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2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 5.1 数列的概念及其函数特征课件 理

第五章 数 列

第一节

数列的概念及其函数特征

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、图像、通

项公式);2.了解数列是自变量为正整数的一类函数。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.数列的概念 按_____________ 排列的一列数叫作数列,数列中的每一个数叫作这 一定次序 个数列的______ 项 。数列一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,…,简记

{an} ,其中数列的第 1 项 a1 也称__________ 首项 ; an 是数列的第 n 项,也 为 _______ 通项 。 叫数列的_________

2.数列的分类
分类原则 类型 满足条件 项数_____ 有限

按项数
递增数列 按项与项 间的大小 递减数列 常数列 摆动数列

有穷数列
无穷数列

项数_____ 无限
其中n∈N+

an+1___an > an+1___an < an+1=an

关系

从第2项起有些项大于它的前一
项,有些项小于它的前一项

3.数列与函数的关系 从 函 数 观 点 看 , 数 列 可 以 看 作 定 义 域 为 正 整 数 集

____________________ N+(或它的有限子集) 的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对
应的一列_____________ 就是这个数列。 函数值 4.数列的递推公式 任一项an 与 它 的 如 果 已 知 函 数 {an} 的 首 项 ( 或 前 几 项 ) , 且 ______________ 前一项an-1 n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个 ______________( 公式叫数列的递推公式。

基 础 自 测
[判一判]
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列。( 解析 错误。如1,2,3;3,2,1是两个不同的数列。

×

)

(2)一个数列中的数是不可以重复的。(

) × 解析 错误。常数列中的每一个数都相等。
(3)所有数列的第n项都能使用公式表达。( × ) 解析 错误`。有些数列没有通项公式。 (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个。( ) √ 解析 正确。如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以为 an=(-1)n 或

?-1,n为奇数, an=? ?1,n为偶数。

(5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn。 ( √ ) 解析 正确。∵Sn+1=Sn+an+1,∴Sn+1-Sn=(Sn+an+1)-Sn=an+1。 (6)在数列{an}中,对于任意正整数m,n,am+n=anm+1,若a1=1,则 a 2 =2 。 ( √ ) 解析 正确。令m=n=1,则a2=a1+1=2。
1 (7)若已知数列{an}的递推公式为 an+1= ,且 a2=1,则可以写出 2an-1 数列{an}的任何一项。( √ )

解析 正确。

[练一练] 2 3 4 5 1.数列 1, , , , ,…的一个通项公式 an 是( 3 5 7 9 n n A. B. 2n+1 2n-1 C. n 2n-3
解析 答案

)

D.

n 2n+3

1 2 3 n 由已知得,数列可写成 , , ,…,故通项为 an= 。 1 3 5 2n-1 B

2.已知 an=

n-1 ,那么数列{an}是( n+1 B.递增数列 D.摆动数列

)

A.递减数列 C.常数列
解析

n-1 ?n+1?-2 2 a n= = = 1- , n+ 1 n+ 1 n+ 1

∴{an}为递增数列。 答案 B

- ?2· 3n 1?n为偶数?, 3 .已知数列 {an} 的通项公式是 an = ? 则 a4· a3 = ?2n-5?n为奇数?,

54 ________ 。 解析 a4·a3=2×33·(2×3-5)=54。

4 . 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项和 Sn = 2n - 3 , 则 数 列 {an} 的 通 项 公 式是 ?-1,n=1, an=? n-1 _________________ ?2 ,n≥2。 。
解析 当 n=1 时,a1=S1=2-3=-1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=(2n-3)-(2n 1-3)=2n-2n 1=2n 1。
- - -

?-1,n=1, 故 an=? n-1 ?2 ,n≥2。

? 1 ? 5.(2016· 甘肃省张掖市高三第一次诊断考试)把数列?2n-1?的所有数按 ? ?

照从大到小的原则写成如下数表: 1 1 1 3 5 1 1 1 1 7 9 11 13 1 1 1 1 … 15 17 19 29 …

1 81 =________ 。

第 k 行有 2k

-1

个数, 第 t 行的第 s 个数(从左数起)记为 A(t, s), 则 A(6,10)

解析 前 5 行共有 20+21+22+23+24=31 个数,A(6,10)为数列的第 1 1 41 项,令 an= ,则 a41= 。 81 2n-1

R

热点命题

深度剖析

考点一

由数列的前几项归纳数列的通项公式

【例1】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式。 (1)-1,7,-13,19,…; 【解】
+ )。

数列中各项的符号可通过(-1)n表示,从第2项起,每一项的

绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5)(n∈N (2)0.8,0.88,0.888,…;
1 ? 8? 1 ? 8? 1 ? 8? 【解】 数列变为 ?1-10?, ?1-102?, ?1-103?,…, 9? ? 9? ? 9? ? 1 ? 8? ? ? 1 - 故 an= 10n?。 9?

1 1 5 13 29 61 (3)- , ,- , ,- , ,…。 2 4 8 16 32 64
【解】 各项的分母分别为 21,22,23,24,…,易看出第 2,3,4 项的分子分 别比分母小 3。 2- 3 因此把第 1 项变为- , 2 21-3 22-3 2 3- 3 2 4 - 3 原数列化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,…, 2 2 2 2 故 an=(-1)
n2 n

-3 。 2n

【规律方法】 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转
化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法。 (2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③

拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同。对于分式
还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对 于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理。

变式训练1 根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; 解 各数都是偶数,且最小为4,所以通项公式an=2(n+1)(n∈N+)。
1 1 1 1 (2)- , ,- , ,…; 1×2 2×3 3×4 4×5
解 这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数, 1 且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式 an=(-1)n× 。 n?n+1?

(3)a,b,a,b,a,b,…(其中a,b为实数);
解 这是一个摆动数列,奇数项是 a,偶数项是 b,所以此数列的一个

?a,n为奇数, 通项公式 an=? ?b,n为偶数。

(4)9,99,999,9 999,…。 解 这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 000-1,10 000-1,

所以它的一个通项公式an=10n-1。

考点二

an与Sn关系的应用

an 与 Sn 关系的应用是高考的常考内容,且多出现在选择题或填空题 中,有时也出现在解答题的已知条件中,难度较小,属容易题。 角度一:利用an与Sn的关系求an 1 . 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn = 3n2 - 2n + 1 , 则 其 通 项 公 式 为 ?2,n=1, an=? ___________________ ?6n-5,n≥2 。 解析 当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n- 1)+1]=6n-

5,显然当n=1时,不满足上式。 ?2,n=1, 故数列的通项公式为 an=? (n∈N*) ?6n-5,n≥2。

2 1 2 .若数列 {an} 的前 n 项和 Sn = an + ,则 {an} 的通项公式是 an = 3 3

(-2) ______________ 。
2 1 解析 ∵Sn= an+ , 3 3 ① ②

n-1

2 1 ∴当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ 。 3 3

2 2 an ①-②,得 an= an- an-1,即 =-2。 3 3 an-1 2 1 ∵a1=S1= a1+ , 3 3 ∴a1=1。 ∴{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列, an=(-2)n 1。


1 1 1 3.(2015· 湖北黄冈月考)数列{an}满足3a1+32a2+…+3nan=3n+1,n ∈N+,则 an=____________________。
解析 当 n=1 时,a1=12。 1 1 1 因为 a1+ 2a2+…+ nan=3n+1,n∈N+, 3 3 3 1 1 1 所以当 n≥2 时, a1+ 2a2+…+ n-1an-1 3 3 3 =3n-2。 ②
n+1

?12,n=1, ? n+1 ?3 ,n≥2



所以①-②,得 an=3

?12,n=1, 。所以 an=? n+1 ?3 ,n≥2。

4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A.2
? ? ? ?

)

n-1

3? n-1 B. 2? ? ? 1 D. n-1 2
由已知 Sn=2an+1 得

? ? ? ?

2? n-1 C. 3? ? ?
解析

Sn=2(Sn+1-Sn), S n +1 3 即 2Sn+1=3Sn, = ,而 S1=a1=1, Sn 2
?3 ? - 所以 Sn=?2?n 1。 ? ?

答案

B

【规律方法】 an 与 Sn 关系的应用问题的常见类型及解题策略 (1)由 an 与 Sn 的关系求 an。数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=
?S1,n=1, ? 当 n=1 时,若 a1 适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 ?Sn-Sn-1,n≥2。

n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,若 a1 不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式 表示。
(2)由 an 与 Sn 的关系求 Sn。 通常利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)将已知关系式转 化为 Sn 与 Sn-1 的关系式,然后求解。

考点三 数列的函数特征
【例 2】
【解析】

(1)已知 {an} 是递增数列,且对于任意的 n∈N* , an = n2 + λn
解法一:(定义法)

(-3,+∞) 。 恒成立,则实数λ的取值范围是_____________
因为{an}是递增数列, 所以对任意的 n∈N*,都有 an+1>an, 即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn, 整理,得 2n+1+λ>0, 即 λ>-(2n+1)。(*) 因为 n≥1, 所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立, 只需 λ>-3。

λ 解法二:(函数法)设 f(n)=an=n2+λn,其图像的对称轴为直线 n=- , 2 要使数列{an}为递增数列, 只需使定义在正整数上的函数 f(n)为增函数, λ 故只需满足- <1.5,即 λ>-3。 2

9n?n+1? (2)已知数列{an}的通项公式为 an= , 则此数列的最大项的值为 n 10 99 __________ 。 108 + 9n 1?n+2? 9n?n+1? 9n 8-n 【解析】 解法一:an+1-an= - = n· , + 10n 10 10 10n 1

当 n<8 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=8 时,an+1-an=0 时,即 an+1=an; 当 n>8 时,an+1-an<0,即 an+1<an。 99 所以数列的第 8 项和第 9 项的值最大,a8=a9= 8。 10

解法二:设数列{an}的第 n 项最大,
?an≥an-1, 则? 即? n 9 ?n+1? ?an≥an+1,
n n 1 9 ? n + 1 ? 9 n ? ? 10n ≥10n-1,


? ? 10n

9n 1?n+2? ≥ , + 10n 1


解得 8≤n≤9, 又 n∈N*, 则 n=8 或 n=9。 99 所以数列的第 8 项和第 9 项的值最大,a8=a9= 8。 10

【规律方法】

(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法

①用作差比较法,根据 an+1-an 的符号判断数列{an}是递增数列、递减 数列或是常数列。 an+1 ②用作商比较法,根据 (a >0 或 an<0)与 1 的大小关系进行判断。 an n ③结合相应函数的图像直观判断,注意自变量取值为正整数这一特殊 条件。

(2)求解数列中的最大项或最小项的一般方法
?an≥an+1, ?an≤an+1, 先研究数列的单调性,可以用? 或? 也可以转化 a ≥ a a ≤ a , - - ? n ? n n 1 n 1

为函数最值问题或利用数形结合求解。

变式训练2 已知数列{an}。
(1)若an=n2-5n+4, ①数列中有多少项是负数?

②n为何值时,an有最小值?并求出最小值。
解 ①由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4。 ∵n∈N+,∴n=2,3。 ∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3。
? 5? 9 5 ②∵an=n2-5n+4=?n-2?2- 的对称轴方程为 n= 。又 n∈N+,∴ 2 ? ? 4

当 n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其最小值为 a2=a3=-2。

(2) 若 an = n2 + kn + 4 且对于 n∈N + ,都有 an + 1>an 。求实数 k 的取值范 围。
解 由 an+1>an 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式 an=n2+kn k 3 +4,可以看作是关于 n 的二次函数,考虑到 n∈N+,所以- < ,即得(- 2 2 3,+∞)。

S

思想方法

感悟提升

⊙1种思想——函数思想 数列是一种特殊的函数,因此,在研究数列问题时,既要注意函数方 法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性。如:数列an=f(n)和函数y=f(x) 的单调性是不同的。
⊙1 个关系——an 与 Sn 的关系
?S1 ?n=1?, an=? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?。


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