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2.4.1


2.4.1 抛物线 及其标准方程

生活中存在着各种形式的抛物线

喷 泉

抛物线的生活实例

投篮运动

抛物线的生活实例

抛球运动

球在空中运动的 轨迹 是抛物线 , 那么 抛物线它有怎样的几 何特征呢? 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 又到底是一条怎样的 抛物线?

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
y

a<0

o

x a>0

复习:椭圆和双曲线的第二定义

平面内到一个定点的距离和一条定直线 的距离的比是常数 e 的点的轨迹 . 其 y y
N F

M
o
F'

N M
x
F'

o

F x

当0<e <1时, 是椭圆.

当e>1时, 是双曲线.

当e=1时,它又是什么曲线?

中 定 点 不 在 定 直 线 上

问题:
F L 是不经过点 F 的定 如图,点是定点, 直线。H是 L上任意一点,过点H 作 MH ? L m 交线段FH的垂直平分线m L L

于点M,拖动点H,
观察点M的轨迹,

HH

M

你能发现点M满足
的几何条件吗?

F

探 究 ?
可以发现,点M随着H运动

H
F ·

M

C

的过程中,始终有|MF|=|MH|, l
即点M与点F和定直线l的距离

e=1

相等.
点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.

二、抛物线的定义:

若动点 M 与一个定点F的距离和它 则这个点的轨迹是抛物线 .
定点F是抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线, 常数e=1是抛物线的离心率 .
注意:定点不在定直线上
l d

到一条定直线l的距离的比是常数 e ? 1,
.M

.

F

练习: 平面上到定点A(1, 2) 和到定直线 2x-y=0距离相等的点的轨迹为( ) (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆 思考:已知点P(x,y)的坐标满足方程:

x ? y ? 2 x ? 1 ? k | x ? y | (k ? 0)
2 2

2 1.若 k ? ,P的轨迹是何曲线? 2

2.随 k 的变化,P的轨迹可以是哪些曲线?

三、抛物线的标准方程:

那么如何建立坐标系,使抛物线 的方程更简单 , 其标准方程形式怎 样?

三、抛物线的标准方程:

如图,以过F点垂直于直线l的直线 为x轴,F 和垂足的中点为坐标原点建 立直角坐标系. 设 | FK |? p,( p ? 0), M ( x, y),
p p 则F ( , 0), l : x ? ? 2 2
2
l
y

d

.M
.
F

KO

x

? MF ? d ? y ? 2 px,( p ? 0)
抛物线标准方程

把方程 y2 = 2px (p>0)叫做抛物线的标准方 程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离

p p 焦点坐标是 ( , 0) , 准线方程为: x ? ? 2 2 想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也 会使抛物线方程的形式简单 ?

﹒ ﹒ ﹒ ﹒
y y y

o

x

o

x

o

x

o

y

x

方案(1)

方案(2)

方案(3)

方案(4)

﹒ ﹒ ﹒
y

四.四种抛物线的对比
开口方向 标准方程 焦点 准线

o

x

向右 向左 向上

y

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
2

p F ( , 0) 2

p x?? 2 p x? 2

o

x

y

( p ? 0)
2

p y ? ?2 px F ( ? , 0) 2 p F (0, ) 2

o

x

x ? 2 py ( p ? 0)

p y?? 2
p y? 2


o

y

x

向下

x 2 ? ?2 py F (0, ? p ) 2 ( p ? 0)

练习:填表(填标准方程) 方 程 焦点坐标 准线方程

y ? ?8x
2

F (?2,0) F (0, 2)

x?2

x ? 8y
2

y ? -2

x ? ?8 y
2

F (0, ?2)
1 F (0, ? ) 16

y?2
1 y ? 16

1 x ?? y 4
2

例1
(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ,求它 的焦点坐标及准线方程 焦点F ( 3 , 0 ) 准线:x =-
2 3 2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2),求 抛物线的标准方程

x 2 =- 8 y

待定系数法

(3)已知抛物线的准线方程为 x = 1 ,求抛物 y 2 =-4 x 线的标准方程 (4)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程
4 3

y =

2

x或 x =

2

9 2

y

练习:求抛物线的标准方程
1.焦准距是2; 2

x y ? ? 1 的焦点为焦点; 2.以双曲线 4 5
3. 经过点P(-4,-2); 4.已知动圆M过定点F(2, 0),且与直线 x= –2相切,求动圆圆心M的轨迹方程.

2

定义法

复习回顾 1.圆锥曲线的统一定义: 平面内到一个定点的距离和一条定直线 的距离的比是常数e的点的轨迹. 0 ? e ? 1 则轨迹是椭圆; e ? 1 则轨迹是抛物线; e ? 1 则轨迹是双曲线.

定点不在定直线上
2.抛物线的标准方程、焦点、准线.

﹒ ﹒ ﹒
o
y

图象 y

开口方向

标准方程

焦点

准线

x

向右 向左

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
2

p F ( , 0) 2

p x?? 2 p x? 2

o

x

y ? ?2 px p F ( ? , 0) 2 ( p ? 0) x 2 ? 2 py ( p ? 0)
2

y

o

x

向上

p F (0, ) 2

p y?? 2
p y? 2


o

y

x

向下

x ? ?2 py F (0, ? p ) 2 ( p ? 0)

3. 已知点P(x0, y0)是抛物线y2=2px (p>0)上 p 一点,则P到焦点F的距离|PF|=( x0 ? ) 2 2 4.已知点A(2, 1),点M在抛物线y =4x上 移动,F是抛物线的焦点,则|MF|+|MA| 1 的最小值是( 3 ),此时M的坐标是 (( ,1) ) 4 1 2 5.已知M是抛物线 y ? ? x 上一动点,M 4 到其准线的距离为d1 , M到直线x+y=2的 距离为d2 , 则d1+d2的最小值是( 3 2 ).
2

y 2 ? 16x.

6. 若点M到点F(4,0)的距离比它到 直线l:x+5=0的距离少1,求点M的轨 y M 迹方程.
l
y 2 ? 16x或x2 ? ?8 y.

y ? 16 x.
2

O F

x

7.如图,一个动圆M与一个定圆C外切, 且与定直线l相切,则圆心M的轨迹是什 么?
M C

l

以点C为焦点的抛物线.

例1 一种卫星接收天线的轴截面如图 所示,卫星波束呈近似平行状态射入轴 截面为抛物线的接收天线,经反射聚集 到焦点处.已知接收天线的口径(直径) 为4.8m,深度为0.5m,试建立适当的坐 标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标. A y 方程:y2=11.52x 焦点:(2.88,0) O
x

例2 求准线平行于x轴,且截直线 y=x-1所得的弦长为 10的抛物线 的标准方程. x2=5y或x2=-y.

例3 过抛物线y2=4x的焦点F作直线l, 交抛物线于A、B两点,求线段AB的中 点M的轨迹方程. y A

y2=2(x-1).
OB

M F

x

抛物线的性质
l

y

d

以y2=2px(p>0)为例 (1)范围

.M .
F

K

x≥0,y∈R

O

x

(2)对称性 关于x轴对称

(3)顶点 原点(0,0) 抛物线和它的轴的交点 (4)离心率 e=1

方程 图

y2 = 2px
( p> 0)
y
l O F x

y2 = -2px

x2 = 2py

x2 = -2py
( p> 0)
y
x
l l F x

( p> 0)
y
F
O l

( p> 0)
y
x
O F

形 范围
对称 性

O

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0

关于x轴对称 (0,0) e=1

关于y轴对称

顶点
离心率

y 2 ? 16x.

思考: 正三角形的一个顶点在原点, 另两个顶点A、B在抛物线y2=2px(p> 0为常数)上,求这个正三角形的边长. y
y 2 ? 16x或x2 ? ?8 y.

A

4 3p

O B

x

例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶 点在坐标原点,且经过点 M (2, ?2 2), 求它的标准方程. y2 = 4 x 例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的 焦点F,且与抛物线相交于A、B两点, y A 求线段AB的长. 法1:解出交点坐标 法2:弦长公式 法3:焦半径
O B

F x

|AB|=8

1.?A1FB1 ? 90

y2=2px ( p> 0 ) 焦点弦AB的性质 y A(x1, y1), B(x2, y2) A1 l A
N K O
B1 M .
F

2.AB为直径的圆与 准线相切

x

p 3. y1 y2 ? ? p , x1 x2 ? 4
2

2

B

1 1 1 4. ? ? | AF | | BF | p 5. A, O, B1三点共线.

直线与抛物线的关系 尝试练习 已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的直 线l的斜率为k,下列情况下分别求k的取值 范围: 1. l与抛物线有且仅有一个公共点; 2. l与抛物线恰有两个公共点; 3. l与抛物线没有公共点.


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