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寒假高二数学


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1.椭圆、双曲线及抛物线的性质 -------------------------------- 2 2. 直线与圆锥曲线 3. 空间点线面位置关系 ------------------------------------------ 6 -------------------------------------------9 -----------------------------12

4. 空间向量在立体几何中的运用 5. 分步计数原理与分类计数原理 6. 排列 7. 组合

----------------------------16

------------------------------------------------------- 19 ----------------------------------------------------------- 24 ------------------------------------------------ 28

8. 排列与组合习题 9. 二项式定理

------------------------------------------------------31 -------------------------------- 36 ----------------38

10. 排列组合与二项式定理习题

11. 随机事件的概率、古典概型与几何概型 12. 简易逻辑

-------------------------------------------------------44

1

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1. 椭圆、双曲线及抛物线的性质
一、 【考点知识】 椭圆 1. 定义: | PF1 | ? | PF2 |? 2a ?| F1 F2 | ,若 | PF1 | ? | PF2 |?| F1 F2 | 又如何? 2. 方程. 焦点在 x 轴上:

x2 y2 y2 x2 ;焦点在 y 轴上: ? ? 1 ? ? 1. a2 b2 a2 b2

3.性质:(1) 范围; (2)顶点;(3)离心率;(4)焦半径; (5) 通径; (6)焦点三角形面积求法; (7)准线及第二定义.

c ? (0,1), 焦点在x轴上的左焦半径PF1 ? a ? ex0 , (其中x0 表示P的横坐标) a 右焦半径PF1 ? a - ex0; 焦点在y轴上的下焦半径PF1 ? a ? ey0 , (其中y 0 表示P的 纵坐标 , 焦点在y轴上的上焦半径PF1 ? a - ey0。 e?
双曲线 1. 定义 || PF1 | ? | PF2 || ? 2a ?| F1 F2 | ,若 || PF1 | ? | PF2 || ?| F1 F2 | 又如何? 2. 方程. 焦点在 x 轴上:

y2 x2 x2 y2 ;焦点在 y 轴上: ? ? 1 ? ?1. a2 b2 a2 b2

3.性质: (1) 范围; (2)顶点;(3)离心率;(4)渐近线; (5) 通径;(6)等轴双曲线,共 轭双曲线; (7)焦点三角形面积求法; (8)准线及第二定义. 抛物线 1. 定义:平面上到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹(定点不在定直线上,否 则又如何?). 2. 方程. 3. 性质(1)准线方程及离心率; (2)焦半径; (3)焦点弦长及焦点弦相关结论等。 二、 【典型例题】 :

1 2 x , (m ? 0) 的焦点坐标是_______;准线方程是_________. m 1 (2)求一条渐近线为 y ? x ,焦距为 10 的双曲线方程. 2 2 2 x y x2 y2 (3)求与曲线 ? ? 1 有公共焦点,与曲线 ? ? 1 共渐近线的双曲线方程。 24 49 36 64 2 2 (4)已知 x sin ? ? y cos? ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值范围.
【例 1】. (1)抛物线 y ?

【例 2】. (1)在 ?ABC 中, BC ? 2 ,且 sin C ? sin B ? (2) F1 , F2 是椭圆

1 sin A ,求点 A 的轨迹方程. 2

?x ? 3? ? y ? 9 外切,且与⊙ C2: ?x ? 3? ? y ? 1 内切的动圆圆心 M 的轨 (3)求与⊙ C1: 迹方程.
2 2 2 2

?F1 PF2 的外角平分线,垂足为 Q,则 Q 的轨迹是________

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,过 F1 作 a2 b2

2

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x2 y2 (4*) F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1 的左右焦点,O 为双曲线的中心,P 是双曲线右支 a b 上一点, ?PF1 F2 的内切圆圆心为 C,圆 C 与 x 轴相切于点 A,过 F2 作直线 PC 的垂线,垂足
为 B,若 e 为双曲线的离心率,则( )

A. | OB |? e | OA |

B. | OA |? e | OB |

C. | OB |?| OA |

D. | OB |, | OA | 大小不确定

x2 y2 【例 3】.(1)已知双曲线 ? ? 1 的右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线上的左支上 9 16 且 PF1 PF2 ? 32 ,求 ?F1 PF2 的大小。
(2) 已知 F1 、F2 是双曲线 求 ?F1 PF2 的面积.

x2 ? 点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 30 , ? y 2 ? 1 的两个焦点, 4

【例 4】 . (1)如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,

A 和 B 是以 O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且
△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为( A ).

5 D 1? 3 2 ???? ? ????? (2)已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆

3

B

5

C

离心率的取值范围是 A. (0,1)





2 2 1 ) ,1) C. (0, D. [ 2 2 2 x2 y 2 (3)在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2c,以 O 为圆心, a 为 a b 2 ?a ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = 半径的圆,过点 ? . ? c ?
B. (0, ] 【例 5】. (1)过 A(2,1)的直线与双曲线 x ?
2

y2 ? 1 交于 M,N 两点,求 MN 中点的轨迹方 2

程。 (2)是否存在过 A(1,1)的直线与双曲线

x2 y2 ? ? 1 交于 M,N 两点,且 A 是 MN 的中点, 3 9

若存在,求出直线方程,若不存在说明理由。
3

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【例 6】 . (1) A, B 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两点,且 OA ? OB ,
2

①.求 A, B 两点的横坐标之积和纵坐标之积; ②.求证:直线 AB 过定点。

(2)如图,抛物线顶点在原点,圆 x ? y ? 4 x 的圆心是抛物线的焦点,直线 l 过抛物线
2 2

的焦点,且斜率为 2,直线 l 交抛物线与圆依次为 A 、 B 、 C 、 D 四点,求 AB ? CD 的 值.

课后习题: 1. 中心在原点,对称轴为坐标轴,离心率 e ? 3 ,一条准线方程为 3x ? 6 ? 0 的双曲线 方程是( )

x2 y 2 y 2 x2 x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 B. C. D. 3 4 5 3 2 4 4 2 x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1 , F2 是椭圆的焦点,则 | MF1 | ? | MF2 | 的最大 2. 已知 M 是椭圆 9 4
A. 值是( A.4
2

) B.6
2 2 2

C.9 )

D.12

3. 曲线

x y x y ? ? 1 与曲线 ? ? 1(0 ? k ? 9) 具有( 25 9 25 ? k 9 ? k
C.相等的离心率
2

A.相等的长、短轴 B.相等的焦距
2 2
2

D.相同的准线

4. 一个动圆与两个圆 x ? y ? 1和 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 都外切, 则动圆圆心的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.双曲线的一支 5. 直线 y ? x ? 1 被双曲线 2 x ? y ? 3 所截得的弦的中点是(
2 2

) D. (2,1)

A. (1, 2)

B. (?2, ?1)

C. (?1, ?2)

6. 椭圆上一点 P 到一个焦点的距离恰好等于短半轴的长 b , 且它的离心率 e ? 另一焦点的对应准线的距离为( A. ) C.

3 , 则P到 2

3 b 6

B.

2 3 b 3

3 b 2

D. 2 3b )

7. 到定点 (2, 0) 与到定直线 x ? 8 的距离之比为

2 的动点的轨迹方程是( 2

4

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x2 y2 ? ?1 16 12 2 2 C. x ? 2 y ? 8 x ? 56 ? 0
A.

B.

x2 y2 ? ?1 12 16 2 2 D. 3x ? 2 y ? 8 x ? 63 ? 0

x2 y2 x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 和椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, m ? b ? 0) 的离心率互为倒数,那么 m b a b 以 a, b, m 为边长的三角形是( )
A.锐角三角形
2 2

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

x y 1 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 B a b 2 左焦点为 F , A、B、C 为其三个顶点,直线 CF 与 AB 交于 D , D A 则 tan ?BDC 的值等于( ) F C 3 ? 3 A. 3 3 B. ?3 3 C. D. 5 5 10. 为双曲线 C 上一点, F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点,过双曲线 C 的一个焦点作 ?F1 PF2 的平分线的垂线,设垂足为 Q ,则 Q 点的轨迹是 ( )
9. 如右图,椭圆 A.直线
2 2

B.圆

C.椭圆
2 2

D.双曲线

11. 若椭圆

x y x y ? ? 1 ( s, t ? 0) 有相同的焦点 F1 和 ? ? 1 (m ? n ? 0) 和双曲线 s t m n F2 ,而 P 是这两条曲线的一个交点,则 PF1 ? PF2 的值是________.

x2 y 2 ? ? 1 于 M、N 两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若△BMN 的 20 16 重心恰是椭圆的右焦点,求直线 l 的方程.
12. 已知直线 l 交椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点, 过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆, 要使所作 12 3 椭圆的长轴最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆方程.
13. 以椭圆

5

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2. 直线与圆锥曲线
一、 【直线与圆锥曲线】 【例 1】.直线 kx-y+2=0 与双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 ,当 k 为何值时 (1). 有两个不同的交点; (2). 无公共交点。

【例 2】.设椭圆 3x 2 ? y 2 ? 6 与斜率为 3 的直线交于点 A,B,求三角形 OAB 面积的最大 值。

二、 【中点弦问题】 【例 3】.双曲线 x 2 ? P 的轨迹方程。

1 2 y ? 1 ,过点 A(2,1)的直线与双曲线交于两点 A,B,求 AB 的中点 2

【例 4】.直线 m 与椭圆 4 x ? 9 y ? 36 交于两点 A,B,AB 的中点坐标为(1,1) ,求直线 m 的方程。
2 2

三、 【离心率范围】 【例 5】 . 椭圆

x2 y2 使得 ?F1 PF2 ? 60? , ? ? 1(a ? b ? 0) 两焦点 F1 , F2 ,若椭圆上存在点 P, a2 b2

求离心率的范围。

x2 y2 ? ? 1 焦距为 2c,直线 m 过点 (a,0), (0, b) ,且点(1,0)到直线 m a2 b2 4 的距离与点(-1,0)到直线 m 的距离之和不小于 c ,求双曲线离心率的范围。 5
【例 6】. 双曲线

6

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【例 7】.双曲线

x2 y2 2 3 3 ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 . ? 2 ? 1的 e ? 2 3 2 a b

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆 上,求 k 的值.

课后习题: 1.椭圆 4 x ? y ? 4 的准线方程是(
2 2


3y

A. y ? ? 4 3

3x

B. x ? ? 4 3

C. y ? ? 4

3

3

D. x ? ? 4

3

3

2 2 2.已知动点 P( x, y )满足 4 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ?| 3 x ? 4 y | ,则点 P 的轨迹是(



A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 3.椭圆的左右焦点为 F1、F2,一个圆的圆心在 F2 且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P 点,直 线 PF1 是圆的切线,则椭圆的离心率为( ) A. 3 ? 1 4. 椭圆 B.

1 2

C. 2 2

D.

3 2

x2 y2 AB 是椭圆过焦点 F1 的弦, 则 ?ABF2 的周长是 ( ? ? 1 的焦点为 F1 ,F2 , 9 25 A.10 B.12 C.20 D.16
100 64



2 2 5. 点 P 是椭圆 x ? y ? 1 上一点 , 若 ?F1 PF2 ? 30? , 则 ?PF1 F2 F1 ,F2 为椭圆两焦点,

面积为( ) A.64 6.已知双曲线 x ? y
64
2 2

B. 64 2 ?
36

?

3

?

C. 64 2 ?

?

3

?

D. 64 3
3

? 1 上一点 P 到它的右焦点的距离为 8,那么点 P 到它的右准线的

距离是( ) A.10 B. 2 7
a b

C.

32 7 7

D.

32 5

2 2 7.双曲线 x ? y ? 1 (a ? 0,b ? 0) 的实轴长,虚轴长、焦距成等差数列,那么它的离 2 2

4 5 B. C.2 D.3 3 3 2 8.抛物线 y ? 8 x 在 M ? 2 , 4? 处切线方程为( ) A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0
心率为( ) A. 9..已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 与椭圆至 2 2 4 b
)
? 2 2 ? D. 1? ?1 ? ? ? ? 2? ? 2 , K ? ? ??, ? ? ? ? , ?? ? C. K ? ? ? ? K ?? ??, ? , ?? ? ??? ? ? 2 2 2 2 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

多有一个交点,则 ( A. K ? ? ?

? 1 1? , B. ? 2 2? ?

10. 下列图形中的多边形均为正多边形,M、N 是所在边的中点,双曲线均以图中的 F1、F2 为焦点,设图中的双曲线的离心率分别为 e1、e2、e3,则 ( )
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A. e1>e2>e3,

B. e1=e2<e3,

C. e1<e2<e3,

D. e1=e3>e2,

11.在平面直角坐标系中,椭圆 径的圆,过点 ? 12.椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半 a 2 b2


? a2 ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ? c ?

x2 y2 ? ? 1 内一点P(2,1), 过 P 作一条直线交椭圆于 A、B,使线段 AB 中点是 9 4

点 P,求出直线方程。

13.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其 中 O 为原点). 求 k 的取值范围.

14.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 个不同的交点 P 和 Q .

x2 ? y 2 ? 1 有两 2

(1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,使得向量

??? ? ???? ??? ? OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

15. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 M(1,—3) 、N(5,1) ,若动点 C 满 足 OC ? t OM ? (1 ? t )ON (t ? R ), 且点C的轨迹与抛物线y ? 4 x 交于 A、B 两点。
2

(1)求证: OA ? OB ; (2)在 x 轴上是否存在一点 P(m,0)( m ? 0) ,使得过点 P 的直线 l 交抛物线 y ? 4 x 于 D、 E 两点,并以线段 DE 为直径的圆都过原点。若存在,请求出 m 的值及圆心 M 的 轨迹方程;若不存在,请说明理由。
2

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3. 空间点线面位置关系

一、 【圆柱、圆锥、圆台的表面积】 圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体 . 圆柱可以看作是上下底面全等的圆 台,圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台,观察它们的侧面积,不难发现:
r1 ? r2 ? r r1 ? 0.r2 ? r 2 2 S圆柱表 ? 2? r (l ? r ) ???? S圆台表 ? ? (r2l ? rl ? S圆锥表 ? ? r (l ? r ) 1 ?r 1 ? r2 ) ????

二、 【柱体、锥体、台体的体积】

V柱体 ? Sh (S 为底面积,h 为柱体的高); V锥体 ?

1 Sh (S 为底面积,h 为锥体的高); 3

1 V台体 ? ( S ? SS ' ? S ' )h (S′,S 分别为上、下底面积,h 为台体的高). 3
圆柱体积公式: ______;圆锥体积公式: _________;圆台体积公式: _______。 三、 【球】用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1). 过球心的截面截得的圆叫做球的大圆; 不经过球心的截面截得的圆 叫做球的小圆; (2). 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3). 球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系: r ?

R2 ? d 2

4?R 3 球的体积与表面积:S= 4?R , V= . 3
2

习题: 1. l1 // l 2 ,a,b 与 l1 , l 2 ,都垂直,则 a,b 的关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交、异面都有可能 ? ? 平面 ? 2.下面条件中, 能判定直线 的一个是( ) ? ? ? A. 与平面 内的两条直线垂直 B. 与平面 ? 内的无数条直线垂直 C. ? 与平面 ? 内的某一条直线垂直 D. ? 与平面 ? 内的任意一条直线垂直 3.若球的半径为 1,则这个球的内接正方体的全面积等于( ) A.8 B. 9 C.10 D.12 4. 用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为 A.

8? 3

B.

8 2? 3

C. 8 2?

D.

32? 3
N C M

5.右图是正方体平面展开图,在这个正方体中 ①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60? 角;④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是 A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 6.长方体 ABCD ? A' B' C' D' 的体对角线 AC ' 与平面 ABCD、平 面 ABB' A' 及平面 ADD' A' 所成的角分别是 ? , ? , ? ,则
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D

E

A

B F

A. sin ? + sin ? + sin ? =2
2
2 2

B. sin ? + sin ? + sin ? =3
2
2 2

C. cos ? + cos ? + cos ? =1
2
2 2

D. sin ? + sin ? + sin ? =1
2
2 2

7. 如果直线 l , m 与平面 ? , ? , ? 满足 l ? ? ? ? , l // ? , m ? ? 和 m ? ? ,那么必有 A. ? ? ? 且 l ? m B. ? ? ? 且 m // ?
9

C. m // ? 且 l ? m

D. ? // ? 且 ? ? ?

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8.菱形 ABCD 的边长为 a ,角 A 为 600,将它沿对角线 BD 折成 600 的二面角 A'? BD ? C , 则 A' C 的长为 A. 9. 椭圆

3 a 4

B.

3 a 4

C.

3 a 2

D.

6 a 4

x2 y 2 x2 ? ? 1 和双曲线 ? y 2 ? 1 的公共焦点 F1 、 F2 , P 是两曲线的一个交点,那么 3 6 2 cos ?F1 PF2 的值是

1 A. 3

2 B. 3

7 C. 3
0

D.

1 4

B1

D

F

A1

C1

10.如图右,A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90 ,点 D、F 分别是 A1B1、A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,则 BD 与 AF 所成角的余弦值是

30 A. 10

1 B. 2

30 C. 15

15 D. 10

B C

A

11.一个山坡面与水平面成 60° 的二面角,坡脚的水平线(即二面角的棱)为 AB,甲沿山 坡自 P 朝垂直于 AB 的方向走 30m,同时乙沿水平面自 Q 朝垂直于 AB 的方向走 30m,P、 Q 都是 AB 上的点,若 PQ=10m,这时甲、乙 2 个人之间的距离为 A. 20 7 m B. 10 10 m C. 30 3m D. 10 19 m 12.E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点,EF 交 BD 于 O,以 EF 为棱将正方 形折成直二面角,则∠BOD= A.135° B.120° C.150° D.90° 13.在棱长为 2 3 的正方体 ABCD- A 1 B1 C1 D1 中,正方形 BCC 1 B1 面内(包括边界)的动 点 P 到直线 C1 D 1 、CD 的距离之和为 4,则 PC1 ? PC 的取值范围是. A. [?2,1] B. [?2, ]

1 4

C. [1,4)

D . [ , 2]

1 4

14. 圆台的母线与底面成 30° 角,轴截面面积为 S,则该圆台的侧面积为_______. 15. 一个正四面体的棱长均为 2 ,则正四面体外接球球心到正四面体棱的距离为_______. 16.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1,则下列四个命题: ①P 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A—D1PC 的体积不变; ②P 在直线 BC1 上运动时, 直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小 不变; ③P 在直线 BC1 上运动时,二面角 P—ADl—C 的大小不变; ④M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点 的轨迹是过 D1 点的直线. 其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号). 17.圆台的两底面半径分别为 10、20,侧面展开图的扇环圆心角为 180 度,求圆台的表面 积与体积。

18. 分别求棱长为 a 的正四面体的内切球、外接球半径。

19.半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内, 若正方体棱长为 6 ,求球的表面积和体积
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D' A' D A O B' B C C'

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20.如图, P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点, M 、 N 分别是 PC 、 AD 的中点. (1). 求证: MN //平面 PAB ; (2). 若 MN ? BA ? 2, PA ? 2 3 ,求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小. P
M
A
N
C

D

B

21. 如图, 直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AC=BC=1, ∠ACB=90° , AA1= 2 , D 是 A1B1 中点. (1)求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使得 AB1 ⊥平面 C1DF ? 并证明你的结论.

22. 在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,AB∥CD,AB= 1 CD,

2

DC= 3 BC,E 为 PD 的中点, ①求证:AE∥平面 PBC; ②求证:AE⊥平面 PDC; ③求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小。
A E
B

D

C
P

23.如图四棱锥 P ? ABCD , PA ? 平面 ABCD , ABCD 是直角梯形, DA ? AB ,

CB ? AB, PA ? 2 AD ? BC ? 2, AB ? 2 2 . (1).证明:平面 PBC ? 平面 PAB ; (2).求点 A 到平面 PBD 的距离; (3).设 E 为线段 BC 上一动点(不包括端点) , BE ? x ,二面角 B ? PE ? A 的大小为 ? , 记 sin ? ? f ( x) ,求 f ( x) 的表达式和 ? 的取值范围.
P

C

D

E
A
11

B

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4. 空间向量在立体几何中的运用
一、 【空间向量的坐标】 ①.令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a 1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )

? a ? (?a 1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R) a ? b ? a 1 b 1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3
a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3
a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? 0

a ∥ b ? a 1 ? ?b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R ) ?

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3

2

(用到常用的向量模与向量之间的转化: a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )
? ? ? ? | a |?|b | ? ? a ?b a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3
2 a1 2 2 2 2 ? a2 ? a3 ? b12 ? b2 ? b3

空间两个向量的夹角公式 cos ? a , b ?? ? (a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 )

②.空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . 二、 【法向量】 :若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? , 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. 三、 【用向量的常用方法】 ①.利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条 射线,其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为

| AB ? n | |n|

.

??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? ②.异面直线间的距离 d ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 |n| l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离).
③.直线 AB 与平面所成角 sin ? ?|

AB ? m | AB || m |

?? | ( m 为平面 ? 的法向量).

④. 利用法向量求二面角的平面角定理: 设 n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量,
n1 , n 2 则 n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 ( n 1 , n 2 方向相同, 则为补角,

反方,则为其夹角).二面角 ? ? l ? ? 的平面角 cos? ?

n?m | n || m |

或 cos? ? ?

n?m | n || m |

(m ,

??

? n 为平面 ? , ? 的法向量).
四、 【典型例题】 【例 1】
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已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC , ?DAB ? 90 , PA ? 底
?

面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ?

(1)证明:面 PAD ? 面 PCD ; (2)求 AC 与 PB 所成的角; (3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角余弦的大小

1 , AB ? 1, M 是 PB 的中点 2

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【例 2】 .如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90? , AP ? BP ? AB , PC ? AC . (1)求证: PC ? AB ; P (2)求二面角 B ? AP ? C 余弦值的大小; (3)求点 C 到平面 APB 的距离.

A C 【例 3】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,
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B

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侧棱 PA ? 底面 ABCD , AB ? 3 , BC ? 1 , PA ? 2 , E 为 PD 的中点 (1)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (2)求 CE 与平面 PBD 所成的角的余弦值; (3)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ? 面 PAC ,并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离
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O

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M

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A N C

D

B

【例 4】 .如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1,中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 A B 上移 动. (1)证明:D1E⊥A1D; D1 C1 (2)当 E 为 AB 的中点时,求点 E 到面 ACD1 的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

A1 D A E

B1 B

C

【例 5】.直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角 梯形, ∠BAD=∠ADC=90° , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 . (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (2)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与 平面 ACB1 都平行?证明你的结论.

A1 D1 A D C C1

B1

B

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【例 6】. 已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,?BCA ? 90? , AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上 的射影恰为 AC 的中点 D ,又知 BA1 ? AC1 。 (1)求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (2)求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; (3)求二面角 A ? A1 B ? C 余弦值的大小。

课后习题: 1.四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥底面 ABCD。已知∠ABC =45° ,AB=2,BC=2 2 ,SA=SB= 3 。 (1)证明:SA⊥BC; (2)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的余弦。

2. 平面 ABEF ? 平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,

?BAD ? ?FAB ? 900 , BC

// ?

1 AD , BE 2

// ?

1 AF 2

(1)证明: C, D, F , E 四点共面; (2)设 AB ? BC ? BE ,求二面角 A ? ED ? B 余弦值。

3 . 如 图 , 在 四 棱 锥 O ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 四 边 长 为 1 的 菱 形 , ?ABC ?

?
4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点 (1)证明:直线 MN‖ 平面OCD ;
(2)求直线 MD 与面 OBC 所成角余弦的大小; (3)求点 B 到平面 OCD 的距离。

O

M

A B N C

D

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4.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的 中点. (1)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (2)求证: EF ? B1C ; (3)求三棱锥 VB1 ? EFC 的体积.
A1 E

D1 B1

C1

D F A B

C

5. 已知四边形 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, ∠ABC=90° ,PA⊥平面 AC, 且 PA=AD=AB=1,BC=2 (1)求 PC 的长; (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小;

6. 右图是一个直三棱柱(以 A1 B1C1 为底面) 被一平面所截得到的几何体, 截面为 ABC .已 知 A1 B1 ? B1C1 ? 1 , ?A1 B1C1 ? 90 , AA1 ? 4, BB1 ? 2, CC1 ? 3 .
?

(1)设点 O 是 AB 的中点,证明: OC || 平面 A1 B1C1 ; (2)求二面角 B ? AC ? A1 的大小;

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5. 分步计数原理与分类计数原理
一、 【分类计数原理(加法原理)】 :做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中有 m 2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不 同的方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法
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从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地,一天中,火车有 3 班,汽车有 2 班,那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 分析:因为乘火车有 3 种走法,乘汽车有 2 种走法,所以,乘一次火车再接着乘一次汽车 从甲地到乙地,共有 3 ? 2 ? 6 种不同走法。 二、 【分步计数原理(乘法原理)】 :做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m 2 种不同 的方法,……,做第 n 步有 m n 种不同的方法,那么完成这件事 有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法
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两个原理的公式是: N ? m1 ? m2 ? ? ? mn ,

N ? m1 ? m2 ??? mn
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两个基本原理的作用:计算做一件事完成它的所有不同的方法种数 两个基本原理的区别:一个与分类有关,一个与分步有关;加法原理是“分类完成”,乘法原 理是“分步完成” 三、 【典型例题】 【例 1】 .书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层 放有 2 本不同的体育书, (1)从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法?
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【例 2】 . (1)一种号码拨号锁有 4 个拨号盘,每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数字,这 4 个拨号盘可以组成多少个四位数号码? (2)用 0,1,2,3,4 这六个数字, ①可以组成多少个数字不重复的三位数? ②可以组成多少个数字允许重复的三位数? ③可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数? ④可以组成多少个数字不重复的小于 100 的自然数? ⑤可以组成多少个大于 300,小于 512 的数字不重复的四位数?

【例 3】.(1)在 1~20 共 20 个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? (2) 10 本不同的数学书,9 本不同的语文书,8 本不同的英语书,任选其中两本,有多少中 不同的选法?

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【例 4】.(1).三封信投入 4 个不同的邮箱中,有多少中投法? (2) . 3 个人住进 4 家酒店中,有多少中住法? (3).若集合 M 中有 4 个元素,集合 N 中有 3 个元素,则从 M 到 N 可以建立多少 个映射?从 N 到 M 呢?若要求 M 中的元素对应 N 中的元素不同, 这样的映射又有多少个?

【例 5】. 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( ) A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
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② ① ③ 图一



① ③ ② 图二 ④ ②

① ③ ④

图三 答案:

若变为图二,图三呢? (A,240,320)

【例 6】. 如下图,共有多少个不同的三角形? 解:所有不同的三角形可分为三类” 第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有 5 个 第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有 5× 4=20 个 第三类 :没有一条边是原五边形的边 ,即由五条对角线围成的三角形 ,共有 5+5=10 个,不同的三角形共有 5+20+10=35 个. 【例 7】. 75600 有多少个正约数?有多少个奇约数? 解:75600 的约数就是能整除 75600 的整数,所以本题就是分别求能整除 75600 的整数和奇约 数的个数. 由于 75600=24× 3 3× 5 2× 7 (1) 75600 的 每 个 约 数 都 可 以 写 成 2 l ? 3 j ? 5 k ? 7 l 的 形 式 , 其 中 0 ? i ? 4 , 0 ? j ? 3 , 0 ? k ? 2 , 0 ? l ?1 于是,要确定 75600 的一个约数,可分四步完成,即 i, j, k , l 分别在各自的范围内任取一个值,这 样 i 有 5 种取法, j 有 4 种取法, k 有 3 种取法, l 有 2 种取法,个数为 5× 4× 3× 2=120 个. (2)奇约数中步不含有 2 的因数,因此 75600 的每个奇约数都可以写成 3 j ? 5 k ? 7 l 的形式,同上 奇约数的个数为 4× 3× 2=24 个. 【例 8】.4 人各写一张贺年卡片,放在一起,然后每个人取一张,若取出的不是自己写的卡 片,共有多少种不同的取法? (枚举法:9 种)

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【例 9】.某校学生会成员高一 5 人,高二 6 人,高三 4 人 (1).选其中一人为学生会主席,有多少种不同的选法? (2).每个年级各选一人组成学生会常委,有多少中不同的选法? (3).若选出不同年级的两人分别担任市里组织的两项不同的活动,每人参加一项,有多少 种不同的选法?

课后习题: 1. 四人参加三项体育运动,则冠军的不同情况共有_________种 2.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字, (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数? (4)可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数? (5)可以组成多少个大于 3000,小于 5421 的数字不重复的四位数?

3.求下列集合的元素个数. (1) M ? {( x, y) | x, y ? N , x ? y ? 6} ; (2) H ? {( x, y) | x, y ? N ,1 ? x ? 4,1 ? y ? 5} .

4.有四位同学参加三项不同的比赛, (1)每位同学必须参加一项竞赛,有多少种不同的结果? (2)每项竞赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果?

5. (1) 设 A ? {a, b, c, d , e, f } , B ? {x, y, z} ,从 A 到 B 共有多少个不同映射? (2) 6 个人分到 3 个车间,共有多少种分法?

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6. 排列
一、 【排列】 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定 .. 的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ... .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 二、 【排列数】 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取
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出 m 元素的排列数,用符号 An 表示

m

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注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素按 照一定的顺序 排成一列,不是数;“排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元 ..... 素的所有排列的个数,是一个数 所以符号 An 只表示排列数,而不表示具体的排列
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m

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由 An 的 意 义 : 假 定 有 排 好 顺 序 的 2 个 空 位 , 从 n 个 元 素

2

a1 , a2, ? an 中任取 2 个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填
法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这样的一种填法得 到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数 An .由分步计数原理 完成上述填空共有 n(n ? 1) 种填法,∴ An = n(n ? 1)
2
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2

由此,求 A 可以按依次填 3 个空位来考虑, ∴A 求
3 n=

3 n

n(n ? 1)(n ? 2) ,
以 按 依 次 填
m

m An

m 个 空 位 来 考 虑
?

m An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ,

三、 【排列数公式】 : An ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ( m, n ? N , m ? n ) 阶乘的概念: n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列,这时
n An ? n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 ;

把正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘 表示: n ! ,即 An ? n ! 规定 0! ? 1.
n
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排列数的另一个计算公式:

Anm ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ?
四、 【典型例题】 【例 1】 .计算: (1) A16 ;
3

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1)(n ? m)?3 ? 2 ?1 n! ? (n ? m)(n ? m ? 1)?3 ? 2 ?1 (n ? m)!
6

(2) A6 ;

(3)

(m ? 1)! A (m ? n)!
n ?1 m ?1

【例 2】 . (1)若 An ? 17 ?16 ?15 ?? ? 5 ? 4 ,则 n ?
m

,m?
2 x

. .
x?2 9

(2)若 n ? N , 则 (55 ? n)(56 ? n)?(68 ? n)(69 ? n) 用排列数符号表示 【例 3】 . (1)求下列式中 x 的值: 3 A ? 2 A
3 x 2 x ?1

? 6A
m n

A ? 6A
x 9

(2)求证: A ? A ? A
n n m n

n?m n?m

A

m n ?1

? A ? mA

m ?1 n

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【例 4】 . (1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同 的送法? (2)有 5 种不同的书,要买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法?

【例 5】.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字, (1)可以组成多少个数字不重复的三位数? (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数? (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数? (4)可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数? (5)可以组成多少个大于 3000,小于 5421 的数字不重复的四位数?

【例 6】 .有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数 (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置 (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边 (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起 (4)全体排成一行,男、女各不相邻 (5)全体排成一行,男生不能排在一起 (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变 (7)排成前后二排,前排 3 人,后排 4 人 (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人
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【例 7】 . 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单, 如果某女演员的独唱节目一定 不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法? 解: A9 A9 ? 136080 = 5 ? A9 ? A9 ? 136080 = A10 ? A9 ? 136080
1 5
5 6

6

5

【例 8】 .某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任 意挂 1 面、 2 面或 3 面, 并且不同的顺序表示不同的信号, 一共可以表示多少种不同的信号? 解: A3 ? A3 ? A3 ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 15 ,
1 2 3

【例 9】.某天要把语文、数学、物理、政治、体育、美术共六节课排课,其中第一节不排体
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育,最后一节不排数学,共有多少中不同的排法? 解:504

【例 10】 .设集合 P ? {b,1} , Q ? {c,1,2} ,且 P ? Q ,其中 b, c ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9} . (1). x ? bx ? c ? 0 可以表示多少个不同的方程?
2

(2). 方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的情况有多少种;
2

(3). 当 a ? {0,1,2,3} 时,若数字 a 以及使得方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的数字 b、c, 组成一 个三位数,则这样的三位数中能被 3 整除的数有多少个?
2

解决排列问题常见方法: 一、 【特殊优先法】 对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题, 我们可以从这些特殊入手。 先满足特殊 元素或特殊位置,再去满足其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法。 例:1 名老师和 4 名学生排成一排,若老师不排在两端,则共有多少种不同的排法? 分析: (解法 1、特殊元素法)老师在中间 3 个位置上任选 1 个的选法有 A41 种,然后剩余的 四名学生在余下的四个位置上,排法有 A44 种。由分步记数原理,所以共有 A31A44=72 种。 (解法 2、特殊位置法)先安排两端站两名学生共有 A42 种方法,其余位置安排有 A33 种。 所以共有排法数为 A42A33=72 种。 答案:72 种。 二、 【总体淘汰法】 :对于含否定词的问题,还可以从总体中把不符合要求的除去。 比如上面的例题中,1 名老师和 4 名学生共 5 人,其排列方法为 A55 种,把老师排在队 伍两端的情况 A21A44 减去。所以方法数为 A55-A21 A44=72 种。 答案:72 种。 三、 【相邻问题用“捆绑法”】 :对于某些元素要求相邻的问题,可先将相邻的元素捆绑并看作 一个元素并与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行排列。 例:3 个女生与 5 个男生排在一起,女生必须在一起,可以有多少种不同的方法? 分析:因为 3 个女生必须排在一起,所以可以把她们看作一个整体,连同 5 个男生共 6 个元 素,排成一排有 A66 种不同的排法,同时每种排法中,女生之间又有 A33 种不同的排法,利 用分步记数原理,可得有 A66A33 种不同的排法。 答案:A66A33 四、 【不相邻问题用“插空法”】 对于几个元素不相邻的排列问题, 先将没有限制条件的元素排好, 然后再将不相邻的元 素在已排好的元素之间及两端的空隙插入即可。 例:7 人排成一排照相,若要求甲、乙、丙三人不相邻,有多少种不同的排法? 分析:先将其余 4 人站好,有 A44 种排法,再于 4 人之间及两端 5 个“空隙”中选 3 个位置将 甲、乙、丙插入,有 A53 种方法。由分步记数原理,这样共有 A44A53 种不同的排法。 五、 【顺序问题用“除法”】 对于几个元素顺序一定的排列问题, 可先把这几个元素同其余元素一同进行排列, 然后 用总的排列数除以这几个元素的全排列数。 例:7 个节目,甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现,有多少种排法? 分析:7 个节目的全排列为 A77,甲、乙、丙之间的顺序已定。所以有 A77∕A33=840 种。 六、 【分排问题用“直排法”】 把 n 个元素排成几排的问题,若没有其它特殊要求,可采用统一排成一排的方法来处理。 例:15 人排成两排,前排 7 人,后排 8 人,共有多少种不同的方法?
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分析:前排 7 人有 A157 种方法,后排 8 人有 A88 种方法,所以有 A157A88=A1515 种不同 方法。其实就相当于将 15 个人排成一排。 答案:A1515 种 七、 【枚举法】 当题目中的附加条件增多,结果数目不大,解决它的方法又不一般,采用穷举法有时能 取得意想不到的效果。 例:三边长均为整数,最长边为 8 的三角形有多少个? 分析:另两边用字母 x、y 表示,且不妨设 1≤x≤y≤8,x+y≥9 当 y=8 时,x=1,2,…8, 有 8 个。 当 y=7 时,x=2,3…7 有 6 个。 当 y=6 时,x=3,4,5,6,有 4 个 当 y=5 时,x=4,5,有 2 个。 所以,所求的三角形的个数为 8+6+4+2=20。 答案:20 个。 八、 【进住法】 :解决允许重复排列问题要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不 能重复。把不能重复的元素看成“一封信”,能重复的元素看成“信箱”。在利用乘法原理直接 求解的方法称为进住法。 例:5 名运动员争夺 3 个项目的冠军(没有并列) ,所以可能的结果有多少种? 分析:因为同一运动员可以同时夺得几项冠军,故运动员可以重复排列,将 5 名运动员看作 五个信箱,3 项冠军看成 3 封信,每封信可以投进五个信箱,有 5 种投递方法。由乘法原理 知有 53 种。 九、 【“树图”表示法】 :对某些分步进行的问题,可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形 表示出来。 例:四人各写出一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则四张 贺卡的不同分配方式有( )种。 A.6 B.9 C.11 D.32 分析:将四张贺卡分别记为 A,B,C,D。由题意,某人(不妨设为 A 卡的供卡人)取卡有 3 种情况。因此将卡的不同分配方式分为三类,对于每一类,其它人依次取卡分步进行。为 避免重复或遗漏现象,可用树状图表示。 ↗A→D→C ↗A→D→B ↗A→B→C B→C→D→A C→D→A→B D→C→A→B ↘D→A→C ↘D→B→A ↘C→B→A 所以共有 9 种不同的分配方式。 答案:B 。 十、 【用比例法】 有些排列应用题,可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例,从而求得问题的结果。 例:A、B、C、D、E 五人站成一排,如果 B 必须站在 A 的右边(A、B 可以不相邻) , 不同的排法有多少种? 分析:若没有限制条件,则 5 人的全排列有 A55=120 种,而 A 在 B 右边与 B 在 A 右边 各占一半,所以 B 在 A 右边的排列法有 1∕2A55=60 种。 答案:60 种。 例:从 6 个运动员中选出 4 个参加 4× 100 米接力赛。如果甲、乙都不能跑第一棒,那 么共有多少种不同的参赛方案? 分析:若不受条件限制,则参赛方案有 A64=360 种,但其中限制甲、乙两人不能跑第一 棒,即跑第一棒的只能是其他的人,而这 4 人在第一棒中出现的可能性为 4/6 故所求参赛方案有 4∕6?A64=240 种。 答案:240 种。 以上介绍了排列应用题的几种常见求解策略。 这些策略不是彼此孤立的, 而是相互依存。 有时解决某一问题是要综合运用几种求解策略。 在处理具体问题时, 应能合理分类与准确分步。 首先要弄清楚: 要完成的是一件什么事, 完成这件事有几类方法, 每类方法中, 又有几个步骤。 这样才会不重复、 不遗漏地解决问题。 课后习题: 1.给出下列问题: ①有 10 个车站,共需要准备多少种车票? ②有 10 个车站,共有多少中不同的票价?
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③平面内有 10 个点,共可作出多少条不同的有向线段? ④有 10 个同学,假期约定每两人通电话一次,共需通话多少次? ⑤从 10 个同学中选出 2 名分别参加数学和物理竞赛,有多少中选派方法? 以上问题中,属于排列问题的是 (填写问题的编号) 2.四支足球队争夺冠、亚军,不同的结果有( ) C .12 种 A.8 种 B .10 种 D .16 种
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3.若 Am ? 2 Am ,则 m 的值为 ( A. 5 B.3
5 3

) C.6 . ; D.7

4.若 2 ?

(m ? 1)! ? 42 ,则 m 的解集是 m ?1 Am ?1
m 2 n 2 n ? 4 ,那么

5. (1)已知 A10 ? 10 ? 9 ??? 5 ,那么 m ? (2)已知 A ? 7 A

. n? 6. k ? N ? , 且 k ? 40, 则 (50 ? k )(51 ? k )(52 ? k )?(79 ? k ) 用排列数符号表示为( ) 50 ? k 29 30 30 C . A79 A . A79 B . A79 D . A50 ?k ?k ?k ?k 7.5 人站成一排照相,甲不站在排头的排法有( ) C .96 种 A .24 种 B .72 种 D .120 种 8.若 x ?{x |? Z ,| x |? 4} , y ?{ y | y ? Z ,| y |? 5} ,则以 ( x, y ) 为坐标的点共有



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9.五种不同商品在货架上排成一排,其中 A, B 两种必须连排,而 C , D 两种不能连排,则 不同的排法共有( ) C .24 种 A .12 种 B .20 种 D .48 种 10.6 张同排连号的电影票,分给 3 名教师与 3 名学生,若要求师生相间而坐,则不同的分 法有 ( )
3 3 ? A4 A . A3 3 3 ? A3 B . A3 3 3 ? A4 C . A4
3 3 ? A3 D . 2 A3

11.一圆形餐桌依次有 A、B、C、D、E、F 共 6 个座位.现让 3 个大人和 3 个小孩入座进餐, 要求任何两个小孩都不能坐在一起,则不同的入座方法总数为( ) A 24 种 B 48 种 C 72 种 D 144 种 12.7 人站一排,甲不站排头,也不站排尾,不同的站法种数有 种;甲不站排头,乙 不站排尾,不同站法种数有 种 13. .一天课表中,6 节课要安排 3 门理科,3 门文科,要使文、理科间排,不同的排课方法 有 种;要使 3 门理科的数学与物理连排,化学不得与数学、物理连排,不同的排课方法 有 种 14.从 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种植在不同土质的 3 块土地上进行试验,其中黄瓜不 能种在第三号土地上,有多少中不同的种植方法?
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15.用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数,其中 (1)三个偶数字连在一起的四位数有多少个? (2)十位数字比个位数字大的有多少个? (3)含有 2 和 3 并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个? (4)可组成多少个没有重复数字且比 2000 大的自然数?

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7. 组合
一、 【组合】 :一般地,从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个组合 说明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——无序性;⑶相同组合:元素相同
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二、 【组合数的概念】 :从 n 个不同元素中取出 m ? m ? n ? 个元素的所有组合的个数,叫做从
m .用符号 C n 表示. n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 ...



、 【











】 :

Cnm ?

Anm n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ? m Am m!



n! (n, m ? N ? , 且m ? n) m!(n ? m)! m n?m x y 0 组合数的性质 1: C n ? C n . C n ? C n ? x ? y 或 x ? y ? n .规定: C n ? 1 ; Cm n?
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组合数的性质 2: C n ?1 = C n + C n

m

m

m ?1
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四、 【典型例题】 【例 1】 .一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球, (1)从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? (3)从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?

【例 2】 . (1)计算: C7 ? C7 ? C8 ? C9 ;
3 4 5 6

(2)求证: C m ? 2 = C m + 2C m + C m .

n

n

n ?1

n?2

【例 3】 .解方程: (1) C13 ? C13

x ?1

2 x ?3

; (2)解方程: C x ? 2 ? C x ? 2 ?

x ?2

x ?3

1 3 Ax ?3 . 10

【例 4】 .现有 8 名青年,其中有 5 名能胜任英语翻译工作;有 4 名青年能胜任德语翻译工 作(其中有 1 名青年两项工作都能胜任) ,现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务,其中 3 名从事英语翻译工作,2 名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法? 解:我们可以分为三类: ①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有 C 4 C 3 ; ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有 C 4 C 3 ; ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有 C 4 C 3 , ∴一共有 C 4 C 3 + C 4 C 3 + C 4 C 3 =42 种方法. 【例 5】 .甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六, 问可以排出多少种不同的值周表 ? 解法一: (排除法) C6 C 4 ? 2C5 C 4 ? C 4 C3 ? 42 .
2 2 1 2 1 1 2 2 3 1 3 2
3 2 3 1

2

2

解法二:分为两类: C 4 C 4 + C 4 C 3 =42 种方法.
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1

2

2

2

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【例 6】 .6 本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人 2 本; (2)分为三份,每份 2 本; (3)分为三份,一份 1 本,一份 2 本,一份 3 本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少 1 本
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解: (1) C C C ? 90 种;
2 6 2 4 2 2

(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有 C 6 C 4 C 2 种方法,这个过程可以分两步完成:第一 步分为三份,每份两本,设有 x 种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A3 种 方法.根据分步计数原理可得: C 6 C 4 C 2 ? xC3 ,所以 x ?
2 2 2 3 3

2

2

2

2 2 C 62 C 4 C2 ? 15 .因此,分为三 3 A3

份,每份两本一共有 15 种方法 点评:本题是分组中的“均匀分组 ”问题. ....
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一般地:将 mn 个元素均匀分成 n 组(每组 m 个元素) ,共有 (3)这是“不均匀分组”问题,一共有 C 6 C 5 C 3 ? 60 种方法.
1 2 3

m m m Cmn ? Cmn ? m ? ? ? Cm 种方法 n An

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(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有 C 6 C5 C3 A3 ? 360 种方法.
1 2 3 3

(5)可以分为三类情况: ①“2、2、2 型”即(1)中的分配情况,有 C 6 C 4 C 2 ? 90 种方法;
2 2 2

②“1、2、3 型”即(4)中的分配情况,有 C 6 C5 C3 A3 ? 360 种方法;
1 2 3 3

③“1、1、4 型”,有 C 6 A3 ? 90 种方法,
4 3

所以,一共有 90+360+90=540 种方法. 【例 7】 .身高互不相同的 7 名运动员站成一排, (1)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种? (2)其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种? 解: (1) (法一) :设想有 7 个位置,先将其他 4 人排好,有 A7 种排法;再将甲、乙、丙三 人自左向右从高到矮排在剩下的 3 个位置上,只有 1 种排法,根据分步计数原理,一共有
4 A7 ? 840 种方法
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4

(法二) : 设想有 7 个位置, 先将甲、 乙、 丙三人自左向右从高到矮排在其中的 3 个位置上, 有 C7
4 3 4 C7 A4 ? 840 种方法.

3

种排法;将其他 4 人排在剩下的 4 个位置上,有 A4 种排法;根据分步计数原理,一共有 (2) (插空法)先将其余 4 个同学进行全排列一共有 A4 种方法,再将甲、乙、丙三名同学 插入 5 个空位置中(但无需要进行排列)有 C 5 种方法.根据分步计数原理,一共有
3 4 C5 ? 240 种方法. A4

4

3

【例 8】 . (1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法? (2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种? 解: (1)根据分步计数原理:一共有 4 ? 256 种方法;
4

(2) (捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有 C 4 种 方法;第二步:从四个不同的盒中任取三个将球放入有 A4 种方法,所以,一共有 C 4 A4 = 144 种方法.
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3 2 3

2

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【例 9】 .马路上有编号为 1,2,3,…,10 的十盏路灯,为节约用电又不影响照明,可以 把其中 3 盏灯关掉, 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏, 在两端的灯都不能关掉的情况下, 有多少种不同的关灯方法? 解: (插空法)本题等价于在 7 只亮着的路灯之间的 6 个空档中插入 3 只熄掉的灯,故所求 方法总数为 C 6 ? 20 种方法
3
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【例 10】 .九张卡片分别写着数字 0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数, 如果 6 可以当作 9 使用,问可以组成多少个三位数? 解: 可以分为两类情况: ① 若取出 6, 则有 2( A8 ? C 2 C 7 C 7 ) 种方法; ②若不取 6, 则有 C 7 A7
2 1 1 1 1 2

种方法, 根据分类计数原理,一共有 2( A8 ? C 2 C 7 C 7 ) + C 7 A7 =602 种方法
2 1 1 1 1 2
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【例 11】 .如图是由 12 个小正方形组成的 3 ? 4 矩形网格,一质点沿网格线从点 A 到点 B 的 不同路径之中,最短路径有 条 A 解:把质点沿网格线从点 A 到点 B 的最短路径分为七步,其中四步向右,三 3 步向上,不同走法的区别在于哪三步向上,因此,本题的结论是: C 7 ? 35 .
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B

课后习题: 1.有两条平行直线 a 和 b ,在直线 a 上取 4 个点,直线 b 上取 5 个点,以这些点为顶点作 三角形,这样的三角形共有( ) C . 82 A . 70 B . 80 D . 84 2. 5 本不同的书,全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同分法的种数为 C . 120 A . 480 B . 240 D . 96 3.12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口 4 人,则不同的分配方 案有 ( )种

A . C12C8 C4

4

4

4

B . 3C12C8 C4

4

4

4

4 C84 A33 C . C12

D.

4 C12 C84C44 A33
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4.某班元旦联欢会原定的 5 个学生节目已排成节目单,开演前又增加了两个教师节目 如果 将这两个教师节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 C . 20 A . 42 B . 30 D . 12 5.从 7 人中选派 5 人到 10 个不同的交通岗的 5 个中参加交通协管工作,则不同的选派方法 有 ( )
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 A10 A5 C10 A5 C7 A10 C . C10 A . C7 B . A7 D . C7 6.某班分成 8 个小组,每小组 5 人,现要从中选出 4 人进行 4 个不同的化学实验,且每组

至多选一人,则不同的安排方法种数是 ( )
4 A . C84 A4 4 1 C5 B . C84 A4

C . 54 C84 A44

4 4 A4 D . C40

7. 从 1, 3, 5, 7, 9 中任取 3 个数字, 从 2, 4, 6, 8 中任取 2 个数字, 一共可以组成 没有重复数字的五位数 8.从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛
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(1)如果 4 人中男生和女生各选 2 人,有 种选法; (2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,有 种选法; (4)如果 4 人中必须既有男生又有女生,有 种选法 9.在 200 件产品中,有 2 件次品 从中任取 5 件, (1)“其中恰有 2 件次品”的抽法有 种; (2)“其中恰有 1 件次品”的抽法有 种; (3)“其中没有次品”的抽法有 种; (4)“其中至少有 1 件次品”的抽法有 种 10 .平面内有两组平行线,一组有 m 条,另一组有 n 条,这两组平行线相交,可以构成 个平行四边形
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11.空间有三组平行平面,第一组有 m 个,第二组有 n 个,第三组有 t 个,不同两组的平面 都相交,且交线不都平行,可构成 个平行六面体
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12.在某次数学考试中,学号为 i(i ? 1, 2,3, 4) 的同学的考试成绩 f (i) ?{85,87,88,90,93} , 且满足 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ,则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种
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13.高二某班第一小组共有 12 位同学,现在要调换座位,使其中有 3 个人都不坐自己原来 的座位,其他 9 人的座位不变,共有 种不同的调换方法
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14.某兴趣小组有 4 名男生, 5 名女生: (1)从中选派 5 名学生参加一次活动,要求必须有 2 名男生, 3 名女生,且女生甲必须在 内,有 种选派方法; (2) 从中选派 5 名学生参加一次活动, 要求有女生但人数必须少于男生, 有__种选派方法; (3)分成三组,每组 3 人,有 种不同分法
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8. 排列与组合习题
【常见问题与方法】 一、枚举法: 1.甲乙丙丁四人各写一张卡片,现每人从中拿出一张,拿到的卡片不是自己写的卡片的概 率为多少? 2.在某次数学测验中,学号 i(i ? 1,2,3,4) 的四位同学的考试成绩 f (i) ? {90,92,93,96,98}, 且满足 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ,则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数 为( ) A.9 种 B.5 种 C.23 种 D.15 种 3.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土, 土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克 的两种物质不相邻,则这样的排列方法有 种 二、插空法,捆绑法 4.宿舍楼走廊上有有编号的照明灯一排 10 盏,为节约用电又不影响照明,要求同时熄掉其 中 3 盏,但不能同时熄掉相邻的灯,且两头灯不能灭,问熄灯的方法有多少种? 5.一圆形餐桌依次有 A、B、C、D、E、F 共 6 个座位.现让 3 个大人和 3 个小孩入座进餐, 要求任何两个小孩都不能坐在一起,则不同的入座方法总数为( ) (A)24 种 (B)48 种 (C)72 种 (D)144 种 6.有 3 名男生,4 名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数 (1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置 (2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边 (3)全体排成一行,其中男生必须排在一起 (4)全体排成一行,男、女各不相邻 (5)全体排成一行,男生不能排在一起 (6)全体排成一行,其中甲、乙、丙、丁的顺序固定 (7)排成前后二排,前排 3 人,后排 4 人 (8)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有 3 人 三、隔板法 7.10 个优秀学生称号名额分到 4 个班,每班至少一个,有多少分配方法? 10 个优秀学生称号名额分到 4 个班,可以有些班级没有名额,有多少分配方法? x1+ x2+ x3+…+x12=100 有多少个正整数解? 四、信箱问题(住店问题) 8.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有 种。 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ; ③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 五、分组问题 9.有 6 本不同的书,按下列分配方式,分别有多少种不同分配方式? (1)分成一本、两本、三本的 3 组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中一人一本,一人二本,一人三本; (3)分成每组都是二本的 3 组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人二本。 (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本。 六、排数字问题 10.用 0,1,2,3,4,5,六个数按下列要求,有多少种可能 (1)组成多少个无重复数字的 5 位数?
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(2)组成无重复数字的五位偶数的概率是多少? (3)组成无重复数字的 5 位数中首位不为 1,个位不为 5 的数概率是多少? (3)多少个比 51234 大的数? (4)第 100 个五位数是多少? 七、几何运用 11.下图中有多少个矩形? 多少种走法?

若一个人从最左下角沿线条方向走到最右上角,路程最短时有

A

B
12. 某城镇由 6 条东西方向的街道和 6 条南北方向的街道组成,其中 有一个池塘,街道在此变成一个菱形的环池大道.现要从城镇的 A 处 走到 B 处,使所走的路程最短,最多可以有 种不同的走 法. (35)
A

B

13. 在∠AOB 的 OA 边上取 m 个点, 在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外), 连同 O 点共 m+n+1 个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作的三角形有( ) 2 1 2 2 1 2 A.C1 B.C1 m ?1C n ? C n ?1C m mCn ? CnCm
2 1 2 1 1 C.C1 mCn ? CnCm ? CmCn 2 2 1 D.C1 m C n ?1 ? C m ?1C n

14. 四面体 A-BCD 中,四个顶点以及各棱上的中点, (1)在这 10 个点中取出 4 个点,其中 4 点不共面有多少种可能? (2)取出 3 个点与顶点 A 共面又有多少种可能?

八、染色问题 15.用五种不同的颜色,给图中的(1)(2)(3)(4)的各部分涂色,每部分涂一色,相邻部分涂不同 色,则涂色的方法共有几种?
1 1 1 ( A1 5 A 4 A 3 A 4 =240)

(1) (3) (2) (4)

16. 如图,一环形花坛分成 A ,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里 种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为____________ 种。 D A B C

17.如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有 种。

29

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课后习题: 1. 2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其 余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种 C. 18 种 D. 48 种 2. 用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A.324 B.328 C.360 D.648 3. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 A6种 B 12 种 C 24 种 D 30 种 4. 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各 选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( ) A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两 名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为

A.18

B. 2 4

C.30

D. 3 6

6. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位 女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 7. 从 5 名男医生、 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队, 要求其中男、 女医生都有, 则不同的组队方案共有 A 70 种 B 80 种 C 100 种 D 140 种 8. 从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星 期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有 A.120 种 B.96 种 C. 60 种 D.48 种 9. 某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人 到会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为 A.14 B.16 C.20 D.48 10. 从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的 四位数,其中奇数的个数为 A 432 B 288 C 216 D 108 11. 从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有 入选的不同选法的种数位 A 85 B 56 C 49 D 28 12. 用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的 数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答) 13. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不 区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答) . 14. 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答) .

答案:ABCDC BACBC C 324 336 36
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9. 二项式定理
⑴. (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? C2 a ? C2 ab ? C2 b ;
2 2 2 0 2 1 2 2

⑵. (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab ? C3 b
3 3 2 2 3 0 3 1 2 2 2

3 3
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⑶. (a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) , 即展开式应有下面形式的各项: a ,a b ,a b ,
4

4

3

2 2

0 4 种,a ab3 ,b 4 ,展开式各项的系数:上面 4 个括号中,每个都不取 b 的情况有1 种,即 C4

的系数是 C4 ; 恰有 1 个取 b 的情况有 C4 种, 恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,
3 3 4 恰有 3 个取 b 的情况有 C4 种, , 有 4 都取 b 的情况有 C4 ab3 的系数是 C4 a 2b 2 的系数是 C42 ,

0

1

3

1

2

种, b 的系数是 C4 , ∴ (a ? b) ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b .
4 0 4 1 3 2 2 2
0

4

4

3 3
1

4 4

一、 【二项式定理】 : (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a
n n n r

n ?r

n n b r ? ? ? Cn b (n ? N ? )

⑴. ( a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:
n

a n , a nb ,…, a n?r br ,…, b n , 0 0 n ⑵.展开式各项的系数:每个都不取 b 的情况有1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ;
恰有 1 个取 b 的情况有 C n 种, a b 的系数是 C n ,……,恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种,
1

n

1

r

a n? r b r 的系数是 Cnr ,……,有 n 都取 b 的情况有 Cnn 种, b n 的系数是 Cnn ,
∴ (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a
n 0 n 1 n r n ?r n n b r ? ? ? Cn b (n ? N ? ) ,

这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 ( a ? b) 的二项展开式,
n

⑶.它有 n ? 1项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,? n) 叫二项式系数,
r

⑷. Cn a

r

n?r

r n?r r a b . b r 叫二项展开式的通项,用 Tr ?1 表示,即通项 Tr ?1 ? Cn n 1 r r n
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⑸.二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? x 二、 【典型例题】 【例 1】 .展开下列各式: (1 ? ) ; (2 x ?
4

1 x

1 6 ) . x

【例 2】 . (1)求 ( ?

x 3

3 9 x 3 9 ) 的展开式常数项; (2)求 ( ? ) 的展开式的中间两项 3 x x

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【例 3】 . (1)求 (1 ? 2 x) 的展开式的第四项的系数;
7

(2)求 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数及二项式系数
9

1 x

3

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【例 4】 .求 ( x ? 3x ? 4) 的展开式中 x 的系数
2 4

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【例 5】 .已知 f ( x) ? ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ?
m

n

(m, n ? N * ) 的展开式中含 x 项的系数为 36 ,

求展开式中含 x 项的系数最小值
m n

2

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1 1 1 1 解: ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 的项为 Cm ? 2 x ? Cn ? 4 x ? (2Cm ? 4Cn ) x 1 1 2 ∴ (2Cm ? 4Cn ) ? 36 ,即 m ? 2n ? 18 , ?1 ? 2 x ? ? ?1 ? 4 x ? 展开式中含 x 的项的系数为
m n

2 2 2 2 2 ? Cn 4 ? 2m2 ? 2m ? 8n2 ? 8n ,∵ m ? 2n ? 18 , ∴ m ? 18 ? 2n , t ? Cm

∴ t ? 2(18 ? 2n) ? 2(18 ? 2n) ? 8n ? 8n ? 16n ? 148n ? 612
2 2

2

37 153 37 * 时, t 取最小值,但 n ? N , n? ) ,∴当 n ? 4 4 8 2 ∴ n ? 5 时, t 即 x 项的系数最小,最小值为 272 ,此时 n ? 5, m ? 8 . ? 16(n2 ?
【例 6】 .已知 ( x ?

1 2 x
4

)n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列,
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(1)证明展开式中没有常数项; (2)求展开式中所有的有理项 解:由题意: 2Cn ?
1

1 1 2 ? 1 ? Cn ? ( )2 ,即 n 2 ? 9n ? 8 ? 0 ,∴ n ? 8(n ? 1舍去) 2 2 16 ?3 r 8? r r r 8? r ? ? 0 ? r ? 8? 1 1 r C r 4 ∴ Tr ?1 ? C8 x ? (? 4 )r ? (? )r ? C8r x 2 ? x 4 ? ? ?1? 8 ? x ? ? r 2 2 2 x ?r?Z ? 16 ? 3r ①若 Tr ?1 是常数项,则 ? 0 ,即 16 ? 3r ? 0 , 4 ∵ r ? Z ,这不可能,∴展开式中没有常数项; 16 ? 3r ②若 Tr ?1 是有理项,当且仅当 为整数, 4 ∴ 0 ? r ? 8, r ? Z ,∴ r ? 0, 4,8 , 35 1 ?2 4 即 展开式中有三项有理项,分别是: T1 ? x , T5 ? x , T9 ? x 8 256

? ?

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三、 【杨辉三角(二项式系数表) 】

(a ? b) n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 …时,二项式系 数表,表中每行两端都是 1 ,除 1 以外的每一个数都等于它肩上两
个数的和 四、 【二项式系数的性质】
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0 1 2 n r (a ? b) n 展开式的二项式系数是 Cn , C n , Cn ,…, Cn . Cn 可 以看成以 r 为自变量的函数 f ( r ) ,定义域是 {0,1, 2,?, n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的点(如图)

(1) 。对称性.与首末两端 “ 等距离 ” 的两个二项式系数相等 (∵ Cn ? Cn
m n?m

) .

直线 r ?

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 , ? Cn ? k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k k ?1 ∴ Cn 相对于 C n 的增减情况由 决定, , ?1? k ? k k 2
(2) 。增减性与最大值.∵ Cn ?
k

n 是图象的对称轴. 2

32

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当k ?

n ?1 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐 2
n

渐减小的,且在中间取得最大值; 当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项

C

n ?1 2 , n

C

n ?1 2 取得最大值. n

(3) 。各二项式系数和: 1 r r ∵ (1 ? x) n ? 1 ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? xn , 令 x ? 1 ,则 2 ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn
n 0 1 2 r n
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【例 7】 .求证在 ( a ? b) 的展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和
n
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即证明: Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? 2
0 2 1 3

n ?1

.

【例 8】 .已知 (1 ? 2 x) 7 ? a0 ? a1x ? a2 x 2 ? ? ? a7 x 7 ,求: (1) a1 ? a2 ? ? ? a7 ; (2) a1 ? a3 ? a5 ? a7 ; (3) | a0 | ? | a1 | ? ? ? | a7 | .

【例 9】.(1)在(x2+3x+2)5 的展开式中,求 x 的系数

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2 n (2)已知 ( x ? 2 ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14;3,求展开式 x
的常数项
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1 2 3 n ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n ? 2n ?1 . 【例 10】 .求证: Cn 1 2 3 n ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn 证(法一)倒序相加:设 S ? Cn ------- ① n n ?1 n?2 2 1 ? (n ? 1)Cn ? (n ? 2)Cn ? ? ? 2Cn ? Cn 又∵ S ? nCn -------②

r n?r 0 n 1 n ?1 ∵ Cn ,∴ Cn ? Cn ? Cn , Cn ? Cn ,? ,

0 1 2 n 由①+②得: 2 S ? n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ,

?

?

∴S ?

1 1 2 3 n ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n ? 2n ?1 . ? n ? 2n ? n ? 2n ?1 ,即 Cn 2

(法二) :左边各组合数的通项为
r rCn ? r?

n! n ? (n ? 1)! r ?1 ? ? nCn ?1 , r !(n ? r )! (r ? 1)!(n ? r )!

1 2 3 n 0 1 2 n ?1 ∴ Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n Cn ?1 ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ?1 ? n ? 2n ?1 .

?

?

33

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2 3

【例 11】 .已知: ( x ? 3x 2 )n 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 . (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项
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解:令 x ? 1 ,则展开式中各项系数和为 (1 ? 3) ? 2 ,
n 2n

又展开式中二项式系数和为 2 n , ∴ 22 n ? 2n ? 992 , n ? 5 . (1)∵ n ? 5 ,展开式共 6 项,二项式系数最大的项为第三、四两项, ∴ T3 ? C ( x ) (3x ) ? 90 x , T4 ? C ( x ) (3x ) ? 270 x ,
2 5 2 2 6 3 5 2 3 r r (2)设展开式中第 r ? 1 项系数最大,则 Tr ?1 ? C5 ( x 3 )5?r (3x2 )r ? 3r C5 x
r r r ?1 r ?1 ? 7 9 ?3 C5 ? 3 C5 ? ? r ? ,∴ r ? 4 , ∴? r r r ?1 r ?1 2 2 ? ?3 C5 ? 3 C5

2 3 3

2 3 2

22 3

2

10? 4 r 3



2

26

4 即展开式中第 5 项系数最大, T5 ? C5 ( x 3 )(3x 2 )4 ? 405x 3 .

【例 12】 .已知 S n ? 2 ? C n 2
n 1

n ?1

2 n?2 n ?1 ? Cn 2 ? ? ? Cn ? 2 ? 1(n ? N ? ) ,
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求证:当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1 能被 64 整除 ∵ Sn ? 2 ? C 2
n 1 n n ?1

分析:由二项式定理的逆用化简 S n ,再把 S n ? 4n ? 1 变形,化为含有因数 64 的多项式

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?C 2
2 n

n?2

??? C
k

n ?1 n

? 2 ? 1 ? (2 ? 1) ? 3 ,
n

n

* ∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 4n ? 1 ,∵ n 为偶数,∴设 n ? 2k ( k ? N ) , n 2k ∴ S n ? 4n ? 1 ? 3 ? 8k ? 1 ? (8 ? 1) ? 8k ? 1
1 k ?1 ? Ck0 8k ? Ck 8 ? ? ? Ckk ?1 8 ? 1 ? 8k ? 1
1 k ?1 ? (Ck0 8k ? C8 8 ? ? ? Ck2 )82 ( ? ) ,

当 k = 1时, Sn ? 4n ? 1 ? 0 显然能被 64 整除, 当 k ? 2 时, ( ? )式能被 64 整除, 所以,当 n 为偶数时, S n ? 4n ? 1 能被 64 整除 课后习题: 1. 二项式(ax ?bx ) (a ? 0, b ? 0, m, n ? 0) ,2m+n=0,展开式中系数最大的项为常数项。 (1).求它是第几项?
m n 12
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(2).求

a 的范围 b

2.已知 m, n 是正整数, f ( x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中 x 的系数为 7,
m n

(1)试求 f ( x) 中的 x 的系数的最小值; (2)对于使 f ( x) 的 x 的系数为最小的 m, n ,求出此时 x 的系数;
2 3

2

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3. 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、 数学教育家、 杨辉三角是杨辉的一大重要研究成 果, 它的许多性质与组合数的性质有关, 杨辉三 角中蕴藏了许多优美的规律。下图是一个 11 阶 杨辉三角: (1)求第 20 行中从左到右的第 4 个数; (2)若第 n 行中从左到右第 14 与第 15 个数的 比为

2 ,求 n 的值; 3

(3)若 n 阶(包括 0 阶)杨辉三角的所有数的和; (4)在第 3 斜列中,前 5 个数依次为 1,3,6,10,15;第 4 斜列中,第 5 个数为 35。显 然,1+3+6+10+15=35。事实上,一般地有这样的结论: 第 m 斜列中(从右上到左下)前 k 个数之和,一定等于第 m+1 斜列中第 k 个数。 试用含有 m、k (m, k ? N ) 的数学公式表示上述结论,并给予证明。
*
m ?1 m ?1 m ?1 m Cm ? ? ? Cm ?1 ? C m ? k ? 2 ? C m ? k ?1 .

即证明:

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10. 排列组合与二项式定理习题
1. C n ( n ? r ? 1, n , r ? Z )恒等于(
r

) C.

A.

2.在(x?1)(x+1)8 的展开式中 x5 的系数是( ) A ?14 B 14 C ?28 D 28 3. 北京《财富》全球论坛期间,某高校有 14 名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚 三班,每班 4 人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为( ) A C C C
12 14 4 12 4 8

n ? r ? 1 r ?1 Cn r

B.

n ? r ? 1 r ?1 Cn r

n ? r ? 1 r ?1 Cn r ?1

D.

n ? r ? 1 r ?1 Cn r ?1

B C A A

12 14

4 12

4 8

12 4 C14 C12C84 C 3 A3

12 4 3 D C14 C12C84 A3

4. 五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目,每个工程队承建 1 项,其中甲工程队不 能承建 1 号子项目,则不同的承建方案共有( ) 1 4 1 4 4 4 A C4 B C4 C C4 种 D A4 种 C4 种 A4 种 5. 从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一 人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方 案共有 A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 6.把一同排 6 张座位编号为 1,2,3,4,5,6 的电影票全部分给 4 个人,每人至少分 1 张,至多分 2 张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是 ( ) A.168 B.96 C.72 D.144 7. 4 位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲.乙两道题中任选一 题作答,选甲题答对得 100 分,答错得-100 分;选乙题答对得 90 分,答错得-90 分.若 4 位同学的总分为 0,则这 4 位同学不同得分情况的种数是( ) A.48 B.36 C.24 D.18 8. 四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓 库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号 为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( ) A 96 B 48 C 24 D 0 9. ( x ? 3 x )12 的展开式中,含 x 的正整数次幂的项共有 ( ) A.4 项 B.3 项 C.2 项 D.1 项 10. 将 9 个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为( A.70 B.140 C.280 D.840 5 6 3 11. 在(1-x) -(1-x) 的展开式中,含 x 的项的系数是( ) A -5 B 5 C -10 D 10



? 1 ? 1 12. 如果 ? 3 x ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是( ? 3 2 x x ? ? A 7 B ?7 C 21 D ?21
13. 若 ? 2 x ?

n



? ?

1? 1 1 ? 展开式中含 2 项的系数与含 4 项的系数之比为?5,则 n 等于( x? x x

n

)

A 4 B 5 C 6 D 10 14. 在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共 有 个. 15. 在 ( x ? a) 的展开式中, x 7 的系数是 15,则实数 a = __________。
10

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16. 二项式( 3 x -
?

1

x 2 3 2 n n ?1 17. 设 n ? N ,则 C ? C n . 6 ? Cn 6 ? ? ? Cn 6 ? 5 5 18. 已知 ( x cos ? ? 1) 的展开式中 x 2 的系数与 ( x ? ) 4 的展开式中 x 3 的系数相等, 则 cos ? 4
1 n

)10 的展开式中常数项为_____________

=___. 19. ( x 3 ? ) 4 ? ( x ?

2 x

1 8 ) 的展开式中整理后的常数项等于 x

.

20.用 1、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 和 2 相邻,3 与 4 相 邻,5 与 6 相邻,而 7 与 8 不 相邻,这样的八位数共有 个.(用数字作答) . 21.从数字 0、1、2、3、4、5 中任取三个,组成没有重复数字的三位数. (1)若这个三位数是奇数,则这样的三位数有多少个? (2)若这个三位数小于 450,则这样的三位数有多少个?

22 . 已 知 等 比 数 列 {a n } , 首 项 a1 是 ( x ?

1 5 ) 的展开式中的常数项,公比 5x 2

t 2 m ?8 m C 4 m A4 . 24 (1).求 a1 , m 的值; 1 2 n (2).化简 C n S1 ? C n S 2 ? ? ? C n S n ,其中 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ; 1 0 1 n (3).若 bn ? C n a1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n ?1 , t ? 时,是否存在自然数 a ,使得 n * an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (a ? 1)n 对 n ? N 恒成立?若存在求出 a 的值, 若不存在说 q?
明理由.

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11. 随机事件的概率、古典概型与几何概型
一、随机事件的概率 (1)必然事件:在条件 S 下,一定会发生的事件,叫相对于条件 S 的必然事件; (2)不可能事件:在条件 S 下,一定不会发生的事件,叫相对于条件 S 的不可能事件; (3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件; (4)随机事件:在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件 S 的随机事件; (5)频数与频率:在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,称 n 次试 验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数;称事件 A 出现的比例 fn(A)=

nA 为事件 n

A 出现的概率: 对于给定的随机事件 A, 如果随着试验次数的增加, 事件 A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作 P(A) ,称为事件 A 的概率。 (6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的次数 nA 与试验总次数 n 的比值

nA ,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多, n

这种摆动幅度越来越小。 我们把这个常数叫做随机事件的概率, 概率从数量上反映了随机事 件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率 【例 1】. 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件? (1)“抛一石块,下落”.(2)“在标准大气压下且温度低于 0℃时,冰融化”; (3)“某人射击一次,中靶”; (4)“如果 a>b,那么 a-b>0”; (5)“掷一枚硬币,出现正面”; (6)“导体通电后,发热”; (7)“从分别标有号数 1,2,3,4,5 的 5 张标签中任取一张,得到 4 号签”; (8)“某电话机在 1 分钟内收到 2 次呼叫”; (9)“没有水份,种子能发芽”; (10)“在常温下,焊锡熔化”. 【例 2】 .某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: 射击次数 n 击中靶心次数 m 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455

m 击中靶心的频率 n
(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是什么? 分析:事件 A 出现的频数 nA 与试验次数 n 的比值即为事件 A 的频率,当事件 A 发生的频 率 fn(A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件 A 的概率。 解: (1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数 0.89,所以这个射手击一次,击中靶心的概率约是 0.89。

【例 3】 .如果某种彩票中奖的概率为 的意义解释。

1 ,那么买 1000 张彩票一定能中奖吗?请用概率 1000

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解:不一定能中奖,因为,买 1000 张彩票相当于做 1000 次试验,因为每次试验的结果都是 随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000 张彩票中可能没有一张中奖,也 可能有一张、两张乃至多张中奖。 概念: (1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件; (2)若 A∩B 为不可能事件,即 A∩B=ф,那么称事件 A 与事件 B 互斥; (3)若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件; (4)当事件 A 与 B 互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);若事件 A 与 B 为对立 事件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1—P(B). 【例 4】.一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A:命中环数大于 7 环; 事件 C:命中环数小于 6 环; 一个发生). 【例 5】.袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的 概率为 事件 B:命中环数为 10 环; 事件 D:命中环数为 6、7、8、9、10 环.

解:A 与 C 互斥(不可能同时发生) ,B 与 C 互斥,C 与 D 互斥,C 与 D 是对立事件(至少

1 5 5 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,试求得到黑球、 3 12 12

得到黄球、得到绿球的概率各是多少? 解:从袋中任取一球,记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为 A、B、 C、 D, 则有 P(B∪C)=P(B)+P(C)= P(B)=

5 5 2 ; P(C∪D)=P(C)+P(D)= ; P(B∪C∪D)=1-P(A)= , 12 12 3

1 1 1 ,P(C)= ,P(D)= 4 6 4

二、古典概型与几何概型 例(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验。 (2)掷一枚质地均匀的骰子的试验。 有哪几种可能结果? 在试验(1)中结果只有两个,即“正面朝上”或“反面朝上”它们都是随机的;在试验(2)中所有 可能的试验结果只有 6 个,即出现“1 点”“2 点”“3 点”“4 点”“5 点”“6 点”它们也都是随机事件。我们 把这类随机事件称为基本事件 古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; 2)每个基本事件出现的可能性相等; 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型 古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

几何概型: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则 称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的概率的计算公式:

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【例 6】. 同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种? (3)向上的点数之和是 5 的概率是多少? 解: (1)掷一个骰子的结果有 6 种。把两个骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号投骰子的每一 个结果都可与 2 号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两个骰子的一个结果,因此同时掷两个骰 子的结果共有 36 种。 (2)在上面的所有结果中,向上点数和为 5 的结果有如下 4 种 (1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) (3)由古典概型概率计算公式得 P(“向上点数之和为 5”)=4/36=1/9 【例 7】.现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率. 分析: (1)为返回抽样; (2)为不返回抽样. 解: (1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以 试验结果有 10× 10× 10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品”,则包含的基本事件共有 8× 8× 8 种,因此,P(A)=

83 . 10 3

(2) 解法 1: 可以看作不放回抽样 3 次, 顺序不同, 基本事件不同, 按抽取顺序记录 (x,y,z) , 则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能, z 有 8 种可能, 所以试验的所有结果为 10× 9× 8=720 种. 设 事件 B 为“3 件都是正品”,则事件 B 包含的基本事件总数为 8× 7× 6=336, 所以 P(B)=

336 . 720

解法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种 可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z) , (x,z,y) , (y,x,z) , (y,z,x) , (z,x,y) , (z,y,x) , 是相同的,所以试验的所有结果有 10× 9× 8÷ 6,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个数 为 8× 7× 6÷ 6,因此 P(B)=

56 . 120
2 2

【例 8】.设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .

1 , 2, 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0, 1 , 2 三个数中任取的一个数,求上 (Ⅰ)若 a 是从 0,
述方程有实根的概率; (Ⅱ)若 a 是从区间 [0, 3] 任取的一个数, b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数,求上述方程有实 根的概率. 设事件 A 为“方程 a ? 2ax ? b ? 0 有实根”.
2 2

当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b .
2 2

(Ⅰ)基本事件共 12 个:

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(0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2) .其中第一个数表示 a 的
取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P( A) ?

9 3 ? . 12 4

0≤b≤2 . (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 (a,b) | 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 2,a ≥ b . 构成事件 A 的区域为 (a,b) | 0 ≤ a ≤ 3,

?

?

?

?

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? . 3? 2 3
【例 9】.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1 , ?1) 的 夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? 的概率是_____

? ?

?? ??

【例 10】.某人欲从某车站乘车出差,已知该站发往各站的客车均每小时一班,求此人等车 时间不多于 10 分钟的概率. 分析:假设他在 0~60 分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在 0 到 60 分钟之间 有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率 公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在 0 到 60 分钟之间任何一个时刻到站等车 是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的 位置无关,这符合几何概型的条件. 解:设 A={等待的时间不多于 10 分钟},我们所关心的事件 A 恰好是到站等车的时刻位于 [50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得 P(A)= 于 10 分钟的概率为

60 ? 50 ,即此人等车时间不多 60

1 . 6

【例 11】 .两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大 于 2m 的概率.

1 3

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课后习题: 1.将一枚硬币向上抛掷 10 次,其中正面向上恰有 5 次是( A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 ) B.不可能事件的概率不一定为 0 D.以上均不对 2.下列说法正确的是( ) D.无法确定

A.任一事件的概率总在(0.1)内 C.必然事件的概率一定为 1 3. 下面事件是随机事件的有

①连续两次掷一枚硬币, 两次都出现正面朝上 ②异性电荷, 相互吸引 ③在标准大气压下, 水在 1℃时结冰 A.② B.③ C.① D.②③ 4. 一枚硬币连掷 3 次,只有一次出现正面的概率是 A.

3 8

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 4

5. 从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中,任取 2 张,这 2 张卡片上的字母恰好是按 字母顺序相邻的概率为 A.

1 5

B.

2 5

C.

3 10

D.

7 10

6. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是 A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 7. 抽查 10 件产品,设事件 A:至少有两件次品,则 A 的对立事件为 A.至多两件次品 C.至多两件正品 B.至多一件次品 D.至少两件正品

8. 某小组共有 10 名学生,其中女生 3 名,现选举 2 名代表,至少有 1 名女生当选的概率为 A.

7 15 1 225

B.

8 15 1 300

C.

3 5 1 450

D.1

9. 从全体 3 位正整数中任取一数,则此数以 2 为底的对数也是正整数的概率为 A. B. C. D.以上全不对

10.甲、乙 2 人下棋,下成和棋的概率是 A.

1 2

B.

5 6

1 1 ,乙获胜的概率是 ,则甲不胜的概率是 2 3 1 2 C. D. 6 3

11. 某产品分甲、 乙、 丙三级, 其中乙、 丙两级均属次品, 若生产中出现乙级品的概率为 0.03、 丙级品的概率为 0.01,则对成品抽查一件抽得正品的概率为 A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96 12. 某人在打靶中,连续射击 2 次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是______. 13. 如下图,在一个边长为 a、b(a>b>0)的矩形内画一个梯形,梯形上、下底分别为

1 a 3

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1 a,高为 b,向该矩形内随机投一点,则所投的点落在梯形内部的概率为________. 2
1a 3

14. 如图,在直角坐标系内,射线 OT 落在 60° 的终边上,任作一条射线 OA,则射线落在∠xOT 内的概率是________. 15. 如下图, 在半径为 1 的半圆内, 放置一个边长为

1 的正方形 ABCD, 2

b 1a 2 a

向半圆内任投一点,该点落在正方形内的概率为_________.
D
A y

T

A B

C

16. 从 1,2,3,…,9 这 9 个数字中任取 2 个数字, (1)2 个数字都是奇数的概率为_________; (2)2 个数字之和为偶数的概率为_________. 17.判断下列每对事件是否为互斥事件?是否为对立事件? 从一副桥牌(52 张)中,任取 1 张, (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为 3 的倍数”与“抽出的牌点数大于 10”

O

x

18. 某射手在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为 0.24、0.28、 0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率, (2)至少射中 7 环的概率; (3)射中环数不足 8 环的概率. 19. 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:

(1)3 个矩形颜色都相同的概率; (2)3 个矩形颜色都不同的概率.

20. 连续掷 3 枚硬币,观察落地后这 3 枚硬币出现正面还是反面. (1)写出这个试验的基本事件空间; (2)求这个试验的基本事件的总数; (3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?

21. 在等腰 Rt△ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 的长小于 AC 的长的概率.

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12. 简易逻辑
一、【基本知识】 1. 四种命题及真假关系;命题的否定与否命题的区别。 充分条件;必要条件;反证法。 2. 全称量词与存在量词 “对所有的”、“对任意一个”等词在逻辑中被称为全称量词,记作“ ? ”, 全称量词的否定是 存在量词。含有全称量词的命题叫做全称命题。 对 M 中任意的 x ,有 p(x) 成立,记作 " ? "x ∈ M , p(x) 。 “ 存在一个 ” 、“ 至少有一个 ” 等词在逻辑中被称为存在量词,记作 “ ? ” ,含有存在量词 的命题叫做特称命题。 M 中至少存在一个 x ,使 p(x) 成立,记作 " ? "x ∈ M , p(x) 。 否定: ( 1 )对于含有一个量词的全称命题 p :" ? "x ∈ M ,p(x) 的否定 ? p 是:" ? "x ∈ M , ? p(x) 。 ( 2) 对于含有一个量词的特称命题 p : " ? "x ∈ M , p(x) 的否定 ? p 是: " ? "x ∈ M , ? p(x) 。 3. 若 p ? q, 则称 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件, p ? q, 且 p ? q, 称 p 是 q 的充 要条件。 二、 【典型例题】 【例 1】. 写出下列命题的原命题、否命题、逆否命题及其否定形式,并判断真假 (1)若 x +y ? z ? 0, 则x、y、z 全为0
2 2 2

(2)若 m ? 0, 则关于x的一元二次方程x +x-m=0有实根
2

【例 2】. 判断下列命题的真假 (1)“面积相等的两三角形全等”的否命题 (2)“若 A ? B ? B, 则B ? A ”的逆否命题 (3)“ 若a ? 0或b ? 0,则a +b >0 ”的逆命题
2 2

(4) 若a ? 0或b ? 0,则ab ? 0

【例 3】. (1)“m=

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 2

A 充分必要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要 条件 (2)已知 p: | 2 x ? 3 |? 1, q : x( x ? 3) ? 0, 则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (3) “a=b”是“直线 y ? x ? 2与圆( x ? a) ? ( y ? b) ? 2相切 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
2 2

【例 4】 .已知命题 p:x2+mx+1=0 有两个不相等的负数根;命题 q:方程 4x2+4(m-2)x +1=0 无实根,若“p 或 q”为真,而“p 且 q”为假,求实数 m 的取值范围.

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【例 5】.已知三个关于

的方程:

, 的取值范围.



中至少有一个方程有实数根,求实数

【例 6】. 若甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,丁是乙的必要条 件,问甲是丙的什么条件?乙是丁的什么条件?

【例 7】.已知 p :| 1 ?

x ?1 |? 2, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0, (m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必要 3

条件,求实数 m 的取值范围。

【例 8】. 已知 : 而不充分条件,求实数

; : 的取值范围.

.若



的必要

【例 9】 .已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 5
2

(1).是否存在实数 m 使得 m ? f ( x) ? 0 对任意的实数 x 恒成立? (2).若存在一个实数 x 0 ,使得 m ? f ( x0 ) ? 0 成立,求 m 的范围。

【例 10】.若 r ( x) : sin x ? cos x ? m, s( x) : x ? mx ? 1 ? 0 ,若对任意实数 x, r ( x ) 为假命
2

题, s ( x ) 为真命题,求 m 的范围。

【例 11】.若对实数 a, b, c, a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6

, 求证 a, b, c

至少有一个大于 0.(反证法)

【例 12】. 命题 p : a ? { y | y ? ? x ? 2 x ? 8 , q : 关于 x 的方程 x ? x ? a ? 0 一个根大 于 1,另一根小于 1,P 或 q 为真, P 或 q 为假,求实数 a 的范围。
2

2

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【例 13】.定义在 (??,3] 上的单调减函数 f ( x) ,

f (a 2 ? sin x) ? f (a ? 1 ? cos2 x)对?x ? R 恒成立,求 a 的范围。

课后习题: 1.在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

a 2.“ a ? 1 ”是“对任意的正数 x, 2 x ? ? 1 ”的( x
2



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根的充要条件是( A. 0 ? a ? 1 B. a ? 1 C. a ? 1 ) D. 0 ? a ? 1或a ? 0

4.条件 p: , ,条件 q: , ,则条件 p 是条件 q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 5.2 x -5x-3<0 的一个必要不充分条件是
2





1 1 1 A.- <x<3 B.- <x<0 C.-3<x< D.-1<x<6 2 2 2 2 2 6.关于 x 的方程 x ? (2k ? 1) x ? k ? 0 的两个实根均大于的充要条件是( A. k ? ?1 B. k ? ?2 C. k ? ?1或k>0 D. k ? 0
7. 写出下列命题的原命题、否命题、逆否命题及其否定形式,并判断真假 (1) 、若 x +y ? z ? 0, 则x、y、z全为0
2 2 2



(2) 、若 m ? 0, 则关于x的一元二次方程x +x-m=0有实根 8. 命题“原函数与反函数的图象关于 y=x 对称”的否定是( ) A 原函数与反函数的图象关于 y=-x 对称 B 原函数不与反函数的图象关于 y=x 对称 C 存在一个原函数与反函数的图象不关于 y=x 对称 D 存在原函数与反函数的图象关于 y=x 对称 9. 写出下列命题的否定. (1) 对所有的正数 x 都大于 x-1 ; (2) 不存在实数 x,x2+1<2x”; (3) 集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素; (4) 集合 A 中至少有一个元素是集合 B 的元素.
2

10.设 0<a, b, c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不同时大于

1 . 4

11. 求证: 关于 x 的方程 x2+2ax+b=0 有实数根, 且两根均小于 2 的充分但不必要条件是 a≥2 且|b|≤4.

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12.写出由下述各命题构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题,并指出所构成的 这些复合命题的真假. (1)p:连续的三个整数的乘积能被 2 整除,q:连续的三个整数的乘积能被 3 整除。 (2)p:对角线互相垂直的四边形是菱形,q:对角线互相平分的四边形是菱形。

13.给定两个命题, :对任意实数 都有 根;如果 与 恒成立; :关于 的方程 有实数

中有且仅有一个为真命题,求实数 的取值范围。

14. 已知函数 f ( x) ? 2 ? 2
x t

?| x|

(1)若 f ( x) ? 2 ,求 x 的值; (2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0对?t ? [1,2] 恒成立,求 m 的范围。

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附:10.排列组合与二项式定理习题答案 1--20:ABABB DBBAC CB 192; ? 21.48;60.

7n ?1 2 1 ; 210; ;? ;38; 576 2 6 2
5 ?5 r

1 1 1 5 r ( x ) 5?r ( 2 ) r ? r C5r x 2 ) 的展开式中 Tr ?1 ? C 5 2 5x 5 5x 4 m ? 2 m ? 8 ? 5 ? 5r t 16 4 ? m ? 4,q ? 令 ? 0, r ? 1 ,即 T1 ? a1 ? 1. ? ? C16 A4 ? t 2 24 ?m ? 4 t ?1 ?n ? n ?1 (2). a n ? t , S n ? ?1 ? t n , t ?1 ? ? 1? t 1 2 n 1 2 n 当 t ? 1 时, C n S1 ? C n S 2 ? ? ? C n S n ? C n ? 2C n ? ? ? nCn
22. 解:(1). ( x ?
0 1 n ?1 n ?1 ? n(C n ?1 ? C n ?1 ? ? ? C n ?1 ) ? n ? 2

当 t ? 1时, C n S1 ? C n S 2 ? ? ? C n S n ?
1 2 n

1? t 1 1? t 2 2 1? t n n Cn ? Cn ? ? ? Cn 1? t 1? t 1? t

1 1 1 2 n 1 2 n (C n ? Cn ? ? ? Cn )? (tCn ? t 2Cn ? ? ? t n Cn ) 1? t 1? t 2 n ? (t ? 1) n 1 1 ? (2 n ? 1) ? [(t ? 1) n ? 1] ? 1? t 1? t 1? t n ?1 ?n ? 2 (t ? 1) ? n 1 2 n n ∴ C n S1 ? C n S 2 ? ? ? C n S n ? ? 2 ? (1 ? t ) (t ? 1) ? 1? t ? ?
(3). bn ? C n a1 ? C n a 2 ? ? ? C n a n ?1 ? C n ? tCn ? ? ? t C n ? (1 ? t ) , t ?
0 1 n 0 1 n n n

1 n

1 1 1 1 2 1 n 0 ? bn ? (1 ? ) n ? C n ? Cn ? 2 Cn ? ? ? n Cn n n n n 当 n ? 2时 n(n ? 1) 1 n(n ? 1) ?(n ? k ? 1) 1 n(n ? 1) ? 2 ? 1 1 1?1? ?? ??? 2 k 2! n k! n! n nn ? 2. n(n ? 1) 1 n(n ? 1) ?(n ? k ? 1) 1 n(n ? 1) ? 2 ? 1 1 1?1? ?? ??? 2 k 2! n k! n! n nn 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2 ? ? ??? ? 2 ? 2 ?1 3 ? 2 n ? (n ? 1) 2! 3! n! 1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 2 3 n ?1 n 1 ? 3 ? ? 3 即 2 ? bn ? 3 , 当 n ? 1时, 2 ? (1 ? 1)1 ? 3 , n 从 而 有 2n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 3n , 即 存 在 自 然 数 a ? 2
an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? (a ? 1)n 对 n ? N * 恒成立.

使 得

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