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广东省广州增城市增城中学2016届高三12月五校联考数学(理)试卷

  2015-2016 学年度 12 月月考

  五校联考高三年级数学(理)科试题

  命题学校:三水中学

命题人:黄毅峰

审题人:潘毅佳

  本试卷共 4 页 24 小题满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项:

  1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目

  2 选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内

  3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作 答的答案无效 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.

  参考公式:①,其中为锥体的底面积,为锥体的高.

  ②方差,其中为样本的平均数.

  一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

  1.已知集合,.若,则实数的值是( ).

  A.

C.或

D.或或

  2.在复平面内,复数对应的点位于

  A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

  A.C.的焦距为,点在的一条渐近线上,则的方程为( ).

  A.B.C.D. ,在区间上随机取一个实数,若事件“”发生的概率为,则的值为( ).

  A.B.C.

  6.已知实数满足约束条件,则的取值范围是( ).

  A.B.C.D..函数的部分图象如图所示,则的值分别是 A.

C. D.

  某程序框图如图所示该程序运行后输出的值是,则 A. B. C. D.

  9.已知数列的首项,数列为等比数列,且,若,则( ).

  A.

C.

D.

  10.设点为球的球面上三点,为球心.球的表面积为,且是边长为的正三角形,则三棱锥的 体积为( ).

  A.12   B.12  C. 24  D. 36

  11.已知的面积为 1,为直角顶点,设向量,,,则的最大值为( ).

  A.1    B.2    C. 3    D. 4

  12. 定义在上的函数满足:,,是的导函数,

  则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为( ).

  A. B. C. D.

  二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

  13.若的展开式中项的系数为则.()的最大值为



  15.,若,则实数的取值范围是



  16.在中,,则

  17.(本题满分 12 分)

  已知等差数列的前项和为,且,.

  (1)求数列的通项公式;

  (2)若,求的值和的表达式.

  18. (本小题满分 12 分)

  是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世卫组织 设定的最宽限值.即日均值在微克/立方米以下空气质量为一级;在微克/立方米——微克/ 立方米之间空气质量为二级;在微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区今年 9 月每天的监测数据中,按系统抽样方法抽取了某 6 天的数据作为样本,其监测值如下茎叶图所 示.

  (l)根据样本数据估计今年 9 月份该市区每天的平均值和方差;

  (2)从所抽样的 6 天中任意抽取三天,记表示抽取的三天中空气质量为二级的天数,求的分 布列和数学期望.

  19.(本小题满分 12 分)

  如图,在三棱柱中,△是边长为的等边三角形,平面,点是的中点,∥平面.

  (1)求证:点是的中点;   (2)若时,求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.   20.(本小题满分 12 分)   已知椭圆的右焦点,且经过点.   (1)求椭圆的方程;   (2)若直线与椭圆相切,过作,垂足为,求证:为定值(其中为坐标原点).   21.(本小题满分 12 分)   已知函数,其中为实数.   (1)当时,求曲线在点处的切线方程;   (2)是否存在实数,使得对任意,恒成立?若不存在,请说明理由,若存在,求出的值并加 以证明.   请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.   22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲   如图所示,为的直径,为的中点,为的中点.   ()求证:;   ()求证:.   (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程中,已知曲线(为参数),在以为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线.   (l)求曲线与的交点的直角坐标;   (2)设点分别为曲线,上的动点,求的最小值.   24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲   已知,()当时,解不等式;   ()若恒成立,求的取值范围.   

  一. CDBAD DAACB AA 二.13.;14.;15.;16.

  17.解:(1),.…5 分;(2),即:

  所以:当时,,当时,

………6 分

  ,,

  所以:

………8 分

  时,;时,.

  即.

………12 分

  18. 解:(1)

  ………4 分

  根据样本估计今年 9 月份该市区每天的平均值为:微克/立方米,方差为 137。………5 分(2) 从茎叶图知,所抽样的 6 天中有 2 天空气质量为一级,有 4 天空气质量为二级,则可能取的值 为,其中,,,…10 分

  所以的分布列为

  ,的数学期望为。………12 分

  19.证明:(1)取的中点,连结,,设

………1 分

  由作图过程易得:四边形为平行四边形,

  在中,点是的中点,点是的中点,………3 分

  又∥平面. 平面,且平面平面

  ,又

  四边形为平行四边形,

  点是的中点。

………6 分

  (2)由(1)知,又平面

  平面

  又是边长为的等边三角形,点是的中点,

  且

  如图建立空间直角坐标系,设,………7 分

  则,,,,

  ,,由可知:………8 分

  由轴平面可得:平面的一个法向量………9 分

  设平面的一个法向量为,由 得:

  令,则, ………10 分 ,………11 分

  所以,平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值为

  20.解:(1)由题意可设椭圆的左焦点为,则半焦距

  由椭圆定义可知:

  所以,,所以椭圆的方程为

………4 分

  (2)①当直线的斜率不存在时,的方程为:,或,此时;

  ②当直线的斜率为时,的方程为:,或,此时;…5 分

  ③当直线的斜率存在且不为时,设为,其方程可设为()

  ,直线的方程可设为:

  由消去可得:

………6 分

  直线与椭圆相切,

  整理得:(*)

  由,解得

………9 分

  所以

  将(*)式代入:

  综上所述:,为定值.

  21.解:⑴时,,,

………1 分

………12 分 ………1 分
………7 分 ………12 分

  ,又,所以切线方程为.

………4 分

  ⑵①当时,,则

  令,,

………6 分

  再令,

  当时,∴在上递减,∴当时,,

  ∴,所以在上递增,,所以………8 分

  ②时,,则

  由①知当时,在上递增,当时,,

  ,所以在上递增,∴,∴;………11 分

  综合①②得:.………12 分

  22.证明:(1)(略)5 分;(2)因为为圆弧的中点,所以,又,

  则,又因为 所以∽,所以,

  ,,………10 分

  23.(l)曲线,消去参数,得:,①

  曲线②,

  联立①②,消去可得:或(舍去),所以………5 分

  (2)曲线,是以为圆心,半径的圆

  设圆心,点到直线的距离分别为,则:

  ,所以的最小值为.………10 分

  24.解:(1)当时, ,当时,不等式不成立;当时,由,得;当 x>2 时,不等式必成立.

  综上,不等式的解集为. ………5 分

  (2)因为,当且仅当时取等号.

  所以的最大值为 12.故 k 的取值范围是.………10 分

  

  否   是   ?结束   输出 S   k=k+1   S=S+   k>a?   S=1,k=1   开始


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