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2.3.1等比数列的概念及通项(研究课)


一、复习回顾 上周我们学习了等差数列,

请在下表中填写相应的内容
等差数列
定义 定义递推式 通项公式 等差中项 前 n 项和

性质

今天我们研究什么呢?
二.新课讲解 观察以下几组数列,将它们分类,说出分类标准. ① -2,1,4,7,10,13,16,19,… ② 8,16,32,64,128,256,… ③ 1,1,1,1,1,1,1,… ④ 243,81,27,9,3,1, , ,… ⑤ 31,29,27,25,23,21,19,… ⑥ 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,… ⑦ 1,-10,100,-1000,10000,-100000,… ⑧ 0,0,0,0,0,0,0,… 请说出数列②、③、④、⑥、⑦的共同特点?

根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,请尝试给等比数列下定义.
1.等比数列的定义: (板书) 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项所得的比都等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 例 1 判断下列数列是否为等比数列:

1 1 1 1 ; (4) a, a, a, a,? 2 4 8 16 解:⑴所给数列是首项为 1 ,公比为 1 的等比数列.⑵因为 0 不能作除数,所以这个数列不是等比数列. 1 ⑶所给数列是首项为 1 ,公比为 ? 的等比数列. 2 (4)是等差数列,公差为 0;当 a ? 0 时,又是等比数列,公比为 1.
⑴ 1,1,1,1,1 ; ⑵ 0,1, 2, 4,8 ; ⑶ 1, ? , , ? , 2.定义递推式

?an ? 是等比数列 ?

an ?1 ? q ? n ? N* ? ( q 为常数) an

如写成 ?

an ? q ? n ? N* ? ,行不行? an ?1

能否改成 ? an ? 是等比数列 ? an ?1 ? an q n ? N

?

*

? ,为什么不行?

1

式子

an ?1 ? q ? n ? N* ? 给出了数列的第 n ? 1项和第 n 项之间的数量关系,但能否确定一个等比数列, an

确定一个等比数列需要几个条件?当给定了首项 a1 及公比 q 后,如何求任意一项的值? 3.等比数列的通项公式: ⑴

a1 , a2 , a3 ,

a4 , …, an ,

… 可以归纳出: an ? a1q
n ?1

a1 , a1q , a1q 2 , a1q3 ,…, a1q n ?1 ,…
⑵一般地,对于等比数列 ? an ? 的第 n 项 an ,有公式



an ? a1q n ?1 .

这就是等比数列 ? an ? 的通项公式.其中 a1 为首项, q 为公比. 证 因为 ? an ? 为等比数列,所以当 n ≥ 2 时,有

a a a2 a ? q , 3 ? q , 4 ? q ,……, n ? q . a1 a2 a3 an ?1 an ? q n ?1 , 所以 an ? a1q n ?1 . a1

将上面 n ? 1 个等式的左右两边分别相乘,得

当 n ? 1 时,上面的等式也成立. 注:等比数列的通项公式的推导过程涉及到两个重要的数学方法:①归纳法;②叠乘法.方程中有四 个量,知三求一,这是公式最简单的应用. 例 2 在等比数列 ? an ? 中,⑴已知 a1 ? 3 , q ? ?2 ,求 a6 ;⑵已知 a3 ? 20 , a6 ? 160 ,求 an . 解:⑴由等比数列的通项公式,得 a6 ? 3 ? ? ?2 ?
6 ?1

? ?96 .
解得 ?

2 ? ? a1q ? 20, ⑵设等比数列的公比为 q ,那么 ? 5 ? ? a1q ? 160,

? a1 ? 2, ? q ? 5.

所以 an ? a1q

n ?1

? 5 ? 2n?1 .

例 3 求出下列等比数列中的未知项: ⑴ 2, a,8 ; 解:⑴根据题意,得 ⑵ ?4, b, c,

1 2
所以 a ? 4 或 a ? ?4 .

a 8 ? , 2 a

?b c ? ?4 ? b , ?b ? 2, ? ⑵根据题意,得 ? 1 解得 ? 所以 b ? 2, c ? ?1 ?c ? ?1. ?2 c ? ? , ?c b
注: ①如果 a, G, b 三个数成等比数列, 那么 G ? ab ; 如果 G ? ab , 则 a, G, b 三个数成等比数列. 我
2 2

们把 G ? ? ab 叫做 a 和 b 的等比中项.

2

由上面的⑴可以直接用结论,得出 a ? ? 2 ? 8 ? ?4 . ②由等比数列的定义,我们知道 b ? ?4q , c ? ?4q ,
2

1 ? ?4q3 ,其中 q 是此等比数列的公边,于是可 2

得q ? ?

1 , b ? 2 , c ? ?1 . 2
2

例 4⑴在等比数列 ? an ? 中,是否有 an ? an ?1an ?1 ? n ≥ 2 ? ? ⑵在数列 ? an ? 中,如果对于任意的正整数 n ? n ≥ 2 ? ,都有 an ? an ?1an ?1 ,那么数列 ? an ? 一定是等比数列
2

吗? 解:⑴因为 ? an ? 是等比数列,所以

an ?1 a 2 ? an ?1an ?1 ? n ≥ 2 ? 成立. ? n ,即 an an an ?1
2

⑵不一定.例如对于数列 0, 0, 0,? ,总有 an ? an ?1an ?1 ,但这个数列不是等比数列. 这一点与等差数列有明显的区别.

练习:P47:1-5;49:1-2
小结 1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式; 2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比; 3.用方程的思想认识通项公式,并加以应用. 作业: P49:1,2,3

3


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