一元二次不等式复习_图文

一元二次不等式

一元二次不等式
? 复习二次函数的图象,观察图象与x轴的各 种位置关系 ? 二次函数、一元二次方程、一元二次不等 式是一个有机的整体。 ? 通过函数把方程与不等式联系起来,我 们可以通过对方程的研究利用函数来解一 元二次不等式。

⑴ ax2+bx+c=0 (a>0)有两个不等实根 x1>x2 则 ax2+bx+c>0的解为x> x1或x< x2 ax2+bx+c <0的解为x2<x< x1 ⑵ ax2+bx+c=0(a>0)若无实根即△<0 则 ax2+bx+c>0的解为R ax2+bx+c<0的解为φ ⑶ ax2+bx+c=0(a>0) 若有两相等实根 x 1 = x2 则 ax2+bx+c>0的且解为x≠x1且X∈R ax2+bx+c<0的解为φ a<0 同理可得以上规律 注:解一元二次不等式实质上是通过解 一元二次方程来确定解, 通过式子>(≥)0还是<(≤)0来确定解的 范围 !

y
x2
x1

0

x

y x

0

y
x1

0

x

例1.求不等式x2-2x-15≥0(x∈R)的解集。 解:∵ 方程x2-2x-15=0的两根为x=-3,x=5 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5或x ≤-3 }。 例2 已知集合A={x│ x2 -ax ≤x-a} B={x│1≤x≤3}, 若A∩B=A求实数a取值范围 解:A∩B=A,则A ?B 而A :若a≥1 则1≤x≤a 1≤a≤3 若a<1 则 a≤x≤1 那么A ∴a取值范围是1≤a≤3
a

B

a 1



3

例3(变)求不等式x2-2│x│-15≥0(x∈R)的解集。 解法1:(对x讨论) y 当x>0时,原不等式可化为x2 -2x-15≥0 由例1 可知解为x≥5或 x≤-3 ∵ x> 0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 } 0 X 2 当x ≤0时,原不等式可化为x +2x-15≥0 则不等式的解为x≥3或x ≤-5 ∵x≤0 ∴ 不等式的解集为{x│x≤-5 } 由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤-5 }。 解法2:(利用函数奇偶性) 当x>0时,原不等式可化为x2 -2x-15≥0 又 x2 -2x-15≥0的解为x≥5或x ≤-3∵x>0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 } ∵函数f(x)= x2 -2│x│-15为偶函数∴原不等式的解为{x│x≥5 或x≤-5 }。 解法三:转化为 | x|2-2│x│-15≥0(x∈R) 来求解.

(换元法)设│x│ =t,则t ≥ 0原不等式可化为t2 -2t-15≥0 由例1 可知解为t≥5或t≤-3 ∵t ≥ 0 ∴ 不等式的解集为{t│t≥5 } ∴ │x│≥5 ∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤-5 }。 二.应用 1集合问题 例4(1)已知一元二次不等式a x2 +bx+6>0 的解集 为{x │- 2 <x<3},求a-b的值 解:一元二次不等式是通过一次方程的根来确定 则可以理解为方程a x2 +bx+6=0的根-2,3 又∵解在两根之间 ∴a<0 ∴ c/a =-6∴a=-1 -b/a=-2+3=1∴b=1 则a-b=-2

2.定义域问题 例5求函数f(x)= x2-6x+8 的定义域。 解: ∴ x2-6x+8≥0的解为x≥4或x≤2 ∴原不等式的解集为{x│x≥4或x≤2 } 例6(变)函数f(x)= kx2 -6kx+(k+8)的定义域为R (K>0) 求K的取值范围 解:∵函数f(x)= kx2 -6kx+(k+8) y 的定义域为R且K>0 ∴只要△≤0 即(6k)2-4k(k+8)=32k2-32K≤0 X 0 ∴ 0≤k≤1 又K>0 ∴ 0<k≤1

? ? ? ? ? ? 1. 2. 3.

例67解关于x的不等式 kx2-2x+k<0 分析:1.kx2-2x+k<0未必就是一元二次不等式. 2.即便是k≠0,抛物线y=kx2-2x+k的开口方向也未确定. 既如此,则需首先围绕 x2的系数来展开讨论.分别在 k=0 、k> 0、 k< 0 的前提下,进一步探讨不等式的解集. 解:1.当k=0时,原不等式即为 -2x<0,故解集为 {x | x>0}; 2.当k<0时,由判别式△=4-4k2=-4(k+1)(k-1) 可知: 当k<-1时,△<0,原不等式的解集为全体实数R; 当k=-1时,△=0,原不等式的解集为 x≠-1的实数; 当-1<k<0时,△>0,原不等式的解集为

1+ 1-k2 1- 1-k2 {x | x< 或 x> }. k k
3. 当k>0时,亦由判别式△=4-4k2=-4(k+1)(k-1) 可知: 1.当k>1时,△<0,原不等式的解集为空集φ; 2.当k=1时,△=0,原不等式的解集为空集φ; 3.当0<k<1时,△>0,原不等式的解集为

1- 1-k2 1+ 1-k2 {x | <x< } k k

练习 1若A={x│-1≤x≤1} B={x│x2+(a+1)x+a≤0} 若A∩B=B求a的取值范围

2函数的f(x)= x2+2ax+3定义域为R求a的取什范围
3求函数y=x2+ax-3 , x∈[0,2]的最值

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爷奶奶听好!”老奶奶说:“俺们也不会点什么,你随意拉哇,拉什么爷爷奶奶都爱听呢!”老爷爷也说:“昨儿个拉的就挺 好听呢!挑拣你顺手的拉就最好了。”于是,耿正轻松优雅地拉起来,拉了一曲又一曲。耿直高兴了,竟然跟着二胡的乐曲儿 在那里比划着演唱起来!逗得两位老人家高兴地笑个不停。一直到很晚了,老人家的院子里还充满了欢声和笑语。次日清晨临 走之前,耿老爹取出一些银子要给老夫妇留下,但两位老人执意不收。老妇人说:“你们爷儿四个带给俺们的欢乐用多少银子 也买不来哇!”老爷子说:“你们爷儿四个什么时候返回来了,可一定要再来啊!”耿老爹满口答应:“俺们返回来的时候, 一定会再来看望二位老人家的,请二老保重!”双方依依不舍告别不提。按照老人家的指点,耿家父子四人乘坐驴车来到村东 二里远的“滩头村渡口”,并且顺利地登上了一条大渡船。船家担心从来没有乘过船的驴子怕水,在上船之前还用黑布把它的 眼睛给蒙上了。这样,耿家父子四人连同驴和车,顺顺当当地一起渡过了黄河。重新上车南行之前,父子四人都回头看了看。 与对岸的情况一样,码头旁边一块儿巨大的石头上也刻着“滩头村渡口”五个大字。耿老爹说:“记着啊,俺们将来回来的时 候还从这里渡河。过去后,一定要带上南方的特产去看望两位好心的老人家!”131第十一回 五道庙前许下愿|(纵然从未敬 过香,出发之时也彷徨;五道庙前许下愿,造福乡里看俺们。)在慢慢敞亮起来的晨光中,那头非常通人性的黑灰色大毛驴精 神抖擞地拉起平车,载着一车行囊和耿家父子们的满怀希望,昂首疾步“哒哒哒”向南而去,转眼之间就来到了丁字路口的五 道庙前。无数年以来,每年的八月十五节前后三日内,这座五道庙的庙门都是敞开着的。端坐在庙堂里的五道爷,无比幸福安 逸地享受着“三六九镇”上淳朴乡民们虔诚的香火和供奉说起来,识文断字,并且曾经走南闯北,颇晓得一些古今文化知识的 耿老爹并不是一个特别迷信的乡巴佬,而他的妻子郭氏也很受其影响,并不咋喜欢做那些个烧香拜佛的事情;所以,他和家人 从来都没有专门来这里给五道爷敬过香。平日里,凡是和乡民们说起来这一类事情的时候,耿老爹经常会置之一笑,然后轻轻 地说一句:“哦,这事情嘛,敬神神常在,不敬也不怪!”然而如今,当他就要带着自己的三个儿女背井离乡,去一个完全陌 生的地方打拼创业的时候,那种对于渺渺前程既怀有无比美好的憧憬,而同时又难免忐忑不安的复杂心情,使他不由自主地打 心眼儿里很想把自己此时此刻的全部想法,郑重地亲口告诉给这位千百年来一直安坐在这个丁字路口上,“保佑”着全镇乡民 们平安过日子的五道爷事实上,耿老爹早


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