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【随堂优化训练】修5课后作业:第2章 数列


第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 数列的概念及表示方法

1.下列说法不正确的是( ) A.数列可以用图象来表示 B.数列的通项公式不唯一 C.数列的项不能相等 D.数列可以用一群孤立的点表示 2.关于以下 4 个数列: (1)-1,1,-1,1,…; (2)1,3,5,7,…; 1 1 1 1 (3) , , , ,…; 2 3 4 5 (4)-27,9,-3,1. 正确的叙述是( ) A.(1)(2)是无穷数列,(3)(4)是有穷数列 B.(2)(3)是无穷数列,(1)(4)是有穷数列 C.(1)(2)(3)是无穷数列,(4)是有穷数列 D.(2)是无穷数列,(1)(3)(4)是有穷数列 3.已知数列{n2+n},那么( ) A.0 是数列中的一项 B.21 是数列中的一项 C.702 是数列中的一项 D.以上答案都不对 4.已知数列{an}的前 4 项为 1, 3, 5, 7,则数列{an}的通项公式可能为( ) A.an= 2n-1 B.an=2n-1 C.an= 2n+1 D.an=2n+1 5.已知数列 1, 3, 7, 15,…, 2n-1,…,那么 63是该数列的第几项( ) A.4 B.5 C.6 D.7 6.在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,…中,x 的值是( ) A.19 B.20 C.21 D.22 7.图 K211 是关于星星的图案构成的一个数列,请写出这个数列的一个通项公式.

图 K211

an+1 8.已知数列{an}的通项公式为 an=n(n+1),另一个数列{bn}可用 bn= 表示,则{bn} an 的通项公式为__________. 9.已知数列{an}的前 4 项分别为 1,0,1,0,则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个 数有( )

1 + ①an= [1+(-1)n 1]; 2 nπ ②an=sin2 ; 2 1 + ③an= [1+(-1)n 1]+(n-1)(n-2); 2 1-cosnπ ④an= ,(n∈N*); 2 ?1 ?n为正偶数?, ? ⑤an=? ? ?0 ?n为正奇数?; + 1-?-1?n 1 ⑥an= . 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4 1 16 10.已知数列的通项公式为 an= 2 ,试问: 和 是不是它的项?如果是,是第几 10 27 n + 3n 项?

2.1.2 数列的递推公式

1.在数列{an}中,an+1=an+2,且 a1=1,则 a4=( A.8 B.6 C.9 D.7 2.数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是( ) ?a1=1, ? A.? * ?an+1=an+n ?n∈N ? ?
? ?a1=1, B.? * ?an=an-1+n ?n∈N ,n≥2? ? ?a1=1, ? C.? * ?an+1=an+?n+1? ?n∈N ,n≥2? ? ? ?a1=1, D.? * ?an=an-1+?n-1? ?n∈N ? ?

)

1 3.已知数列{an}满足 a1>0,且 an+1= an,则数列{an}是( ) 2 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 4.已知数列{an}对任意的 p,q∈N*满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10=( ) A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 nπ 5.数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=tan ,则 a2=( ) 3 2 3 2 3 A. B.- 3 3 C.2 3 D.-2 3 6.(2014 年浙江宁波模拟)设 a∈R,数列{(n-a)2}(n∈N*)是递增数列,则 a 的取值范

围是( ) A.a≤0 B.a<1 3 C.a≤1 D.a< 2 1 1 7.已知数列{an},an= (n∈N*),求 是这个数列的第几项. 120 n?n+2?

1? 8.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln? ?1+n?,则 an=( A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn 9.在图 K212 中,(1)(2)(3),…是由花盆摆成的图案.

)

图 K212 根据图中花盆摆放的规律, 猜想第 4 个图形中花盆数为__________, 记第 n 个图形中的 花盆数为 an,当 n>1 时,an 与 an-1 的递推关系为__________. 10.已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和,a1=1,Sn=n2· an,求数列{an}的通项公式.

2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的定义及通项公式

1.设数列{an}的通项公式 an=f(n)是一个函数,则它的定义域是( ) A.非负整数 B.N*的子集 C.N* D.N*或{1,2,3,…,n} 2.在等差数列{an}中,a1=21,a7=18,则公差 d=( ) 1 1 A. B. 2 3 1 1 C.- D.- 2 3 3.已知数列{an},对任意的 n∈N*,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上,则{an}为( ) A.公差为 2 的等差数列 B.公差为 1 的等差数列 C.公差为-2 的等差数列 D.非等差数列 4.在等差数列{an}中,a1=1,公差 d=3,若 an=2014,则 n=( ) A.669 B.665 C.671 D.672 5.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前 6 项均为正数,第 7 项起为负数, 则它的公差是( ) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 6.在等差数列{an}中,已知 a1=3,an=21,d=2,则 n=________. 7.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,求 a6.

8.一个三角形的三个内角 A,B,C 成等差数列,则 sin(A+C)=( ) 1 1 A.- B. 2 2 3 3 C.- D. 2 2 9.在 1 和 2 之间插入 2 个数,使它们与 1,2 组成等差数列,则该数列的公差为______. 10.在公差不为零的等差数列{an}中,a1,a2 为方程 x2-a3x+a4=0 的根,求数列{an} 的通项公式.

2.2.2 等差数列的性质

1.(2013 年上海)在等差数列{an}中,若 a1+a2+a3+a4=30,则 a2+a3=________. 2.已知{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d=( ) 1 A.-2 B.- 2 1 C. D.2 2 3.若{an}是等差数列,a3,a10 是方程 x2-3x-5=0 的两根,则 a5+a8=( ) A.3 B.-5 C.-2 D.-3 4.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13 =( ) A.120 B.105 C.90 D.75 5.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20=( ) A.-1 B.1 C.3 D.7 6.在等差数列{an}中,若 a7=m, a14=n,则 a21=________. a 7.四个数 a,x,b,2x 成等差数列,求 的值. b

8 .等差数列 {an} 的各项均为正数,若 a3a5 + a3a8 + a5a10 + a8a10 = 64 ,则 a1 + a12 = ________. π? 9.(2014 年上海模拟)函数 f(x)=Asin? ?ωx+6?(ω>0)的图象与 x 轴的交点的横坐标构成一 π 个公差为 的等差数列,要得到函数 g(x) = Asinωx 的图象,只要将 f(x) 的图象向右平移 2 ________个单位. 10.第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行,此后每 4 年举行一次.奥运会如因 故不能举行,届数照算. (1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式; (2)如图 K221,2008 年北京奥运会是第几届?2050 年举行奥运会吗?

图 K221

2.3 等差数列的前 n 项和 2.3.1 等差数列的前 n 项和

1.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d=( ) A.2 B.3 C.6 D.7 2.(2013 年安徽)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 3.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a2=3,a6=11,则 S7=( ) A.13 B.35 C.49 D.63 2 4.等差数列{an}各项都是负数,且 a2 ) 3+a8+2a3a8=9,则它的前 10 项和 S10=( A.-15 B.-13 C.-11 D.-9 5.设数列{an}是公差为 d 的等差数列,前 n 项和为 Sn.当首项 a1 与公差 d 变化时,若 a4+a8+a9 是一个定值,则下列各数中也是定值的是( ) A.S9 B.S11 C.S13 D.S15 6.在等差数列{an}中,公差 d=2, S20=60,则 S21=( ) A.100 B.84 C.66 D.62 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S9=72,求 a2+a4+a9 的值.

8.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-a2 ) m=0,S2m-1=38,则 m=( A.38 B.20 C.10 D.9 9.在等差数列{an},{bn}中,若 a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列{an+bn}的 前 100 项之和为____________. 10.已知一个等差数列的前 4 项之和为 21,末 4 项之和为 67,前 n 项和为 286,求该 数列的项数 n.

2.3.2 等差数列前 n 项和的性质

1.在等差数列{an}中,S10=120,那么 a1+a10=( ) A.12 B.24 C.36 D.48 2.已知等差数列{an},an=2n-19,那么这个数列的前 n 项和 Sn( ) A.有最小值且是整数 B.有最小值且是分数 C.有最大值且是整数 D.有最大值且是分数 3.在等差数列{an}中,a1+a7=42,a10-a3=21,则前 10 项的和 S10=( ) A.720 B.257 C.255 D.不确定 4.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a7+a13 是一确定的常数,下列各式: ①a21;②a7;③S13;④S14;⑤S8-S5,其中结果为确定常数的是( ) A.②③⑤ B.①②⑤ C.②③④ D.③④⑤ 5.等差数列{an}前 n 项和为 Sn,满足 S20=S40,则下列结论中正确的是( ) A.S30 是 Sn 中的最大值 B.S30 是 Sn 中的最小值 C.S30=0 D.S60=0 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S12>0,S13<0,则 S1,S2,S3,…,S12 中值 最大的是( ) A.S5 B.S6 C.S7 D.S8 7.若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=-13,a2=3,求 Sn 的最大值.

8.等差数列{an}的首项 a1=-5,它的前 11 项的平均值为 5,若从中抽去一项,余下 的 10 项的平均值为 4.6,则抽去的是( ) A.a6 B.a8 C.a10 D.a11 9.若在等差数列{an}中,S10=100,S20=110,则 S40=( ) A.130 B.30 C.-140 D.-170 10.已知数列{an}的前 n 项和是 Sn=32n-n2,求数列{|an|}的前 n 项和 Sn′.

2.4 等比数列 2.4.1 等比数列的定义及通项公式

1.已知等比数列的通项公式为 an=2n,则 a1,q 分别为( ) A.2,2 B.2,1 C.1,2 D.1,1 2.在等比数列{an}中,若 a2=3,a5=24,则数列{an}的通项公式为( ) 3 3 n-2 n A. ·2 B. ·2 2 2 - - C.3·2n 2 D.3·2n 1 3.2 与 4 的等比中项是( ) A.2 2 B.-2 2 C.± 2 2 D.不存在 2 4.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3·a9=2a5 ,a2=1,则 a1=( ) 1 2 A. B. 2 2 C. 2 D.2 5.(2013 年江西)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第 4 项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 6.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 7.有四个数,前三个数成等比数列,其和为 19,后三个数成等差数列,其和为 12,求 这四个数.

8.在等比数列{an}中,a1=1,a5=16,则 a3=( ) A.± 4 B .4 C.-4 D.8 9. (2014 年广东肇庆一模)已知等比数列{an}满足 a1+a2=3, a2+a3=6, 则 a5=________. 1?2 ?an? 10.在数列{an}中,a1=1,2an+1=? an(n∈N*).证明:数列?n2?是等比数列,并求 ?1+n? ·
? ?

数列{an}的通项公式.

2.4.2 等比数列的性质

1.在等比数列{an}中,已知 a1=1, a4=8,则 a5=( ) A.16 B.16 或-16 C.32 D.32 或-32 2.已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=( ) A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 3.若两数的等差中项为 6,等比中项为 5,则以这两数为两根的一元二次方程为( ) 2 A.x -6x+25=0 B.x2+12x+25=0 C.x2+6x-25=0 D.x2-12x+25=0 4.(2012 年广东茂名一模)在等比数列{an}中,若 a3,a9 是方程 3x2-11x+9=0 的两根, 则 a6 的值是( ) A.3 B.± 3 C.± 3 D.以上答案都不对 5.已知{an}是等比数列,且 a1a9=64,a3+a7=20,则 a11=( ) A.1 B.64 C.64 或 1 D.± 1 1 6.等比数列{an}满足 a1a5= ,则 a2a2 3a4=________. 2 a20 7.在等比数列{an}中,a7a11=6,a4+a14=5,求 的值. a10

8.设数列{an}是等比数列,且 a5a6=81,则 log3a1+log3a2+…+log3a10=__________. 9.2,x,y,z,162 是成等比数列的 5 个正整数,则 y=( ) A.54 B.27 C.18 D.± 18 10.已知数列{an}与等比数列{bn}满足 bn=2an,n∈N*. (1)判断{an}是什么数列,并证明; 1 (2)若 a8+a13= ,求 b1·b2·…·b20 的值. 2

2.5 等比数列的前 n 项和 2.5.1 等比数列的前 n 项和

1 1.(2014 年广东清远一模)在等比数列{an}(n∈N*)中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 8 5 项和为( ) 1 1?4 ?3 A.2-? B.2-? ?2? ?2? 1?5 1?6 C.2-? D.2-? ?2? ?2? 2.在等比数列{an}中,a1=1, 前 3 项和 S3=3,则公比 q=( ) A.1 B.-2 C.1 或-2 D.-1 或 2 3.在 1 和 16 之间插入 3 个正数 a,b,c,使 1,a,b,c,16 成等比数列,则这个等比 数列所有项的和为( ) A.28 B.29 C.30 D.31 4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 - 5.已知数列{an}的通项公式为 an=22n 1,则数列{an}的前 5 项和 S5=( ) 31 A. B.62 2 341 C. D.682 2 6.(2013 年北京)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________; 前 n 项和 Sn=__________. 7.在等比数列中{an}中,已知 a1=1,a4=8,求: (1)数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前 n 项和 Sn.

8.等比数列{an}的公比 q>0, 已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4= ______. 9.已知 a≠0,则 S=1+a+a2+a3+…+a10=____________________.

10.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

2.5.2 等比数列前 n 项和的性质

1.在等比数列{an}中,a3=7,前 3 项和 S3=21,则公比 q 的值为( ) 1 A.1 B.- 2 1 1 C.1 或- D.-1 或 2 2 2.在公比为整数的等比数列{an}中,如果 a1+a4=18, a2+a3=12,则这个数列的前 8 项之和 S8=( ) A.513 B.512 225 C. D.510 8 3.各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14,则 S4n=( ) A.80 B.30 C.26 D.16 S6 S9 4.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( ) S3 S6 7 A.2 B. 3 8 C. D.3 3 5.某工厂去年产值为 a,计划 5 年内每年比上一年产值增长 10%,从今年起 5 年内这 个工厂的总产值是( ) A.1.14a B.1.15a 5 C.10(1.1 -1)a D.11(1.15-1)a 6.等比数列{an}的各项均为正数,且 a5a6+a4a7=18,则 log3a1+log3a2+…+log3a10 =( ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 S4 7.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,求 . a2

8.在等比数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 S6=48,S12=60,则 S18=________. 9.一个等比数列{an}共有 2n+1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则 an+1 =________. 10.项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项之和的 4 倍,第 2 项与第 4 项之积为第 3 项与第 4 项之和的 9 倍,求该数列的通项公式.

2.6 数列求和

1. 在等差数列{an}中, 公差 d≠0, a1≠d, S20=10m, 那么下列各式中与 m 相等的是( ) A.a3+a5 B.a2+2a10 C.a20+d D.a9+a12 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,则数列的公比 q=( ) 3 3 1 1 4 4 A. B.- C. D.- 2 2 2 2 1 3.数列{an}的通项公式为 an= ,若 Sn=9,则 n=( ) n+ n+1 A.9 B.10 C.99 D.100 a17 4.在等比数列{an}中,an>an+1,且 a7· a14=6,a4+a17=5,则 =( ) a4 3 2 1 A. B. C. D.6 2 3 6 ? 1 ? ?的前 100 项和 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a · ? n an+1? 为( ) 100 99 99 101 A. B. C. D. 101 101 100 100 6.公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项,S8=32, 则 S10=( ) A.18 B.24 C.60 D.90 1 1 1 1 7.求数列 , , ,…, ,…的前 n 项和 Sn. 1×3 2×4 3×5 n?n+2?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 8.数列 1, , , , , , , , , ,…的前 100 项的和为( ) 2 2 3 3 3 4 4 4 4 9 11 A.13 B.13 14 14 1 3 C.14 D.14 14 14 9.数列{an}是等差数列,公差 d>0,Sn 是{an}的前 n 项和.已知 a2a3=40,S4=26. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn= ,求数列{bn}前 n 项和 Tn. a n· an+1

10.(2013 年湖南)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 a1≠0,2an-a1=S1·Sn,n∈N*. (1)求 a1,a2,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和.

第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 数列的概念及表示方法 1.C 2.C 3.C 4.A 5.C n?n+1? 6.C 7.an= 2

n+2 8.bn= 9.C n 1 4 1 10.解:设 是数列{an}中的项,∴an= 2 = ,即 n2+3n-40=0,(n+8)(n-5) 10 n +3n 10 =0.∴n=-8(舍去),n=5. 1 ∴ 是数列{an}中的第 5 项. 10 16 4 16 同理设 是数列{an}中的项,∴an= 2 = , 27 n +3n 27 即 4n2+12n-27=0,(2n-3)(2n+9)=0. 3 9 ∴n= (舍去)或 n=- (舍去). 2 2 16 ∴ 不是数列{an}中的项. 27 2.1.2 数列的递推公式 1.D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7.解:依题意,得 120=n(n+2). ∴n2+2n-120=0,即(n+12)(n-10)=0. ∴n=-12(舍去),或 n=10. 1 ∴ 是数列{an}的第 10 项. 120 n-1 3 4 8.A 解析:a2=a1+ln2,a3=a2+ln ,a4=a3+ln ,…,an-1=an-2+ln ,a = an ?1 2 3 n-2 n n-1 n 3 4 n + ln , 故 an = a1 + ln2 + ln + ln + … + ln + ln = a1 + 2 3 n-1 n-2 n-1 n-1 n ? ? 3 4 × ln?2×2×3×…× ?=a1+lnn=2+lnn. n-2 n-1? ? 9.37 an-an-1=6(n-1) 10.解:∵a1=1,Sn=n2· an, ∴当 n≥2 时,Sn-1=(n-1)2· an-1. an n-1 ∴an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1? = . an-1 n+1 an-1 an-2 an a3 a2 ∴an= · · ·…· · ·a1 a2 a1 an-1 an-2 an-3 n-1 n-2 n-3 2 1 2 = · · ·…· · ·1= . n 4 3 n+1 n-1 n?n+1? 2 2 显然当 n=1 时, =1,∴an= ,n∈N*. n?n+1? n?n+1? 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的定义及通项公式 1.D 2.A 3.A 4.D 5.C 6.10 7.13 8.D 1 9. 3

? ?a1+a2=a3, 10.解:根据韦达定理,得? ?a1· a2=a4. ? ? ? ?a1+a1+d=a1+2d, ?a1=2, 即? 解得? ? ? ?a1+d?=a1+3d, ?a1· ?d=2. n - 1 )d=2n. 故 an=a1+(

2.2.2 等差数列的性质 1.15 2.B 3.A 4.B 5.B 1 π 6.2n-m 7. 8.8 9. 3 12 10.解:(1)由题意知:举行奥运会的年份构成的数列是一个以 1896 为首项,4 为公差 的等差数列. 数列的通项公式为 an=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N*). (2)假设 an=2008,由 2008=1892+4n,得 n=29. 假设 an=2050,2050=1892+4n 无正整数解. ∴所求通项公式为 an=1892+4n(n∈N*),2008 年北京奥运会是第 29 届奥运会,2050 年不举行奥运会. 2.3 等差数列的前 n 项和 2.3.1 等差数列的前 n 项和 1.B 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7.解:数列{an}是等差数列, 由 S9=72,又 S9=9a5,∴a5=8. ∴a2+a4+a9=(a2+a9)+a4=(a5+a6)+a4=3a5=24. 8. C 解析: ∵数列{an}是等差数列, ∴am-1+am+1=2am.由 am-1+am+1-a2 得 2am m=0, ?2m-1??a1+a2m-1? 2 -am=0,∴am=2 或 am=0(舍去).又 S2m-1=38,即 =38,即(2m-1)×2 2 =38,解得 m=10. 100?a1+b1+a100+b100? 9.10 000 解析:S100= =50×(25+75+100)=10 000. 2 10.解:设这个数列为{an},则 ? ?a1+a2+a3+a4=21, ? ∴a1+an=22. ?an-3+an-2+an-1+an=67. ? n?a1+an? ∵Sn= =286,∴n=26. 2 2.3.2 等差数列前 n 项和的性质 1.B 2.A 3.C 4.A 5.D 解析:∵{an}为等差数列,S20=S40, ∴a21+a22+…+a40=0.S60=(a1+a2+…+a20)+(a21+a22+…+a40)+(a41+a42+…+ a60)=3(a21+a22+…+a40)=0. 6.B 7.解:∵a2=3,a3=-13,∴d=a3-a2=-16. ∴a1=a2-d=19. ∵a2>0,a3>0,且 d<0, ∴Sn 的最大值为 S2=a1+a2=19+3=22. 8.B 9.C 10.解:∵a1=S1=32×1-12=31, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=33-2n. 又由 an>0,得 n<16.5,即{an}前 16 项为正,以后皆负.

∴当 n≤16 时,Sn′=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an=32n-n2; 当 n>16 时,Sn′=a1+…+a16-a17-a18-…-an =S16-(Sn-S16)=2S16-Sn=512-32n+n2. 2 ? ?n≤16?, ?32n-n ? ∴Sn′= 2 ?512-32n+n ?n>16?. ? 2.4 等比数列 2.4.1 等比数列的定义及通项公式 1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.解:设所求的四个数分别为 a,x-d,x,x+d, ?x-d? =ax, ? ? 则?a+?x-d?+x=19, ? ??x-d?+x+?x+d?=12.
2

① ② ③

??4-d?2=4a, ? 解得 x=4.代入①②,得? ? ?a-d=11. ? ? ?a=25, ?a=9, 解得? 或? ?d=14 ?d=-2. ? ? 故所求四个数为 25,-10,4,18 或 9,6,4,2. 8.B 9.16 1?2 10.证明:∵2an+1=? ?1+n? ·an, 1 1 1+ ?2·an. ∴an+1= ·? 2 ? n? ?1+1?2 n? an+1 1 ? 1 an ∴ 2=2· 2·an=2·n2. (n+1) (n+1) ?an? a1 1 因此数列?n2?是以首项为 2=1,公比为 的等比数列. 1 2 ? ? 2 1?n-1 an 1 n ∴ 2=1·? ?2? =2n-1,即 an=2n-1. n

2.4.2 等比数列的性质 1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 1 1 1 1 6. 解析:a1a5= ?a2 = ,a a2a =a4= . 4 2 3 2 2 3 4 3 4 7.解:因为 a7a11=a4a14=6,又 a4+a14=5, ? ? ?a4=2, ?a4=3, 所以? 或? ?a14=3 ?a14=2. ? ? a20 a a20 3 a20 2 14 所以 =q10= .所以 = 或 = . a10 a4 a10 2 a10 3 8.20 解析:log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2·…·a10)=log3(a5a6)5=5log381 =5×4=20. 9.C 解析:由已知,得 y= 2×162=18. 10.解:(1)数列{an}是等差数列.证明如下: ∵bn=2an,∴log2bn=an.∴an-1=log2bn-1(n≥2). bn ∴an-an-1=log2 . bn-1

∵数列{bn}为等比数列, bn bn ∴ 为常数,log2 也为常数. bn-1 bn-1 ∴数列{an}为等差数列. (2)∵bn=2an, ∴b1·b2·b3·…·b20=2a1+a2+a3+…+a20. 1 由(1)知:{an}为等差数列,且 a8+a13= , 2 ∴a1+a2+a3+…+a20=10(a8+a13)=5. ∴b1·b2·b3·…·b20=25=32. 2.5 等比数列的前 n 项和 2.5.1 等比数列的前 n 项和 + 1.B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.2 2n 1-2 7.解:(1)由已知 a1=1,a4=8, ∴a1q3=8,易得 q=2. - ∴a2=2n 1. a1?1-qn? 1-2n n (2)∵Sn= = =2 -1. 1-q 1-2 1-a11 15 8. 9.11 或 2 1-a 10.解:(1)依题意,得 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2) 由于 a1≠0,故 2q2+q=0. 1 又 q≠0,从而 q=- . 2 1?2 (2)由已知,可得 a1-a1? ?-2? =3,故 a1=4. ? 1?n? 4? ?1-?-2? ? 8? ? 1?n? 从而 Sn= = ?1-?-2? ?. 1 3 - ? 1-? ? 2? 2.5.2 等比数列前 n 项和的性质 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6 . B 解析: 由 a5a6 + a4a7 = 18 ,得 a5a6 = 9. 所以 log3a1 + log3a2 +…+ log3a10 = log3(a1·a2·…·a10)=log3(a5· a6)5=log395=log3310=10. 7.解:∵q=2, a1?1-24? ∴S4= =15a1. 1-2 S4 15a1 15 ∴ = = . a2 2a1 2 8.63 解析:在等比数列{an}中,(S12-S6)2=S6· (S18-S12), ?S12-S6?2 ?60-48?2 ∴S18= +S12= +60=63. S6 48 5 9. 6 10.解:设数列{an}共有 2n 项,则 (a1+a2+a3+…+a2n)=4(a2+a4+…+a2n). 显然 q≠1,且 a1+a3+a5+…+a2n-1 =3(a2+a4+a6+…+a2n). a2+a4+a6+…+a2n 1 1 ∴ = ,即 q= . 3 a1+a3+a5+…+a2n-1 3

4 2 又 a2· a4=9(a3+a4),∴a2 1q =9a1q (1+q),∴a1=108. 4 ?1?n-1= n ∴an=108· - . ?3? 3 4

2.6 数列求和 1.D 2.D 3.C

4.B

1 1 = anan+1 n?n+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 = - .又 +…+ = - + - +…+ - =1- = .故选 A. n n+1 a1a2 a100a101 1 2 2 3 100 101 101 101 6.C 解析:由 a2 4=a3a7,得 (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d). 则 2a1+3d=0. 56 再由 S8=8a1+ d=32,得 2a1+7d=8. 2 则 d=2,a1=-3. 90 所以 S10=10a1+ d=60. 2 1 ? 1 1 1 7.解:∵ = ? - , n?n+2? 2?n n+2? 1 1 ?? 1 1 1 1 1- ?+? - ?+…+?n- ∴Sn= ?? 2?? 3? ?2 4? ? n+2?? 1 1 ? 3 1? 1 1 1 = 1+2-n+1-n+2 = - - 2? ? 4 2n+2 2n+4. n?n+1? 8.A 解析:由 1+2+…+n<100,即 n(n+1)<200,得 n≤13.当 n=13 时, 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 ? =91,∴? ?1+2+2+3+3+3+…+13?+14+14+…+14=13+14. 4 9.解:(1)S4= (a1+a4)=2(a2+a3)=26, 2 又∵a2a3=40,d>0,∴a2=5,a3=8,d=3. ∴an=a2+(n-2)d=3n-1. 1 1 (2)∵bn= = an· an+1 ?3n-1??3n+2? 1 1? 1 = 3n-1-3n+2?, 3? ? 1 1 ?? 1 1 1? ?1 1? - - + - +…+? ∴Tn= ?? 3??2 5? ?5 8? ?3n-1 3n+2?? 1 1 1 n = ?2-3n+2?= 3? ? 2?3n+2?. 10.解:(1)∵S1=a1, ∴当 n=1 时,2a1-a1=S1·S1.又∵a1≠0,∴a1=1. 2an-a1 2an-1-a1 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1= - =2an-2an-1?an=2an-1?{an}是首项为 S1 S1 - a1=1,公比为 q=2 的等比数列,即 an=2n 1,n∈N*. (2)令 Tn=1·a1+2·a2+3·a3+…+n·an ?qTn=1·qa1+2·qa2+3·qa3+…+n·qan ?qTn=1·a2+2·a3+3·a4+…+n·an+1. 上式左右错位相减,得 (1-q)Tn=a1+a2+a3+…+an-nan+1 1-qn =a1 -nan+1=2n-1-n·2n 1-q 5.A 解析:由 a5=5,S5=15,得 a1=1,d=1,∴an=1+(n-1)=n.故

?Tn=(n-1)·2n+1,n∈N*.


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