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高中奥林匹克物理竞赛解题方法之六递推法

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之六递推法 Page1
例1 a,求: (1)nt 时刻质点的速度; (2)nt 时间内通过的总路程. 解析 根据递推法的思想,从特殊到一般找到规律,然后求解. 质点以加速度 a 从静止出发做直线运动,在某时刻 t,加速度变为 2a;在时刻 2t,加速度变为 3a;?; nt 时刻, 在 加速度变为(n+1)

(1)物质在某时刻 t 末的速度为 vt 2t 末的速度为 v 2t 3t 末的速度为 v 2t ?? 则 nt 末的速度为 v nt

? at

? vt ? 2at, 所以v2t ? at ? 2at ? v2t ? 3at ? at ? 2at ? 3at

? v( n ?1)t ? nat

? at ? 2at ? 3at ? ? ? (n ? 1)at ? nat ? at(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)

1 1 ? at ? (n ? 1)n ? n(n ? 1)at 2 2
(2)同理:可推得 nt 内通过的总路程 s 例 2 小球从高 h0

?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1)at 2 . 12

1 ? 180 m 处自由下落,着地后跳起又下落,每与地面相碰一次,速度减小 (n ? 2) ,求小球从下落到停止经过 n
? 2 gh0 ? 60 m / s

的总时间为通过的总路程.(g 取 10m/s2) 解析 小球从 h0 高处落地时,速率 v 0

第一次跳起时和又落地时的速率 v1 第二次跳起时和又落地时的速率 v 2

? v0 / 2
? v0 / 2 2


第 m 次跳起时和又落地时的速率 v m

? v0 / 2 m


每次跳起的高度依次 h1

?

h h v12 v2 ? 0 , h2 ? 2 ? 0 2 2g n 2g n 4


通过的总路程 ? s

? h0 ? 2h1 ? 2h2 ? ? ? 2hm ? ? ? h0 ?
? h0 ?

2h0 1 1 1 (1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 m?2 ) ? ? 2 n n n n

2h0 n2 ? 1 5 ? h0 ? 2 ? h0 ? 300m n2 ? 1 n ?1 3

经过的总时间为 ? t

? t 0 ? t1 ? t 2 ? ? ? t m ? ?

?
例3

v0 2v1 2v v v n ? 1 3v0 1 1 ? ? ? ? m ? ? ? 0 [1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ( ) m ? ?] ? 0 ( )? ? 18s g g g g n n g n ?1 g

A、B、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形,每只猎犬追捕猎物的速度均为 v,A 犬想追捕 B 犬,B 犬想追捕 C

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犬,C 犬想追捕 A 犬,为追捕到猎物,猎犬不断调整方向,速度方向始终“盯”住对方,它们同时起动,经多长时间可捕捉到猎物? 解析 由题意可知,由题意可知,三只猎犬都做等速率曲线运动,而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上,

但这正三角形的边长不断减小,如图 6—1 所示.所以要想求出捕捉的时间,则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动,再用递推法 求解. 设经时间 t 可捕捉猎物,再把 t 分为 n 个微小时间间隔△t,在每一个△t 内每只猎犬的运动可视为直线运动,每隔△t,正三角形的边长 分别为 a1、a2、a3、?、an,显然当 an→0 时三只猎犬相遇.

3 3 3 3 3 a1 ? a ? AA1 ? BB1 cos 60? ? a ? v?t , a2 ? a1 ? v?t ? a ? 2 ? v?t , a3 ? a2 ? v?t ? a ? 3 ? v?t , 2 2 2 2 2 ?? 3 an ? a ? n ? v?t 2
因为 a ? n ? 即 n?t

3 v?t ? 0, 2 所以t ? 2a 3v

?t

(此题还可用对称法,在非惯性参考系中求解.) 例4 一列进站后的重载列车,车头与各节车厢的质量相等,均为 m,若一次直接起动,车头的牵引力能带动 30 节车厢,那么,利用倒

退起动,该车头能起动多少节同样质量的车厢? 解析 若一次直接起动,车头的牵引力需克服摩擦力做功,使各节车厢动能都增加,若利用倒退起动,则车头的牵引力需克服摩擦力做

的总功不变,但各节车厢起动的动能则不同. 原来挂钩之间是张紧的,倒退后挂钩间存在△s 的宽松距离,设火车的牵引力为 F,则有: 车头起动时,有 ( F

? ?mg )?s ?

1 2 mv1 2

拉第一节车厢时: ( m ? 故有 v1
2

? m)v1 ? mv1

1 1 F 1 1 2 ? ? v12 ? ( ? ? g )?s, ( F ? 2? mg )?s ? ? 2mv2 ? ? 2mv1 2 4 2 m 2 2
? 2mv 2

? 拉第二节车厢时: (m ? 2m)v2

? 故同样可得: v 2
??

2

?

4 2 2 F 5 v2 ? ( ? ?g )?s 9 3 m 3

n F 2n ? 1 ( ? ?g )?s n ?1 m 3 2n ? 1 ?2 由 v n ? 0可得 : F ? ?mg 3
推理可得

? v n2 ?

另由题意知 F

? 31?mg , 得n ? 46

因此该车头倒退起动时,能起动 45 节相同质量的车厢.

例5 解析

有 n 块质量均为 m, 厚度为 d 的相同砖块, 平放在水平地面上, 现将它们一块一块地叠放起来, 如图 6—2 所示, 人至少做多少功? 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来,每次克服重力做的功不同,因此需一次一次地计算递推出通式计算.

将第 2 块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为 W2

? mgd

将第 3、4、?、n 块砖依次叠放起来,人克服重力至少所需做的功分别为 所以将 n 块砖叠放起来,至少做的总功为

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W ? W1 ? W2 ? W3 ??? Wn W3 = mg 2d ,W4 = mg 3d ,W5 = mg 4d ,L ,Wn = mg (n - 1)d
? mgd ? mg 2d ? mg 3d ? ? ? mg (n ? 1)d ? mgd ? n
例 6 如图 6—3 所示,有六个完全相同的长条薄片

(n ? 1) 2

Ai Bi (i ? 1 、2、?、6)依次架在水平碗口上,一端搁在碗口,另一端架在另一薄

片的正中位置(不计薄片的质量). 将质量为 m 的质点置于 A1A6 的中点处,试求:A1B1 薄片对 A6B6 的压力. 解析 本题共有六个物体,通过观察会发现,A1B1、A2B2、?、A5B5 的受力情况完全相同,因此将 A1B1、A2B2、?A5B5 作为一类,对

其中一个进行受力分析,找出规律,求出通式即可求解. 以第 i 个薄片 AB 为研究对象,受力情况如图 6—3 甲所示,第 i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力 Ni、碗边向上的支持力和后一个薄 片向下的压力 Ni+1. 选碗边 B 点为轴,根据力矩平衡有

N i ? L ? N i ?1 ?
所以 N 1?

N L , 得N i ? i ?1 2 2


1 1 1 1 N 2 ? ? N3 ? ? ? ( )5 N 6 2 2 2 2

再以 A6B6 为研究对象,受力情况如图 6—3 乙所示,A6B6 受到薄片 A5B5 向上的支持力 N6、碗向上的支持力和后一个薄片 A1B1 向下的压力 N1、质点向下的压力 mg. 选 B6 点为轴,根据力矩平衡有

L 3 ? mg ? L ? N 6 ? L 2 4 mg 由①、②联立,解得 N1 ? 42 mg 所以,A1B1 薄片对 A6B6 的压力为 . 42 N1 ?
例7 用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块,在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥,已知每一积木块长度为 L,横截面是边长为 ,计算跨度与桥孔高度的比值. h(h ? L / 4) 的正方形,要求此桥具有最大的跨度(即桥孔底宽) 解析 为了使搭成的单孔桥平衡,桥孔两侧应有相同的积木块,从上往下计算,使积木块均能保证平衡,要满足合力矩为零,平衡时,

每块积木块都有最大伸出量,则单孔桥就有最大跨度,又由于每块积木块都有厚度,所以最大跨度与桥孔高度存在一比值. 将从上到下的积木块依次计为 1、2、?、n,显然第 1 块相对第 2 块的最大伸出量为 ?x1

?

L 2

第 2 块相对第 3 块的最大伸出量为 ?x2 (如图 6—4 所示) ,则

L L ? 4 2? 2 L 同理可得第 3 块的最大伸出量 ?x3 ? 2?3 ?x2 ?
?? 最后归纳得出 ?x n

L G ? ?x2 ? ( ? ?x2 ) ? G 2

?
9

L 2? n

所以总跨度 k

? 2? ?x n ? 11.32 h
n ?1

跨度与桥孔高的比值为 例8

k 11.32 h ? ? 1.2 5 8 H 9h
? 1,2,3 ?).
每人只有一个沙袋, x

如图 6—5 所示,一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁,原点 O 两侧的人的序号都记为 n(n

?0

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一侧的每个沙袋质量为 m=14kg, x

? 0 一侧的每个沙袋质量 m? ? 10kg .

一质量为 M=58kg 的小车以某初速度 v0 从原点出发向正 x 轴方向

滑行. 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时,此人就把沙袋以水平速度 v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上,v 的大小等于扔此袋之前的 瞬间车速大小的 2n 倍.(n 是此人的序号数) (1)空车出发后,车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行? (2)车上最终有大小沙袋共多少个? 解析 当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时,由动量守恒定律知,车速要减小,可见,当人不断地把沙袋以

一定的速度扔到车上,总有一时刻使车速反向或减小到零,如车能反向运动,则另一边的人还能将沙袋扔到车上,直到车速为零,则不能再扔, 否则还能扔. 小车以初速 v 0 沿正 x 轴方向运动,经过第 1 个(n=1)人的身旁时,此人将沙袋以 u 恒得 Mv0

? 2nv0 ? 2v0 的水平速度扔到车上,由动量守

? m ? 2v0 ? ( M ? m)v1 , 当小车运动到第

2 人身旁时,此人将沙袋以速度 u ?

? 2nv1 ? 4v1 的水平速度扔到车上,同理有
vn
, 根 据 动 量 守 恒 有

(M ? m)v1 ? m ? 2nv1 ? (M ? 2m)v2

, 所 以 , 当 第 n 个 沙 袋 抛 上 车 后 的 车 速 为

[ M ? (n ? 1)m]vn?1 ? 2n ? mv n?1 ? ( M ? nm)vn ,即vn ?
同理有 v n ?1 即M

M ? (n ? 1)m vn?1 . M ? nm

?

M ? (n ? 2)m ,若抛上(n+1)包沙袋后车反向运动,则应有 vn ? 0, vn?1 ? 0. vn M ? (n ? 1)m

? (n ? 1)m ? 0, M ? (n ? 2)m ? 0.

由此两式解得: n <

48 30 ,n> , n 为整数取 3. 14 14

当车反向滑行时,根据上面同样推理可知,当向左运动到第 n 个人身旁,抛上第 n 包沙袋后由动量守恒定律有:

? ? [ M ? 3m ? (n ? 1)m?]v n ?1 ? 2m?nvn ?1 ? ( M ? 3m ? nm?)v n
解得: v n

?

?

M ? 3m ? (n ? 1)m? M ? 3m ? (n ? 2)m? ? ? ? v n ?1 同理v n ?1 ? vn M ? 3m ? nm? M ? 3m ? (n ? 1)m?
? ? 0, v n ?1 ? 0
即抛上第 8 个

设抛上 n+1 个沙袋后车速反向,要求 v n

即?

?M ? 3m ? (n ? 1)m? ? 0 ?n ? 7 解得? ?M ? 3m ? (n ? 2)m? ? 0 ?n ? 8
如图 6—6 所示,一固定的斜面,倾角 ?

沙袋后车就停止,所以车上最终有 11 个沙袋. 例9

? 45? ,斜面长 L=2.00 米.

在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为 m 的质点,从

斜面的最高点沿斜面下滑,初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的动摩擦因数 ? 到发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程. 解析

? 0.20 ,试求此质点从开始

因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功,且每次做功又不相同,所以要想求质点从开始到发生 n 次碰撞的过程中运动的总路程,

需一次一次的求,推出通式即可求解. 设每次开始下滑时,小球距档板为 s 则由功能关系: ? mg cos ? ( s1

? s2 ) ? mg (s1 ? s2 )sin ?

? mg cos ? (s2 ? s3 ) ? mg (s2 ? s3 )sin ?

即有

s 2 s3 sin? ? ? cos? 2 ? ??? ? s1 s 2 sin? ? ? cos? 3

由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列,其公比为

2 . 3

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∴在发生第 11 次碰撞过程中的路程

2 s1[1 ? ( )11 ] 3 s ? s1 ? 2s2 ? 2s3 ? ? ? 2s11 ? 2( s1 ? s2 ? s3 ? ? ? s11 ) ? s1 ? 2 ? ? s1 2 1? 3 2 11 ? 10 ? 12 ? ( ) (m) ? 9.86(m) 3
例 10 如图 6—7 所示,一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上,槽内嵌着三个大小相同的刚性小球,它们的质量分别是 m1、m2

和 m3,m2=m3=2m1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计. 开始时,三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置,彼此间距离相等,m2 和 m3 静止,m1 以初速 v 0 T. 解析 当 m1 与 m2 发生弹性碰撞时,由于 m2=2m1,所以 m1 碰后弹回,m2 向前与 m3 发生碰撞. 而又由于 m2=m3,所以 m2 与 m3 碰后,m3 能静止在 m1 的位置,m1 又以 v 速度被反弹,可见碰撞又重复一次. 当 m1 回到初始位置,则系统为一个周期. 以 m1、m2 为研究对象,当 m1 与 m2 发生弹性碰撞后,根据动量守恒定律,能量守恒定律可写出:

? ?R / 2 沿槽运动,R

为圆环的内半径和小球半径之和,设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞,求此系统的运动周期

m1v0 ? m1v1 ? m2 v2



1 1 1 2 2 m1v0 ? m1v12 ? m2 v 2 2 2 2
由①、②式得: v1



?

(m1 ? m2 ) 1 v0 ? ? v0 m1 ? m2 3

v2 ?

2m1 2 v0 ? v0 m1 ? m2 3

以 m2、m3 为研究对象,当 m2 与 m3 发生弹性碰撞后,得 v3 以 m3、m1 为研究对象,当 m3 与 m1 发生弹性碰撞后,得 v3

?
?

2 v0 3

? v2 ? 0
? v1 ? v0

?0

由此可见,当 m1 运动到 m2 处时与开始所处的状态相似. 所以碰撞使 m1、m2、m3 交换位置,当 m1 再次回到原来位置时,所用的时间恰 好就是系统的一个周期 T,由此可得周期

T ? 3(t1 ? t 2 ? t 3 ) ? 3 ? (

2?R 2?R 2?R 10?R 10?R ? ? )? ? ? 20( s). ?R 3v0 v0 3v0 v0 2

例 11

有许多质量为 m 的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两个木块均用长为 L 的柔绳连接着. 现用大小为 F 的

恒力沿排列方向拉第一个木块,以后各木块依次被牵而运动,求第 n 个木块被牵动时的速度. 解析 每一个木块被拉动起来后,就和前面的木块成为一体,共同做匀加速运动一段距离 L 后,把绳拉紧,再牵动下一个木块. 在绳子

绷紧时,有部分机械能转化为内能. 因此,如果列出 (n ? 1) FL

?

1 2 nmvn 这样的关系式是错误的. 2

? 设第 (n ? 1) 个木块刚被拉动时的速度为 v n ?1 ,它即将拉动下一个木块时速度增至 v n ?1 ,
第 n 个木块刚被拉动时速度为 v n . 对第 (n ? 1) 个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程,由动能定理有:

FL ?

1 1 2 ?? (n ? 1)mvn21 ? (n ? 1)mv n?1 2 2 ? 得: v n ?1 ? n vn n ?1



对绳子把第 n 个木块拉动这一短暂过程,由动量守恒定律,有

? (n ? 1)mvn?1 ? nmvn



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把②式代入①式得: FL 整理后得: (n ? 1)

?

1 n 1 2 (n ? 1)m( vn ) 2 ? (n ? 1)mv n?1 2 n ?1 2


2 FL 2 2 ? n 2 vn ? (n ? 1) 2 vn?1 m

③式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式,由③式可知

2 FL 2 ? 2 2 v 2 ? v12 m 2 FL 2 2 当 n=3 时有: 2 ? ? 3 2 v3 ? 2 2 v 2 m 2 FL 2 2 当 n=4 时有: 3 ? ? 4 2 v 4 ? 3 2 v3 ? m 2 FL 2 2 一般地有 (n ? 1) ? n 2 vn ? (n ? 1) 2 vn?1 m
当 n=2 时有: 将以上 (n ? 1) 个等式相加,得: (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) 所以有

n(n ? 1) 2 FL 2 ? ? n 2 v n ? v12 2 m
? 0 ,所以 v n ?
FL(n ? 1) . nm

2 FL 2 ? n 2 vn ? v12 m

在本题中 v1

例 12 共同以 v 0

如图 6—8 所示,质量 m=2kg 的平板小车,后端放有质量 M=3kg 的铁块,它和车之间动摩擦因数 ?

? 0.50. 开始时,车和铁块

? 3m / s 的速度向右在光滑水平面上前进,并使车与墙发生正碰,设碰撞时间极短,碰撞无机械能损失,且车身足够长,使得铁
小车与墙撞后,应以原速率弹回. 铁块由于惯性继续沿原来方向运动,由于铁块和车的相互摩擦力作用,过一段时间后,它们就

块总不能和墙相碰,求小车走过的总路程. 解析

会相对静止,一起以相同的速度再向右运动,然后车与墙发生第二次碰撞,碰后,又重复第一次碰后的情况. 以后车与墙就这样一次次碰撞下 去. 车每与墙碰一次,铁块就相对于车向前滑动一段距离,系统就有一部分机械能转化为内能,车每次与墙碰后,就左、右往返一次,车的总 路程就是每次往返的路程之和. 设每次与墙碰后的速度分别为 v1、v2、v3、?、vn、?车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为 s1、s2、s3、?、sn、?. 以铁块运动方 向为正方向,在车与墙第 (n ? 1) 次碰后到发生第 n 次碰撞之前,对车和铁块组成的系统,由动量守恒定律有

( M ? m)vn?1 ? ( M ? m)vn

所以

vn ?

v M ?m v n ?1 ? n ?1 M ?m 5

由这一关系可得: v 2

?

v1 v , v3 ? 1 , ? 5 52

一般地,有 v n

?

v1 ,? 5 n ?1

由运动学公式可求出车与墙发生第 n 次碰撞后向左运动的最远距离为

v12 v12 1 sn ? ? ? 2n?2 2a 2a 5
类似地,由这一关系可递推到: s1

?

v12 v2 1 v2 1 v2 1 , s 2 ? 1 ? 2 , s 3 ? 1 ? 4 , ?, s n ? 1 ? 2 n ? 2 2a 2a 5 2a 5 2a 5

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所以车运动的总路程

s总 ? 2( s1 ? s2 ? s3 ? ? ? sn ? ?) ? 2 ?

v12 v2 v 2 25 1 1 1 1 (1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? ?) ? 1 ? ? 1? 2a 5 5 5 a 1? 1 a 24 2 5

因此 v1 所以 s总

? v0 ? 3m / s ? 5 ( m) 4

a?

Mg? 15 ? m / s2 m 2

例 13 10 个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上,如图 6—9 所示,每个木块的质量 m ? 0.40 kg, 长度 l

? 0.45m ,它们与
试确定铅块最后的

地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 ? 2 ? 0.10 . 原来木块处于静止状态. 左方第一个木块的左端上方放一个质量为 M=1.0kg 的小铅块, 它与 木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 ?1 解析

? 0.20. 现突然给铅块一向右的初速度 v0 ? 4.3m / s ,使其在大木块上滑行.
2

位置在何处(落在地上还是停在哪块木块上). 重力加速度 g 取 10(m / s ) ,设铅块的长度与木块相比可以忽略. 当铅块向右运动时,铅块与 10 个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力,若此摩擦力大于 10 个扁长木块与地面间的最大静摩 擦力,则 10 个扁长木块开始运动,若此摩擦力小于 10 个扁长木块与地面间的最大摩擦力,则 10 个扁长木块先静止不动,随着铅块的运动, 总有一个时刻扁长木块要运动,直到铅块与扁长木块相对静止,后又一起匀减速运动到停止. 铅块 M 在木块上滑行所受到的滑动摩擦力 f1

? ?1 Mg ? 2.0 N ? ? 2 (M ? m) g ? (n ? 1)? 2 mg ? 0

设 M 可以带动木块的数目为 n,则 n 满足: f1 即 2.0 ? 1.4 ? 0.4(n ? 1)

?0

上式中的 n 只能取整数,所以 n 只能取 2,也就是当 M 滑行到倒数第二个木块时,剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第 8 个木块 时速度为 v,则

1 1 2 Mv 2 ? Mv0 ? ?1 Mg ? 8l 2 2
得: v
2

? 2.49(m / s) 2 ? 0

由此可见木块还可以滑到第 9 个木块上. M 在第 9 个木块上运动如图 6—9 甲所示,则对 M 而言有: ? ?1 Mg 得: a M

? MaM

? ?2.0m / s 2
? ? 2 ( M ? m) g ? ? 2 mg ? 2ma m ,得: a m ? 0.25m / s 2 .

第 9 及第 10 个木块的动力学方程为: ?1 Mg

设 M 刚离开第 9 个木块上时速度为 v ? ,而第 10 个木块运动的速度为 V ? ,并设木块运动的距离为 s,则 M 运动的距离为 s

? l ,有:

v?2 ? v 2 ? 2aM ( s ? l )

V ?2 ? 2am s

v? ? v ? aM t

V ? ? amt

消去 s 及 t 求出: ? 因 v?

?v ? ? 0.611m / s ?v ? ? ?0.26 m / s 或? ,显然后一解不合理应舍去. ?V ? ? 0.212 m / s ?V ? ? 0.23m / s

? V ? ,故 M 将运动到第 10 个木块上.再设 M 运动到第 10 个木块的边缘时速度为 v ?? ,这时木块的速度为 V ?? ,则:

v ?? 2 ? v ? 2 ? 2a M ( s ? ? l )
解得: v?? 例 14
2

? ?1.63 ? 4s ? ? 0 ,故 M 不能滑离第 10 个木块,只能停在它的表面上,最后和木块一起静止在地面上.

如图 6—10 所示,质量为 m 的长方形箱子,放在光滑的水平地面上. 箱内有一质量也为 m 的小滑块,滑块与箱底间无摩擦. 开始

时箱子静止不动,滑块以恒定的速度 v0 从箱子的 A 壁处向 B 处运动,后与 B 壁碰撞. 假设滑块与箱壁每碰撞一次,两者相对速度的大小变为

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该次碰撞前相对速度的 e 倍, e

?4

1 . 2

(1)要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的 40%,滑块与箱壁最多可碰撞几次? (2)从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间,箱子的平均速度是多少? 解析 由于滑块与箱子在水平方向不受外力,故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题目给出的每次碰撞前后相对速度之比,可求出每

一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度,应等于这期间运动的总位移与总时间的比值. (1)滑块与箱壁碰撞,碰后滑块对地速度为 v,箱子对地速度为 u. 由于题中每次碰撞的 e 是一样的,故有:

e?

u ? vn u1 ? v1 u 2 ? v 2 ? ??? n v0 ? u 0 v1 ? u1 v n ?1 ? u n ?1 ? v ? un v1 ? u1 v 2 ? u 2 ? ??? n v0 ? 0 v1 ? u1 v n ?1 ? u n ?1 v ? un v1 ? u1 v 2 ? u 2 ? ??? n v0 v1 ? u1 v n ?1 ? u n ?1
? u n ? ( ? e) n v 0


或?e

( ? e) n ?

即碰撞 n 次后 v n

碰撞第 n 次的动量守恒式是 mv n ①、②联立得 v n

? mu n ? mv 0



1 ? [1 ? (?e) n ]v0 2

1 u n ? [1 ? (?e) n ]v0 2

第 n 次碰撞后,系统损失的动能

1 2 1 1 2 1 2 1 ? e2 n 1 2 1 ? e2 n 2 2 2n ?Ekn ? Ek ? Ekn ? mv0 ? m(vn ? un ) ? mv0 ? mv0 (1 ? e ) ? ? mv0 ? Ek 2 2 2 4 2 2 2
下面分别讨论:

当n

? 1时,

?E kl 1 ? e ? ? Ek 2
2

1? 2

1 2 ? 0.146

n ? 2时,

?E k 2 1 ? e ? ? Ek 2
4

1? 2
1?

1 2 ? 0.25

n ? 3时,

?E k 3 1 ? e ? ? Ek 2
6

1 1 2 2 ? 0.323 2

?E 1 ? e8 n ? 4时, k 4 ? ? Ek 2

1? 2
1?

1 4 ? 0.3 7 5

n ? 5时,

?E k 5 1 ? e ? Ek 2

10

?

1 1 4 2 ? 0.412 2

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之六递推法 Page9
因为要求的动能损失不超过 40%,故 n=4. (2)设 A、B 两侧壁的距离为 L,则滑块从开始运动到与箱壁发生第一次碰撞的时间

t0 ?

L v0

. 在下一次发生碰撞的时间 t1

?

L L ? | u1 ? v1 | ev0

,共碰撞四次,另两次碰撞的时间分别为 t 2

?

L e v0
2

、 t3

?

L e v0
3



所以总时间 t

? t 0 ? t1 ? t 2 ? t 3 ?

L (1 ? e ? e 2 ? e 3 ). e v0
3

在这段时间中,箱子运动的距离是:

s ? 0 ? u1t1 ? u2t2 ? u3t3 ?

1 L 1 L 1 L (1 ? e)v0 ? ? (1 ? e 2 )v0 ? 2 ? (1 ? e3 )v0 ? 3 2 ev0 2 e v0 2 e v0

?

L L L L L L L ? ? 2 ? ? 3 ? ? 3 (1 ? e ? e2 ? e3 ) 2e 2 2e 2 2e 2 2e

L (1 ? e ? e 2 ? e 3 ) v s 2e 3 ? ? 0 所以平均速度为: v ? L t 2 (1 ? e ? e 2 ? e 3 ) 3 e v0
例 15 一容积为 1/4 升的抽气机,每分钟可完成 8 次抽气动作. 一容积为 1 升的容器与此抽气筒相连通. 求抽气机工作多长时间才能使 容器内的气体的压强由 76mmmHg 降为 1.9mmHg.(在抽气过程中容器内的温度保持不变) 解析 根据玻一马定律,找出每抽气一次压强与容器容积和抽气机容积及原压强的关系,然后归纳递推出抽 n 次的压强表达式.

设气体原压强为 p0,抽气机的容积为 V0,容器的容积为 V. 每抽一次压强分别为 p1、p2、?,则由玻一马定律得: 第一次抽气后:

p0V ? p1 (V ? V0 ) p1V ? p 2 (V ? V0 )



第二次抽气后:



依次递推有:

p 2V ? p3 (V ? V0 )
pn ?1V ? pn (V ? V0 ) ?



n ○

由以上○式得: n

pn ? (

V ) n p0 V ? V0

p0 pn 所以n ? V ? V0 lg( ) v lg

代入已知得: n

?

lg 400 ? 27 (次) lg 1.25

工作时间为: t 例 16

?

27 ? 3.38 分钟 8

使一原来不带电的导体小球与一带电量为 Q 的导体大球接触,分开之后,小球获得电量 q. 今让小球与大球反复接触,在每次分

开有后,都给大球补充电荷,使其带电量恢复到原来的值 Q. 求小球可能获得的最大电量. 解析 两个孤立导体相互接触,相当于两个对地电容并联,设两个导体球带电 Q1、Q2,由于两个导体球对地电压相等,

故有

Q1 Q2 Q C Q1 C1 ? , 即 1 ? 1 , 亦即 ? ?k, C1 C 2 Q2 C 2 Q1 ? Q2 C1 ? C 2

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之六递推法 Page10
所以 Q

? k (Q1 ? Q2 ), k 为常量,此式表明:带电(或不带电)的小球跟带电大球接触后,小球所获得的电量与总电量的比值不变,
? q . 根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量. Q
q3 ? k (Q ? q2 ) ? kQ ? kq2 ? q ? kq ? k 2q

比值 k 等于第一次带电量 q 与总电量 Q 的比值,即 k

设第 1、2、?、n 次接触后小球所带的电量分别为 q1、q2、?,有:

q1 ? kQ ? q ??
由于 k

q2 ? k (Q ? q1 ) ? q ? kq

qn ? k (Q ? qn ?1 ) ? q ? kq ? k 2 q ? ? ? k n ?1q

? 1,上式为无穷递减等比数列,根据求和公式得: q n ?

q ? 1? k

q 1? q Q

?

qQ Q?q

即小球与大球多次接触后,获得的最大电量为

qQ . Q?q

例 17 在如图 6—11 所示的电路中,S 是一单刀双掷开关,A1 和 A2 为两个平行板电容器,S 掷向 a 时,A1 获电荷电量为 Q,当 S 再掷 向 b 时,A2 获电荷电量为 q. 问经过很多次 S 掷向 a,再掷向 b 后,A2 将获得多少电量? 解析 S 掷向 a 时,电源给 A1 充电,S 再掷向 b,A1 给 A2 充电,在经过很多次重复的过程中,A2 的带电量越来越多,两板间电压越来

越大. 当 A2 的电压等于电源电压时,A2 的带电量将不再增加. 由此可知 A2 最终将获得电量 q2=C2E. 因为 Q

? C1 E

所以 C1

?

Q E
Q?q q ? C1 C2

当 S 由 a 第一次掷向 b 时,有:

所以 C 2

?

Qq (Q ? q) E q2 ? Qq Q?q

解得 A2 最终获得的电量

例 18 解析 所以有

电路如图 6—12 所示,求当 R ? 为何值时,RAB 的阻值与“网络”的“格”数无关?此时 RAB 的阻值等于什么? 要使 RAB 的阻值与“网络”的“格”数无关,则图中 CD 间的阻值必须等于 R ? 才行.

(2 R ? R?)2 R ? R? 2R ? R? ? 2R

解得 R ?

? ( 5 ? 1) R

此时 AB 间总电阻 R AB

? ( 5 ? 1) R

例 19 如图 6—13 所示,在 x 轴上方有垂直于 xy 平面向里的匀强磁场,磁感应强度为 B,在 x 轴下 方有沿 y 轴负方向的匀强电场,场强为 E. 一质量为 m,电量为-q 的粒子从坐标原点 O 沿着 y 轴方向射出. 射出之后,第三次到达 x 轴时, 它与 O 点的距离为 L. 求此粒子射出时的速度 v 和每次到达 x 轴时运动的总 路程 s.(重力不计) 解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动,经半周后通过 x 轴进入电场后做匀减速直线运动,速度减为零后,又反向匀加速通过 x 轴进入

磁场后又做匀速圆周运动,所以运动有周期性.它第 3 次到达 x 轴时距 O 点的距离 L 等于圆半径的 4 倍(如图 6—13 甲所示)

粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为

R?

mv L ? Bq 4

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之六递推法 Page11
所以粒子射出时的速度

v?

BqL 4m s1 ?

粒子做圆周运动的半周长为

?L
4

粒子以速度 v 进入电场后做匀减速直线运动,能深入的最大距离为 y, 因为 v
2

? 2ay ? 2

Eq y m
s2 ? 2 y ? B 2 qL2 16 mE

所以粒子在电场中进入一次通过的路程为

粒子第 1 次到达 x 轴时通过的路程为

s1 ? ? ? R ?

?L
4

粒子第 2 次到达 x 轴时,已通过的路程为

B 2 qL2 s 2 ? s1 ? s 2 ? ? 4 16 mE s3 ? s1 ? s 2 ? s1 ?

?L

粒子第 3 次到达 x 轴时,已通过的路程为

?L
2 ?

?

B 2 qL2 16 mE

粒子第 4 次到达 x 轴时,已通过的路程为

s 4 ? 2s1 ? 2s 2 ?

?L
2

B 2 qL2 8mE

粒子第 (2n ? 1) 次到达 x 轴时,已通过的路程为

s( 2 n ?1)

n?L B 2 qL2 ? ns1 ? (n ? 1) s 2 ? ? (n ? 1) 4 16 mE s 2 n ? n( s1 ? s 2 ) ? n(

粒子第 2n 次到达 x 轴时,已通过的路程为 上面 n 都取正整数.

?L
4

?

B 2 qL2 ) 16 mE

针对训练
1.一物体放在光滑水平面上,初速为零,先对物体施加一向东的恒力 F,历时 1 秒钟,随即把此力改为向西,大小不变,历时 1 秒钟,接着 又把此力改为向东,大小不变,历时 1 秒钟,如此反复,只改变力的方向,共历时 1 分钟. 在此 1 分钟内 A.物体时而向东运动,时而向西运动,在 1 分钟末静止于初始位置之东 B.物体时而向东运动,时而向西运动,在 1 分钟末静止于初始位置 C.物体时而向东运动,时而向西运动,在 1 分钟末继续向东运动 D.物体一直向东运动,从不向西运动,在 1 分钟末静止于初始位置之东 ( )

2.一小球从距地面为 H 的高度处由静止开始落下. 已知小球在空中运动时所受空气阻力为球所受重力的 k 倍 (k 后的速率相等,试求小球从开始运动到停止运动, (1)总共通过的路程; (2)所经历的时间.

? 1) ,球每次与地面相碰前

3.如图 6—14 所示,小球从长 L 的光滑斜面顶端自由下滑,滑到底

端时与挡板碰撞并反弹而回,若每次与挡板碰撞后的速度

大小为碰撞前的 4/5,求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端物体共通过的路程. 4.如图 6—15 所示,有一固定的斜面,倾角为 45°,斜面长为 2 米,在斜面下端有一与斜面垂直的挡板,一质量为 m 的质点,从斜面的最高 点沿斜面下滑, 初速度为 1 米/秒. 质点沿斜面下滑到斜面最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的滑动摩擦因数为 0.20. (1)试求此质点从开始运动到与挡板发生第 10 次碰撞的过程中通过的总路程;

高中奥林匹克物理竞赛解题方法之六递推法 Page12
(2)求此质点从开始运动到最后停下来的过程中通过的总路程. 5.有 5 个质量相同、其大小可不计的小木块 1、2、3、4、5 等距离地依次放在倾角 ? 上的部分是光滑的,以下部分是粗糙的,5 个木块 与斜面粗糙部分之间的静摩擦系数和滑动摩擦系数都是 ? ,开始时用手扶着木块 1,其余各木块都静止在斜面上. 现在 碰撞. 假设各木块间的碰撞都是完全非弹性的. 求 ? 取何值时木块 4 能被撞而木块 5 不能被撞. 6.在一光滑水平的长直轨道上,等距离地放着足够多的完全相同的质量为 m 的长方形木块,依次编号为木块 1,木块 2,?,如图 6—17 所 示.在木块 1 之前放一质量为 M=4m 的大木块,大木块与木块 1 之间的距离与相邻各木块间的距离相同,均为 L. 现在,在所有木块都静止 的情况下,以一沿轨道方向的恒力 F 一直作用在大木块上,使其先与木块 1 发生碰撞,设碰后与木块 1 结为一体再与木块 2 发生碰撞,碰 后又结为一体,再与木块 3 发生碰撞,碰后又结为一体,如此继续下去. 今问大木块(以及与之结为一体的各小木块)与第几个小木块碰 撞之前的一瞬间,会达到它在整个过程中的最大速度?此速度等于多少? 7.有电量为 Q1 的电荷均匀分布在一个半球面上,另有无数个电量均为 Q2 的点电荷位于通过球心的轴线上,且在半球面的下部. 第 k 个电荷 与球心的距离为 R ? 2
k ?1

? 30? 的斜面上(如图 6—16 所示).斜面在木块 2 以

放手,使木块 1 自然下滑,并与木块 2 发生碰撞,接着陆续发生其他

,且 k=1,2,3,4,?,设球心处的电势为零,周围空间均为自由空间. 若 Q1 已知,求 Q2.

8.一个半径为 1 米的金属球,充电后的电势为 U,把 10 个半径为 1/9 米的均不带电的小金属球顺次分别与这个大金属球相碰后拿走,然后把 这 10 个充了电了小金属球彼此分隔摆在半径为 10 米的圆周上,并拿走大金属球. 求圆心处的电势. (设整个过程中系统的总电量无泄漏) 9.真空中,有五个电量均为 q 的均匀带电薄球壳,它们的半径分别为 R,R/2,R/4,R/8,R/16,彼此内切于 P 点(如图 6—18).球心分别为 O1,O2,O3,O4,O5,求 O1 与 O5 间的电势差.

10.在图 6—19 所示的电路中,三个电容器 CⅠ、CⅡ、CⅢ的电容值均等于 C,电源的电动势为 ? ,RⅠ、RⅡ为电阻,S 为双掷开关. 开始时,三 个电容器都不带电.先接通 Oa,再接通 Ob,再接通 Oa,再接通 Ob??如此反复换向,设每次接通前都已达到静电平衡,试求: (1)当 S 第 n 次接通 Ob 并达到平衡后,每个电容器两端的电压各是多少? (2)当反复换向的次数无限增多时,在所有电阻上消耗的总电能是多少? 11.一系列相同的电阻 R,如图 6—20 所示连接,求 AB 间的等效电阻 RAB. 12.如图 6—21 所示,R1=R3=R5=?=R99=5Ω ,R2=R4=R6=?=R98=10Ω ,R100=5Ω , ? =10V 求: (1)RAB=? (2)电阻 R2 消耗的电功率应等于多少? (3) Ri (i

? 1,2,3,?,99) 消耗的电功率;

(4)电路上的总功率.

13.试求如图 6—22 所示,框架中 A、B 两点间的电阻 RAB,此框架是用同种细金属丝制作的,单位长的电阻为 r,一连串内接等边三角形的 数目可认为趋向无穷,取 AB 边长为 a,以下每个三角形的边长依次减少一半. 14.图 6—23 中,AOB 是一内表面光滑的楔形槽,固定在水平桌面(图中纸面)上,夹角 ? 将一质点在 BOA 面内从 C 处以速度 v ? 5m / s 射出,其方向与 AO 间的夹角 ? (1)经过几次碰撞质点又回到 C 处与 OA 相碰? (2)共用多少时间? 与 OB 面及 OA 面的碰撞都是弹性碰撞,且每次碰撞时间极短,可忽略不计,试求: (计算次数时包括在 C 处的碰撞)

? 1? (为了能看清楚,图中的是夸大了的).



? 60? ,OC=10m.

设质点与桌面间的摩擦可忽略不计,质点

(3)在这过程中,质点离 O 点的最短距离是多少?

六、递推法答案
1. 2. D

H 2H 1 ? k ? 1 ? k 2 2H 1 ? k ? 1 ? k 2 , ? k (1 ? k ) g 2k (1 ? k ) g 2k

3.

41 L 9

4. 9.79m 50m

5.0.597

? ? ? 0.622

6.21 块

FL 49 m 48

7. ?

Q1 2

8.0.065U 9.24.46K

q R

10. (1)I:

2 1 C? [1 ? ( ) n ], 3 4

Ⅱ Ⅲ:

1 1 C? [1 ? ( ) n ] 3 4

(3)

1 2 C? 3

11. R AB

? ( 3 ? 1) R

12. (1)10Ω

(2)2.5W (3)

20 10 (i ? 1,3,5,?,99) , i (i ? 2,4,?,98) i ?1 2 2
3m

(4)10W

13.40Ω 14. R AB

1 ? ( 7 ? 1)ra 3

15. (1)60 次 (2)2s (3) 5


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