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湖南省长沙市一中2010届高三第三次月考文科数学


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湖南省长沙市一中 高三第三次月考文科数学 湖南省长沙市一中 2010 届高三第三次月考文科数学
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 选择题: 符合题目要求的. 符合题目要求的. 1.设全集 U = {1, 2,3, 4,5} , M = {1, 2, , N = {2,3, ,那么 ( M ∪ N ) = ( 5} 5} U A. φ B. {2, 4} C. { ,3} 1 ) D. {4}

2.已知| a |=3,| b |=1,且 a 与 b 方向相同,则 a b 的值是( A.3 B.0 C. 3 D.–3 或 3

)

3.右图是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体 的表面积是( ) A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π

2 4
正(主)视图

4
侧(左)视图

俯视图

4.若函数 y= f ( x ) 的图象过点 ( 0,1) ,则函数 y= f ( 4 x ) 的图象必过点( A.

)

( 3, 0 )

B. (1, 4 )

C.

( 4,1)
)

D. ( 0,3)

5.函数 f ( x) = π x + log 2 x 的零点所在区间为( A. 0, 8
1

B. , 8 4

1 1

C. , 4 2

1 1

D. ,1 2

1

6.已知函数 y = 2 sin(ωx + θ ) 为偶函数 (0 < θ < π ) ,其图像与直线 y=2 的某两个交点横坐 标为 x1 , x2 ,若 | x2 x1 | 的最小值为 π ,则( )

1 π ,θ = 2 2 1 π C. ω = , θ = 2 4
A. ω =
x x

π 2 π D. ω = 2 , θ = 4
B. ω = 2 , θ =

7. 已知函数 f ( x ) = log 2 ( a 4b + 6) (a > 0, b > 0) 满足: f (1) = 1, f (2) = log 2 6 ,则 f ( x ) 的最小值为( A. 6 ) B. 3 C. 0 D. 1

8.若 {a n } 是等差数列,首项 a1 > 0 , a2003 + a2004 > 0 , a2003 a2004 < 0 ,则使数列 {a n } 的前 n 项和 S n > 0 成立的最大自然数 n 是( ) D.4008 A.4005 B.4006 C.4007 填空题:本大题共7小题,每小题5 35分 二.填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分 9.函数 f ( x ) = lg (1 x ) 的定义域是

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10.已知向量 a = ( x,1), b = (4, x ), ,则当 x = 2 时, a 与 b 共线且方向相反.
2
2

11.已知命题 p : x ∈ [ 0, 2] , x a ≥ 0 " " ,命题 q : x ∈ R , x + 2ax + 2 a = 0 " " ,若 命题" p 且 q "是真命题,则实数 a 的取值范围是
2 2 2

12.在 ABC 中,已知 sin A = sin B + sin C + 3 sin B sin C ,则角 A 的值为 13.如果函数 f ( x) = x3 x 2 + a 在 [1,1] 上的最大值是 2 ,那么 f ( x) 在 [1,1] 上的最小值是
2 3

____

a 其前 n 项和为 Sn , 若 14. 在等差数列 {an } 中, 1 = 2007 ,

S 2008 S 2006 = 2, 则 S 2009 = _____ 2008 2006

15.设 f ( x ) 的定义域为 D,若满足: (1) f ( x ) 在 D 内是单调函数, (2)存在区间 [ a, b ] D , 使 f ( x ) 在 x ∈ [ a, b ] 时值域也为 [ a, b ] ,则称 f ( x ) 为 D 上的闭函数. 当 f ( x) = k +

x 是闭函数时, k 的取值范围是_______

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 cos x cos( x (1)求 f (x ) 的最小正周期; (2)当 α ∈ [0, π ]时, 若f (α ) = 1, 求α 的值.

π
6

) 3 sin 2 x + sin x cos x.

17. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,PD ⊥ 平面ABCD , AD ⊥ CD ,

AC ∩ BD = H ,且 H 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点, AD = CD = 1 , DB = 2 2 .

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(1)证明 PA // 平面BDE ; (2)证明 AC ⊥ 平面PBD ;

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

P

(3)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值.

E

A
H

B
C

D

18. (本小题满分 12 分) ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, B = 60 . (1)若 A = 45 , 求证:a = ( 3 1)c ; (2)求 cos( A 90 ) sin(180 + C ) 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分) 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地,已知货船的最大航行速度为 35 海里/小时,A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里,每小时的运输成本由燃料费和其余

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费用组成,轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6) ,其余费用为 每小时 960 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?

20 . 本 小 题 满 分 13 分 ) (

已 知 {an } 是 等 比 数 列 , a1 = 2, a3 = 18 ; {bn } 是 等 差 数

列, b1 = 2 , b1 + b2 + b3 + b4 = a1 + a2 + a3 > 20 . (1) 求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2) 设 Pn = b1 + b4 + b7 +…+ b3n 2 , Qn = b10 + b12 + b14 + … b2 n +8 ,其中 n = 1, 2,3 ,…试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论.

21. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 a 2 x + m( a > 0) .

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(1)若 a = 1 时函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点,求 m 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在 x ∈ [ 1,1] 内没有极值点,求 a 的取值范围; (3)若对任意的 a ∈ [3, 6] ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在 x ∈ [ 2, 2] 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

长沙市一中高三月考文科数学答案 长沙市一中高三月考文科数学答案

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二.填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分 填空题:本大题共7小题,每小题5 35分 9.函数 f ( x ) = lg (1 x ) 的定义域是 ( ∞,1) 10.已知向量 a = ( x,1), b = (4, x ), ,则当 x = 2 时, a 与 b 共线且方向相反.
2
2

11.已知命题 p : x ∈ [ 0, 2] , x a ≥ 0 " " ,命题 q : x ∈ R , x + 2ax + 2 a = 0 " " ,若 命题" p 且 q "是真命题,则实数 a 的取值范围是 ( ∞, 2 ]
2 2 2

12.在 ABC 中,已知 sin A = sin B + sin C + 3 sin B sin C ,则角 A 的值为
3 2

5π 6

13.如果函数 f ( x) = x3 x 2 + a 在 [1,1] 上的最大值是 2 ,那么 f ( x) 在 [1,1] 上的最小值是

1 2
14. 在等差数列 {an } 中,a1 = 2007 , 其前 n 项和为 Sn , 若

S 2008 S 2006 = 2, 则 S 2009 = 2009 2008 2006

15.设 f ( x ) 的定义域为 D,若满足: (1) f ( x ) 在 D 内是单调函数, (2)存在区间 [ a, b ] D , 使 f ( x ) 在 x ∈ [ a, b ] 时值域也为 [ a, b ] ,则称 f ( x ) 为 D 上的闭函数. 当 f ( x) = k +

1 x 是闭函数时, k 的取值范围是 , 0 4

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三,解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 cos x cos( x (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 α ∈ [0, π ]时, 若f (α ) = 1, 求α 的值. (1) f ( x ) = 2 cos x cos( x 解:

π
6

) 3 sin 2 x + sin x cos x.

π
6

) 3 sin 2 x + sin x cos x

= 3 cos 2 x + sin x cos x 3 sin 2 x + sin x cos x = 3 cos 2 x + sin 2 x = 2 sin(2 x +
所以 T=π (2)由 f (α ) = 1得 sin( 2α + 又 α ∈ [0, π ]

π
3 1 2

)

…………………………6 分

π
3

)=

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∴ 2α +

π 7π ∈[ , ] 3 3 3 π 11π 故α = 或α = 4 12

π

∴ 2α +

π
3

=

5π π 13π 或2α + = 6 3 6

………………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中,PD ⊥ 平面ABCD , AD ⊥ CD ,

AC ∩ BD = H ,且 H 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点, AD = CD = 1 , DB = 2 2 .
(1)证明 PA // 平面BDE ; (2)证明 AC ⊥ 平面PBD ; (3)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值. 证明: (1)连结 EH ,因为 H 为 AC 的中点,E 为 PC 的中点, 证明: 所以 EH // PA ,又 HE 平面BDE , PA 平面BDE , 所以 PA // 平面BDE . …………………………4 分
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

P

E

A
H

B
C

D

(2)证明:因为 PD ⊥ 平面ABCD , AC 平面ABCD ,所以 PD ⊥ AC 又由条件知, BD ⊥ AC , PD ∩ BD = D, 故 AC ⊥ 平面PBD .…………………………8 分 (3)由 AC ⊥ 平面PBD 可知,BH 为 BC 在平面 PBD 内的射影,所以 ∠CBH 为直线 BC 与平面 PBD 所成的角. 由 AD ⊥ CD , AD = CD = 1, DB = 2 2 , 可得DH = CH = 在 RtBHC 中, tan ∠CBH =

2 3 2 , BH = 2 2

CH 1 = , BH 3

所以直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值为

1 .…………………………12 分 3

18. (本小题满分 12 分) ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, B = 60 . (1)若 A = 45 , 求证:a = ( 3 1)c ; (2)求 cos( A 90 ) sin(180 + C ) 的取值范围. 解: (1)因为 B = 60 , A = 45 ,所以 C = 75 , 则 ( 3 1)sin C = ( 3 1) sin 75 = ( 3 1) sin(45 + 30 ) =

2 = sin A , 2

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由正弦定理知 a = ( 3 1)c .

………………6 分

(2)由已知 B = 60 , 故A + C = 120 ,

cos( A 90 ) sin(180 + C ) = sin A + sin C = sin A + sin(120 A)
3 3 = sin A + cos A = 3 sin(30 + A) 2 2
∵ 0 < A < 120 , 故30 < A + 30 < 150 ∴ sin(30 + A) ∈

1 ,1 , 2

故 sin A + sin C ∈

3 , 3 . 2

………………12 分

19. (本小题满分 13 分) 现有一批货物由海上从 A 地运往 B 地,已知货船的最大航行速度为 35 海里/小时,A 地至 B 地之间的航行距离约为 500 海里,每小时的运输成本由燃料费和其余 费用组成,轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6) ,其余费用为 每小时 960 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 x(海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶? 解: (1)依题意得 y =

500 480000 (960 + 0.6 x 2 ) = + 300 x , x x

函数的定义域为 0<x≤35.

∴y =

480000 + 300 x(0 < x ≤ 35). …………………………5 分 x

(2)要使全程运输成本最小,即求 y 的最小值.

480000 480000 + 300 x ≥ 2 300 x = 24000, x x 480000 当且仅当 = 300 x, 即x = 40时取 " = " 号 x 480000 又0 < x ≤ 35, 故y = + 300 x在x = 40不能取最小值.……… 9分 x 480000 由y′ = + 300, 当0 < x ≤ 35时可得y′ < 0, x2 480000 所以y = + 300 x在(0,35]上单递减, x y=
故当 x =35 时取最小值.

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答:为使全程运输成本最小,轮船应以 35 海里/小时速度行驶.………………13 分 已 知 {an } 是 等 比 数 列 , a1 = 2, a3 = 18 ; {bn } 是 等 差 数

20 . 本 小 题 满 分 13 分 ) (

列, b1 = 2 , b1 + b2 + b3 + b4 = a1 + a2 + a3 > 20 . (1) 求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2) 设 Pn = b1 + b4 + b7 +…+ b3n 2 , Qn = b10 + b12 + b14 + … b2 n +8 ,其中 n = 1, 2,3 ,…试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论. (1)设 {an } 的公比为 q ,由 a3 = a1q 得 q = 解:
2

a3 = 9,q = ± 3 a1 当 q = 3 时, a1 + a2 + a3 = 2 6 + 18 = 14 < 20 ,这与 a1 + a2 + a3 > 20 矛盾,故舍去;
2
n 1

当 q = 3 时, a1 + a2 + a3 = 2 + 6 + 18 = 26 > 20 ,符合题意. 所以 an = 2 × 3 .…………………………………4 分 设数列 {bn } 的公差为 d ,由 b1 + b2 + b3 + b4 = 26 ,得 4b1 + 6d = 26 , 又 b1 = 2 ,解得 d = 3 , 所以 bn = 3n 1 . …………………………………7 分 (2) b1, b4 , b7 ,, b3n2 组成以 3d 为公差的等差数列, 所以 Pn = nb1 +

n ( n 1)

2 b10 , b12 , b14 ,, b2 n+8 组成以 2d 为公差的等差数列, b10 = 29 , n ( n 1) 2 9 2 5 3 Pn Qn = ( n n) (3n 2 + 26n) = n(n 19) . 2 2 2 2d = 3n 2 + 26n ,

3d =

9 2 5 n n 2 2

所以 Qn = nb10 +

所以对于任意正整数 n ,当 n ≥ 20 时, Pn > Qn ; 当 n = 19 时, Pn = Qn ; 当 n ≤ 18 时, Pn < Qn .………………………13 分

21. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 a 2 x + m( a > 0) . (1)若 a = 1 时函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点,求 m 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在 x ∈ [ 1,1] 内没有极值点,求 a 的取值范围; (3)若对任意的 a ∈ [3, 6] ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在 x ∈ [ 2, 2] 上恒成立,求实数 m 的取值范围.
3 2 解: (1)当 a = 1 时 f ( x ) = x + x x + m ,

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∵ f ( x ) 有三个互不相同的零点, ∴ f ( x) = x3 + x 2 x + m = 0 即 m = x x + x 有三个互不相同的实数根.
3 2

令 g ( x) = x x + x ,则 g ( x) = 3 x 2 x + 1 = (3 x 1)( x + 1)
3 2 / 2

∵ g ( x) 在 (∞, 1) 和 ( , +∞ ) 均为减函数,在 ( 1, ) 为增函数, ∴ g ( x )极小 = g ( 1) = 1, g ( x )极大 = g ( ) = 所以 m 的取值范围是 ( 1,

1 3

1 3

1 3

5 27

5 ) 27

………………4 分

/ 2 2 (2)由题设可知,方程 f ( x ) = 3 x + 2ax a = 0 在 [ 1,1] 上没有实数根,

f / (1) = 3 + 2a a 2 < 0 / 2 ∴ f ( 1) = 3 2a a < 0 ,解得 a > 3 ………8 分 a > 0 a / 2 2 (3)∵ f ( x ) = 3 x + 2ax a = 3( x )( x + a ), 又 a > 0 , 3 a a ∴当 x < a 或 x > 时, f / ( x ) > 0 ;当 a < x < 时, f / ( x ) < 0 . 3 3 a a ∴函数 f ( x ) 的递增区间为 (∞, a )和( , +∞ ), 单调递减区间为 ( a, ) 3 3 a 当 a ∈ [3, 6] 时, ∈ [1, 2] , a ≤ 3 , 又 x ∈ [ 2, 2] ,∴ f ( x) max = max { f (2), f (2)} 3
而 f (2) f ( 2) = 16 4a 2 < 0 ,∴ f ( x ) max = f ( 2) = 8 + 4a + 2a + m ,
2

又∵ f ( x) ≤ 1在 [ 2, 2] 上恒成立,∴ f ( x ) max ≤ 1即 8 + 4a + 2a + m ≤ 1 ,
2

即 m ≤ 9 4a 2a 在a ∈ [3, 6] 上恒成立.
2

∵ 9 4a 2a 的最小值为 87 ,
2

∴ m ≤ 87.

………13 分


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