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上海市吴淞中学2011-2012学年高二上学期期末考试试题

2011上海市吴淞中学 2011-2012 学年 高二上学期期末考试数学试题
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 填空题( 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果, 否则一律得零分。 直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.若向量 a = ( ?1, 2) , b = (2,1) ,则 2a ? b 等于

r

r

r

r

.5

2.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,与直线 AD1 异面,且与 AD1 所成角为 60° 的面对角线共 有 条.4

3.增广矩阵为 ? ?

?1 1 3 ? ?x = 2 ? 的线性方程组的解为________________. ? ? ?1 ? 1 1 ? ?y = 1

1 2 3
4.行列式 4

1 3 5 6 中元素 8 的代数余子式为______________. ? =6 4 6 7 8 9

5.已知| a |= 4 ,| b |= 2 , a 与 b 的夹角为
n

r

r

r

r

π
3

r

,则 b 在 a 上的投影为_____________.1

r

6.已知极限 lim(1 + x) 存在,则实数 x 的取值范围是____________. (?2,0]
n →∞

7.球的表面积为 16π cm ,则球的体积为___________ cm .
2 3

32π 3

8.已知 e1 , e2 是两个不共线的平面向量,向量 a = 2e1 ? e2 , b = e1 + λ e2 (λ ∈ R ) ,若 a // b , 则 λ =_____________. ?

1 2
.

9.已知数列 {a n } 中, a1 = 4, a n +1 = 3a n ? 4 ,则数列 {a n } 的前 n 项和 S n =

a n = 2 ? 3 n ?1 + 2, S n = 3 n ? 1 + 2n
10.若取地球的半径为 6371 米,球面上两点 A 位于东经 121 27 ′ ,北纬 31 8′ , B 位于东经
0 0

1210 27 ′ ,北纬 25 0 5′ ,则 A 、 B 两点的球面距离为_____________千米(结果精确到 1 千
米). 673
1 1 1 + + ??? + a a2 an 11.已知正数数列 {an } ( n ∈ N ? )定义其“调和均数倒数” Vn = 1 ( n∈ N? ) , n

那么当 Vn =

1 n +1 时, a 2012 =_______________. 2 2012

12.如图,由编号 1 , 2 ,…, n ,…( n ∈ N* 且 n ≥ 3 )的圆柱自下而上组成.其中每一个

圆柱的高与其底面圆的直径相等,且对于任意两个相邻圆柱,上面圆柱的高是 下面圆柱的高的一半.若编号 1 的圆柱的高为 4 ,则所有圆柱的体积的和为 _______________(结果保留 π ) .

… …
3
2 1

n

128π 7 13.若 {an } 是等差数列, m, n, p 是互不相等的正整数,有正确的结论:

(m ? n)a p + (n ? p )am + ( p ? m)an = 0 ,类比上述性质,相应地,若等比数列 {bn } , m, n, p 是互不相等的正整数,有_________. b p
m? n

? bm

n? p

? bn

p ?m

=1

14.如图 1,一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰 块,容器内盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将容器倒置, 水面也恰好过点 P (图 2).有下列四个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半; B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P ; C. 任意摆放该容器, 当水面静止时, 水面都恰好经过点 P ; D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满. 其中真命题的代号是:___________________(写出所有

第 12 题

P P

图 1
真命题的代号) .B,D 第 14 题

图 2

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题 选择题( 有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑, 有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选 否则一律得零分。 对得 5 分,否则一律得零分。 15.用一个平面去截正方体,所得截面不可能是 ( D A.平面六边形 B.菱形 C.梯形 ) D.直角三角形

16.如图, P 为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的中心,△ PAC 在该正方体各个面上的射影可 能是( C )
D1 A1 P D A B C B1 C1

(1)

(2)

(3)

(4)

A.(1)、(2)、(3)、(4) B.(1)、(3) C.(1)、(4) D.(2)、(4) 17.给出下列命题:(1)三点确定一个平面;(2)在空间中,过直线外一点只能作一条直线与 该直线平行;(3)若平面 α 上有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α // β ;(4)若直线

a, b, c 满足 a ⊥ b, a ⊥ c 则 b // c .其中正确命题的个数是 ( B
A. 0 B. 1 C. 2 18.点 O 在 ?ABC 所在平面内,给出下列关系式: (1) OA + OB + OC = 0 ; D. 3

)

(2) OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ;

? ? ? ? ? AC AB ? ? BC BA ? (3) OA ? ? ? = OB ? ? ? = 0; ? AC AB ? ? ? BC BA ? ? ? ? ? ?
(4) (OA + OB ) ? AB = (OB + OC ) ? BC = 0 . 则点 O 依次为 ?ABC 的 ( C ) A.内心、外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心、垂心 C.重心、垂心、内心、外心 D.外心、内心、垂心、重心 解答题( 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤。 规定区域内写出必要的步骤。 19.(本题满分 12 分) ( 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器,如图,已知该圆锥的母 线与底面所在平面的夹角为 45 ,容器的高为 10cm .制作该 容器需要多少面积的铁皮?该容器的容积又是多少?(衔接部 分忽略不计,结果精确到 0.1cm ) 解:由已知得该容器的底面半径 r = 10 ,母线 h / = 10 2 , 其侧面积 S 侧 = πrh = 100 2π ≈ 444.3(cm ) ;
/ 2
2 0

其体积 V =

1 2 1000π πr h = ≈ 1047.2(cm 3 ) 3 3
2 3

答:该容器需要铁皮的面积约是 444.3cm ,该容器的容积约是 1047.2cm . 20.(本题满分 14 分) ( (文科同学做)已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是底面边长为 1 的正四棱 柱,高 AA1 = 2 .求: ⑴ 异面直线 BD 与 AB1 所成的角的大小(结果用反三角函数表 示) ; ⑵ 四面体 AB1 D1C 的体积. 解:⑴ 连 BD, AB1 , B1 D1 , AD1 ,∵

BD // B1 D1 , AB1 = AD1 ,

∴ 异面直线 BD 与 AB1 所成角为 ∠AB1 D1 ,记 ∠AB1 D1 = θ ,

cos θ =

AB12 + B1 D12 ? AD12 10 = 2 AB1 × B1 D1 10
10 . 10



异面直线 BD 与 AB1 所成角为 arccos

⑵ 连 AC , CB1 , CD1 ,则所求四面体的体积

1 2 V = VABCD ? A1B1C1D1 ? 4 × VC ? B1C1D1 = 2 ? 4 × = . 3 3
20.(理科同学做)已知 ABCD ? A1 B1C1 D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, O1 是 A1C1 和 B1 D1 的交点. ⑴设 AB1 与底面 A1 B1C1 D1 所成的角的大小为 α , 二面角
A B D

A ? B1 D1 ? A1 的大小为 β ,试确定 tan α 与 tan β 的一
个等量关系,并给出证明; ⑵ 若 点 C 到 平 面 AB1 D1 的 距 离 为

C

4 ,求正四棱柱 3
A1 O1 C1 D1

ABCD ? A1 B1C1 D1 的高.
解:设正四棱柱的高为 h . ⑴ 连 AO1 , AA1 ⊥ 底面 A1 B1C1 D1 于 A1 ,∴ AB1 与底 面 A1 B1C1 D1 所成的角为 ∠AB1 A1 ,即 ∠AB1 A1 = α . ∵ AB1 = AD1 , O1 为 B1 D1 中点,∴ AO1 ⊥ B1 D1 ,又
B
B1

A

D C

A1O1 ⊥ B1 D1 ,


∠AO1 A1 是 二 面 角 A ? B1 D1 ? A1 的 平 面 角 , 即
B1

A1 O1 C1
z A B

D1

∠AO1 A1 = β .
tan α =



AA1 AA1 = h , tan β = = 2h = 2 tan α . A1 B1 A1O1

D C



建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系 , 有

A(0, 0, h), B1 (1, 0, 0), D1 (0,1, 0), C (1,1, h)
A1 D1 B1 x O1 C1 y

uuuu r uuuur uuur AB 1 = (1,0, ? h), AD 1 = (0,1, ? h), AC = (1,1, 0)
设平面 AB1 D1 的一个法向量为 n = ( x, y , z ) ,

r

r uuur r uuur r ? n ⊥ AB1 ? n ? AB1 = 0 ? ? ∵ ? r uuuu ? ? r uuuu ,取 z = 1 得 n = ( h, h,1) r r ?n ⊥ AD1 ?n ? AD1 = 0 ? ? r uuur | n ? AC | 4 h+h+0 r ∴ 点 C 到平面 AB1 D1 的距离为 d = = = ,则 h = 2 . 2 2 |n| h + h +1 3
21.(本题满分 14 分) ( 已知向量 m = ( a , ? a ), n = ( a , a ) ,其中 a > 0 且 a ≠ 1 ,
x x

(1)当 x 为何值时, m ⊥ n ; (2)解关于 x 的不等式

m+n < m?n .

22.(本题满分 16 分) ( 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面

ABCD 是 矩 形 . 已 知

AB = 3, AD = 2, PA = 2, PD = 2 2 , ∠PAB = 60 o .
(1)证明 AD ⊥ 平面 PAB ; (2)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (3)求二面角 P ? BD ? A 的大小. 解:(1)证明:在 ?PAD 中,由题设 PA = 2, PD = 2 2 可得

PA 2 + AD 2 = PD 2 于是 AD ⊥ PA .在矩形 ABCD 中, AD ⊥ AB .
又 PA I AB = A , 所以 AD ⊥ 平面 PAB . (2)解:由题设, BC // AD ,所以 ∠PCB (或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在 ?PAB 中,由余弦定理得

PB = PA 2 + AB 2 ? 2 PA ? AB ? cos PAB = 7
由(1)知 AD ⊥ 平面 PAB , PB ? 平面 PAB ,

所以 AD ⊥ PB ,因而 BC ⊥ PB ,于是 ?PBC 是直角三角形,故 tan PCB =

PB 7 = . BC 2

所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 arctan

7 . 2

23.(本题满分 18 分) ( 各项均为正数的数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,满足 2( S n + 1) = a n + a n ( n ∈ N ) .
2 *

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 b1 = 2, bn +1 = 2bn ( n ∈ N ) ,数列 {c n } 满足
*

?a n , n = 2k ? 1, cn = ? (k ∈ N * ) , 数列 {c n } 的前 n 项和为 Tn , Tn ; 求 bn , n = 2k , ?
(3) 若数列 Pn =

n2 + 24n(n ∈ N * ) , 甲同学利用第 (2) 问中的 Tn , 4
*

试图确定 T2 k ? P2 k (k ∈ N ) 的值是否可以等于 2011?为此,他设 计了一个程序 (如图) 但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个 , “死循环” (即程序会永远循环下去,而无法结束) ,你是否同意乙 同学的观点?请说明理由. 解: (1) n = 1,2( S1 + 1) = a12 + a1 ? a1 = 2 ,
2 2 n ≥ 2 , 2( S n + 1) = a n + a n , 2( S n?1 + 1) = a n ?1 + a n?1 ,

两式相减,得 2a n = a n ? a n ?1 + a n ? a n ?1 ,Q a n > 0,∴ a n ? a n ?1 = 1 ,
2 2

{a n } 为等差数列,首项为 2,公差为 1,∴ a n = n + 1 .
(2) {bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,∴ bn = 2
n

∴ d 4 < d 6 < d8 < d10 < 2011 < d12 < d14 < L , 且d 2 < 2011 ∴ d n ≠ 2011, 即Tn ? Pn ≠ 2011(n为偶数)
∴ 乙同学的观点正确.


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