 2) ,而 (3, 2) 在圆 C 内部,故 l 与圆 C 恒相交; (2)弦长最短时,弦心距最长,设 P(3, 2) ,则当 l ? CP 时,弦长最短,此时 ? 长最短 2 23 . 2.如图,在五面体 ABCDEF 中, FA ? 平面 ABCD , AD // BC // FE ,

4? ? 2 ? 1 得 ? ? 5 ,弦 3 ? 5?

AB ? AD , M 为 EC 的中点, AF ? AB ? BC ? FE ?
(1)求异面直线 BF 与 DE 所成角的大小;

1 AD . 2

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(2)证明:平面 AMD ? 平面 CDE ; (3)求 MD 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 解 (1) 60? ; (2)略; (3) MD ?
3 6 6 1 ED ? AF , M 到面 ABCD 的距离是 AF ,故 sin ? ? . 2 2 6 2

3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆
C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的

坐标. 解 (1)直线 l : y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 ;

1 ( 2 ) 设 P(a, b) , l1 : y ? b ? k ( x ? a) , l2 : y ? b ? ? ( x ? a)(k ? 0) , 因 为 两 圆 半 径 相 等 , 故 k 1 | 5 ? (4 ? a) ? b | |1 ? k (?3 ? a) ? b | k ? |1 ? 3k ? ak ? b |?| 5k ? 4 ? a ? bk | 整 理 得 , 故 2 1 1? k 1? 2 k 1 ? 3k ? ak ? b ? 5k ? 4 ? a ? bk 或 1 ? 3k ? ak ? b ? ?5k ? 4 ? a ? bk , 即 (a ? b ? 2)k ? b ? a ? 3 或
?a ? b ? 2 ? 0 ?a ? b ? 8 ? 0 5 1 (a ? b ? 8)k ? a ? b ? 5 , 因 为 k 的 取 值 有 无 穷 多 个 , 故 ? 或? ,得 P( ,? ) 或 1 b?a?3?0 a?b?5? 0 2 2 ? ? 3 13 P2 (? , ) . 2 2

4.已知 a ? 0 , b ? 0 且 a ? 3b ? 2ab ,求 a ? b ? a2 ? b2 的最大值.
3 1 2 ? 2 ? 1 ? 直 线 x ? y ? 1 过 点 P( 3 , 1 ) , 如 图 可 知 解 : a ? 3b ? 2ab ? 2 2 a b a b

a ? b ? a2 ? b2 即为 Rt ?AOB 的内切圆直径,由直观易知,当内切圆恰与动直 线 AB 相 切 于 定 点 P 时 , 内 切 圆 直 径 最 大 设 所 示 圆 圆 心 (r , r ) , 则

r ? (r ?

3 ?1? 2 3 3 2 1 取较小根 r ? (较 ) ? (r ? )2 得 r 2 ? ( 3 ? 1)r ? 1 ? 0 , 2 2 2

大根是 ?AOB 的旁切圆半径) ,故所求最大值 3 ? 1 ? 2 3

5、 (本小题满分 14 分)如图所示,在矩形ABCD中,AB= 3 3 ,BC=3,沿对角 线BD折起,使点C移到 C ' 点,且平面AB C ' ? 平面

ABD。
(1) 证:B C ' ? 平面A C ' D; (2) 求点A到平面B C ' D的距离; (3) 求直线AB与平面B C ' D所成的角的正弦值。
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B

A

C

D

C( C )
'

(1)

证明:矩形 ABCD 中, DA ? AB 又∵平面AB C ' ? 平面ABD
∴DA ? 平面AB C ,
'

(2 分)
'

B
(4 分)

E

A

∴DA ? B C ,B C ? C D,
' '

∴B C ? 平面A C D。
' '

(5 分)

D
'

(2)

解:过 A 作 AE ? CD 于 E,则B C ' ? AE
∴AE ? 平面B C D,∴AE 是点 A 到平面B C D的距离。
'

(8 分)

∵ S ?AC ' D ?

AE ? CD AD ? AC ; AD ? AC ' 3 ? 3 2 ? ∴AE= ? ? 6 2 2 CD 3 3
'

∴点 A 到平面B C D的距离是 6 。

(11 分)

(3). 由(2)中可知直角三角形 ABE 中 ?ABE 为直线 AB 与平面B C ' D所成的角, (12 分)
∵ sin ?ABE ?

AE 6 2 ? ? AB 3 3 3
'

∴直线AB与平面B C D所成的角的正弦值为 (2)解法二:设 A 到面B C D的距离为 h 则:
'

2 。 3

(14 分)

∵B C ? 平面A C D∴B C ? A C A C =
' ' ' ' '

AB2 ? BC2 ? 27 ? 9 ? 3 2

∵ VA?BCD ? VB? AC' D ,又 DA ? 平面AB C ,
'

∴ BC ? DC ? h ? BC ? AC ? AD ,∴ 3 3 ? 3 ? h ? 3 ? 3 ? 3 2 ,
' ' '

∴h= 6

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