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2013年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试数学(文科有答案)

2013 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷 数学(文科) (时间 120 分钟 满分 150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. tan( 150 ) 的值为 ? ?

开始 输入 a1 ? 1, n ? 2

n 是偶数?
C.



A.

3 3

B.

?

3 3

3

D.

? 3

n=n+1



an ? a n ? 1
2

2.已知 i 是虚数单位,则复数

1 ? 3i 1? i

an ?

1 an ? 1

的模为

A.1

B.2

C.

5

D.5



3.下列函数中,在定义域上既是减函数又是奇函数的是

n>7?


A.

y ? lg x

?1? B. y ? ? ? ? 2?

x

C.

y? x| x|

D.

y ? ? x3

T ? min{ 1 , a2 ,?, an } a
输出 T

4.已知一组具有线性相关关系的数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 )?, ( xn , yn ) , 其样本点的中心为 ( 2,3) , 若其回归直 线的斜率的估计值为 ? 1.2 ,则该回归直线的方程为 A.

y ? ?1.2 x ? 2
?0
B. ,函数

B.

y ? 1.2 x ? 3

C.

y ? ?1.2 x ? 5.4
2? 3

D.

y ? 1.2 x ? 0.6

结束

5.若 ?

y ? cos( ?x ?
D. 4

?
6

) 的图像向右平移

个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值为 8.如右下图,在 ? ABC 中, AN ?

4 A. 3

3 2

C. 3

1 NC 2

,P 是 BN 上的一点,若

AP ? m AB ?

2 AC ,则实数 m 的值为 9
A N P C

x2 y2 6.已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) a b

的右焦点为 F (c ,0) ,若 F 与椭圆上的点的最大距离、最小距离分别

A.3

B. 1

C.

1 3

D.

1 9

为 M、 m ,则该椭圆上到点 F 的距离为

M?m 的点的坐标是 2
D.不存在

A. ( c ,?

b ) a

2

B.

( ? c ,?

b ) a

2

C. (0,? b)

? x ? 0, y?1 ? 9.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x , 则 的取值 B x?2 ?4 x ? 3 y ? 14, ?
范围是

(第 8 题图)

7.定义 min( 1 , a2 ,?, an )是a1 , a2 ,?, an 中的最小值,执行程序框图(如右图) ,则输出的结果是 a A.

A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

2 3

1 17 [ , ] 2 6

B.

1 3 [ , ] 2 4

C.

3 17 [ , ] 4 6

D.

1 [ ,? ?) 2

10.已知正方形

AP1 P 2P3 的边长为 2,点 B、C 分别为边 P1 P2 , P2 P3 的中点,沿 AB、BC、CA 折叠成一个

(Ⅱ)令 bn

?

1 (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 2 (a n ?1) ? 1

三棱锥 P-ABC(使 P1 , P2 , P 3 重合于点 P) ,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为 A. 8

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 A-BCDE 中,底面 BCDE 为直角梯形,且 BE∥CD,CD⊥BC,侧面 ABC⊥底面 BCDE, A F 为 AC 的中点,BC=BE=4CD=2,AB=AC. (Ⅰ)求证:FD⊥CE; (Ⅱ)若规定正视方向与平面 ABC 垂直,且四棱锥 A-BCDE 的侧(左)视图的面积为 求点 B 到平面 ACE 的距离.

3?

B.36π

C.12π

D.6π

F B C D

11.在平面直角坐标系

xoy 中,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一

点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则实数 k 的最大值为

3 ,E

A. 0 B.

4 3

C.

3 2

D. 3

19. (本小题满分 12 分)
,对区间(0,1)上的任意

12. 已 知 函 数

f ( x ) ? ax ? x 3

x1 , x 2

,且

x1 ? x 2

,都有

某商店每天(开始营业时)以每件 15 元的价格购入 A 商品若干(A 商品在商店的保鲜时间为 8 小时,该商店 的营业时间也恰好为 8 小时) 并开始以每件 30 元的价格出售.若前 6 小时内所购进的 A 商品没有售完, , 则商店 对没有卖出的 A 商品将以每件 10 元的价格低价处理完毕(根据经验,2 小时内完全能够把 A 商品低价处理完 毕,且处理完毕后,当天不再购进 A 商品) ,该商店统计了 100 天 A 商品在每天的前 6 小时内的销售量.得到如 下销售量频数表: 前 6 小时内销售量 X(单位:件) 频数 3 30 4 40 5 30

f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? x1 成立,则实数 a 的取值范围为
A. (0,1) B. [4.+∞) C. (0,4] D.(1,4] 第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13.在 ? ABC 中,若 ?A ?

60?, ?B ? 45?, BC ? 3 2 ,则 AC 的长度为
4? 3
,则该圆锥的体积为

若在这 100 天中商店每天购进 A 商品 5 件,求在此期间商店销售 A 商品平均每天获取的利润.

20. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,已知点 F(0,1) ,直线 l : y ? ?1 ,P 为平面内动点,过点 P 作直线 l 的 垂线,垂足为 Q,且 QF ? (QP ? FP ) ? 0 .
的最小值

14.已知母线长为 1 的圆锥的侧面展开图的圆心角为

x2 y2 2? a2 ? e2 , 离心率为 e,则 15.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的倾斜角为 3 2b a b


(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)过点 M(0,m)(m>0)的直线 AB 与曲线 E 交于 A、B 两个不同点,设∠AFB=θ ,若对 于所有这样的直线 AB,都有 ? ? (

?
2

16.将函数

y ? ? x 2 ? x( x ? [0,1]) 的图像绕点 M(1,0)顺时针旋转 ?
的最大值为

角( 0

?? ?

?
2

, ? ) ,求 m 的取值范围.

)得到曲线 C,若曲线

21. (本小题满分 12 分)
已知函数

C 仍是一个函数的图像,则 ? 17.(本小题满分 12 分)

f ( x) ?

1 3 a 1 x ? ( ? ) x 2 ? ( 2a ? 2) x(a ? R) 有三个不同的零点. 3 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)设函数 有

f ( x ) 三个互不相同的零点为 0,? , ? (? ? ? ) ,是否存在实数 a ,对于任意的 x ? [? , ? ] 均

已知公差不为 0 的等差数列 {a n } .的首项为 2,且 a1 , a 2 , a 4 成等比数列.

f ( x ) ? f (1) 成立,若存在,求出 a 的取值集合,若不存在,请说明理由.

(Ⅰ) 求数列 {a n } 的通项公式;

请考生在 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

在 Rt?ABC 中, ?B

? 90?, AB ? 4, BC ? 3 ,以 AB 为直径做圆 O 交 AC 于点 D.
D C

2013 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 数学(文科答案)
一、选择题: 1-5ACDCC 6-10CCCAD 11-12BB 二、填空题: 13. 2 3 14.

(Ⅰ)求线段 CD 的长度; (Ⅱ)点 E 为线段 BC 上一点,当点 E 在什么位置时,直线 ED 与圆 O 相切,并说明理由. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已A 知圆 C 的极坐标方程为 ? (Ⅰ)当 a

? 2a cos( ? ?

?
4

O

B

)( a ? 0)

? 2 2 时,设 OA 为圆 C 的直径,求点 A 的直角坐标;

4 5? 81

(Ⅱ)直线 l 的参数方程是 ? 值范围.

? x ? 2t ,直线 l 被圆 (t为参数) ? y ? 4t

C 截得的弦长为 d ,若 d

? 2 ,求 a 的取

15.

16.

?
4

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 :不等式选讲 函数

三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,由 (a2 )2 ? a1 ? a4 ,…………2 分 又首项为 2 ,得

f ( x ) ? lg(| x ? 1 | ? | x ? a | ?2),a ? R .
? ?2 时,求函数 f ( x ) 的定义域;?

(Ⅰ)当 a

(a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ,

(Ⅱ)若函数 ? ?

f ( x ) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 ,……………4 分 所以 an ? 2n .………………6 分 (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 由(Ⅰ)知 an ? 2n , , 所以 bn ?

1 1 = bn ? 2 (2n ? 1)2 ? 1 ……………8 分 (a n ? 1) ? 1

=

1 1 1 1 1 ) ,…………10 分 ? = ?( 4 n(n+1) 4 n n+1

所以 Tn =

n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1) n .………………12 分 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn = 18. (本小题满分 12 分)

( Ⅰ ) 证 明 : 过 F 作 FH ? BC 于 H , 连 接 DH , 将 直 角 梯 形 BCDE 补 成 正 方 形 BCGE ,……………2 分 连接 BG ? 侧面 ABC ? 底面 BCDE 又? 平面 ABC ? 平面BCDE ? BC

在此期间商店销售 A 商品平均每天获取的利润为 55 元. ………………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 P?x, y ?,则 Q?x,?1? ,又 F ?0,1? .则 QF ? ?? x,2?, QP ? ?0, y ? 1?.FP ? ?x, y ? 1? ……………2 分

? FH ? 平面BCDE,? FH ? EC
? F为AC的中点, H为BC的四等分点, ?
1 CD ? CG ? DH // BG ? DH ? EC ……………4 4
分 又? FH ? DH ? H ,? EC ? 平面FHD

由 QF QP ? FP ? 0 , 得 x2 ? 4y .? 动点 P 的轨迹 曲线 E 的方程为 x 2 ? 4 y ………………4 分 (Ⅱ)由题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m , A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? . 由题意 cos? ?

?

?

FA ? FB FA ? FB

? 0 ,………………6 分

? FD ? CE ………………6 分
(Ⅱ)由题意可知 ?ABC的高 为 h ?

3

即 FA ? FB ? 0 .又 FA ? ?x1 , y1 ? 1? , FB ? ?x2 , y2 ? 1?

? AB ? AC ? 2

? FA? FB ? x1 x2 ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? x1 x 2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 0 ……………8 分
由?

1 1 1 2 3 ……………8 分 VA? BCE ? S?BCE ? h ? ? BE ? BC ? h ? 3 3 2 3
在 ?AEC 中, AE =EC ? 2 2 , AC ? 2

? y ? kx ? m ?x ? 4 y
2

消去 y 得 x 的方程 x ? 4kx ? 4m ? 0 。
2



S?AEC ? 7 …………………10 分
1 2 3 2 21 2 21 ………12 分 VB ? AEC ? S ?AEC h ? ?h ? ? 点 B 到平面 ACE 的距离为 3 3 7 7
19. (本小题满分 12 分) 解:设销售 A 商品获得的利润为 Y (单位:元) 当需求量为 3 时, Y ? (30 ?15) ? 3 ? (15 ?10) ?(5 ? 3) ? 35; ,…………3 分

x1 ? x2 ? 4k



x1 x2 ? ?4m



y1 ? y2 ? k ?x1 ? x2 ? ? 2m ? 4k 2 ? 2m



y1 y 2 ?

1 ?x1 x2 ?2 ? m 2 , 16

…………………10 分

? FA? FB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? ?4m ? m2 ? 4k 2 ? 2m ? 1 ? 0
即 m ? 6m ? 1 ? 4k 即 k ? R 恒成立。? m ? 6m ? 1 ? 0 。即 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2
2 2 2

当需求量为 4 时, Y ? (30 ? 15) ? 4 ? (15 ? 10) ?1 ? 55; ……………6 分 当需求量为 5 时, Y ? (30 ?15) ? 5 ? 75; ,…………………9 分 则Y ?

……………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ? x ? ?

1 3 ?a 1? 2 1 ?a 1? x ? ? ? ? x ? ? 2a ? 2 ? x=x[ x 2 ? ? ? ? x ? ? 2a ? 2 ?] , 3 3 ? 2 2? ?2 2?

35 ? 30 ? 55 ? 40 ? 75 ? 30 ? 55 , 100

1 ?a 1? 令g ( x) ? x 2 ? ? ? ? x ? ? 2a ? 2 ? , 3 ? 2 2?

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)法一: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ,……………2 分 ∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) ,且点A与点 O 关于点 C 对称, 所以点 A 的直角坐标为(4,-4)……………5 分 法二: a ? 2 2 时,圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ∴圆心 C(2,-2) 又点 O 的直角坐标为(0,0) , 所以直线 OA 的直线方程为 y ? ? x 联立①②解得 ? ①…………2 分

? a ? 7 ??3a ? 5? ? 0, …………………3 分 ?a 1? 4 ? ? ? ? ? ? ? 2a ? 2? ? 12 ? 2 2? 3
2

5 ? a ? 7或a ? , 又g (0) ? 2a ? 2 ? 0, a ? 1 ? 3 5 所以 a 的取值范围为 ? ??,1? ? (1, ) ? (7, ??) …………5 分 3
' 2 (Ⅱ) f ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? 2 ? a ? 1? ? ? x ? 2 ? ? x ? ? a ? 1? ? ? ?



令f ' ? x ? ? 0,x= ? 2, 或x ? ? ? a ?1? ………………7 分
当 a ? 7 时, 1 ? a ? ?6, f ( x) 在 (?2, ??) 上为单增函数,舍去 当1 ? a ?

?x ? 0 ?x ? 4 (舍)或 ? ?y ? 0 ? y ? ?4

所以点 A 的直角坐标为(4,-4)…………5 分 法三:由 ? ? 4 2 cos(? ?

5 2 时, ? ? 1 ? a ? 0 , f ( x ) 在 (1 ? a, ??) 上为单增函数,舍去……………9 分 3 3

?

) 得圆心 C 极坐标 ( 2 2 ,? ) , 4 4

?

当 a ? 1 时, 1 ? a ? 0 , f ? x ? 在? -2,1 ? a ? 上单调递减, f ? x ? 在?1 ? a, ??? 上单调递增

所以射线 OC 的方程为 ? ? ? 代入 ? ? 4 2 cos(? ?

?

? f ?1 ? a ? ? f ?1? ,即 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 ,故 a 的取值集合为 {0} .…………12 分
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 解: (Ⅰ)连结 BD ,在直角三角形 ABC 中,易知 AC ? 5 , ?BDC ? ?ADB ? 90 ,…………
0

?
4

4

,……………2 分

)得? ? 4 2

所以点 A 的极坐标为 ( 4 2 ,?

?
4

)

化为直角坐标得 A(4,-4).…………………5 分 (Ⅱ)法一:圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 直线 l 的方程为 y=2x.

2分 所以 ?BDC ? ?ABC ,又因为 ?C ? ?C ,所以 ?ABC 与 ?BDC 相似, 所以

2 2 2 2 a) ? ( y ? a) ? a 2 , 2 2

BC 2 9 CD BC ? ? .…………5 分 ,所以 CD ? BC AC AC 5

(Ⅱ)当点 E 是 BC 的中点时, 直线 ED 与圆 O 相切.……………6 分 连接 OD ,因为 ED 是直角三角形 ?BDC 斜边的中线,所以 ED ? EB ,所以 ?EBD ? ?EDB ,因为 OD ? OB ,所以 ?OBD ? ?ODB ,………………8 分 所以

?
所以圆心 C( 分 ∴d=2 a ?
2

2 2 a ,? a )到直线 l 的距离为 2 2

2 a ? 2a 2 5

,……………8

?ODE ? ?ODB ? ?BDE ? ?OBD ? ?EBD ? ?ABC ? 900
,所以直线 ED 与圆 O 相切.……………10 分

10 9a 2 = a. 5 10

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5
2 2

| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2 >0,
令 g ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2

法二:圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2ax ? 2ay ? 0 , 将?

? x ? 2t 化为标准参数方程 ? y ? 4t

? ?2 x ? 3 ? 则 g ( x ) ? ?1 ?2 x ? 3 ?
若 g ( x) ? 0, 则 x ? ?

x ? ?2; ? 2 ? x ? ?1; …………………3 分 x ? ?1.
1 5 , x?? . 2 2 或
5 2 1 2

2 ? ? x ? 20 m 10 10 ? 2 代入得 m ? am ? 0 ,解得 m1 ? 0, m2 ? ? a, ? 5 5 4 ?y ? m ? 20 ?
∴d= | m1 ? m2 | =

? ? 所以 f ( x ) 定义域为 ( ?? , ) ? ( ? , ?) .…………………5 分
(Ⅱ)由题意,| x ? 1 | ? | x ? a |? 2 在 R 上恒成立,因为 | x ? 1| ? | x ? a |?|1 ? a | ,…………… 8分 所以 | 1 ? a |? 2 ,得 a ? ?3或a ? 1 .………………10 分

10 a ,…………………8 分 5

,所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .…………………10 分 5

法三:圆 C 的直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 , 直线 l 的方程为 y=2x. 联立 ?

? x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2ay ? 0 ? y ? 2x
2

得 5x ? 2ax ? 0 解得 x1 ? 0, x 2 ? ?

2 a 5 10 a ,…………………8 分 5

∴d= 2 2 ? 1 | x1 ? x2 | =

所以

10 a ≥ 2 ,解得 a ? 5 .………………10 分 5

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)当 a ? ?2 时,设函数 f ( x) ? lg(| x ? 1| ? | x ? 2 | ?2)


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