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3.1.1随机事件的概率3.1.2概率的意义


第三章

概 率

3.1
3.1.1

随机事件的概率
随机事件的概率

问题提出

1.日常生活中,有些问题是能够准确回 答的.例如,明天太阳一定从东方升起吗? 明天上午第一节课一定是八点钟上课吗? 等等,这些事情的发生都是必然的.同时 也有许多问题是很难给予准确回答的.例 如,你明天什么时间来到学校?明天中 午12:10有多少人在学校食堂用餐?你 购买的本期福利彩票是否能中奖?等等, 这些问题的结果都具有偶然性和不确定 性.

2.从辨证的观点看问题,事情发生的 偶然性与必然性之间往往存在有某种 内在联系.例如,长沙地区一年四季的 变化有着确定的、必然的规律,但长 沙地区一年里哪一天最热,哪一天最 冷,哪一天降雨量最大,那一天下第 一场雪等,都是不确定的、偶然的.

知识探究(一):必然事件、不可能事件和 随机事件

思考1:考察下列事件: (1)导体通电时发热; (2)向上抛出的石头会下落; (3)在标准大气压下水温升高到100°C 会沸腾.
这些事件就其发生与否有什么共同特点?

思考2:我们把上述事件叫做必然事件

在条件S下,一定会发生的事件,叫做 相对于条件S的必然事件. 思考3:考察下列事件: (1)在没有水分的真空中种子发芽; (2)在常温常压下钢铁融化; (3)服用一种药物使人永远年轻.
这些事件就其发生与否有什么共同特点?

思考4:我们把上述事件叫做不可能事件, 你指出不可能事件的一般含义吗?
在条件S下,一定不会发生的事件,叫 做相对于条件S的不可能事件

思考5:考察下列事件:

(1)某人射击一次命中目标; (2)马林能夺取北京奥运会男子乒乓球 单打冠军; (3)抛掷一个骰字出现的点数为偶数.
这些事件就其发生与否有什么共同特点?

思考6:我们把上述事件叫做随机事件, 你指出随机事件的一般含义吗? 在条件S下,可能发生也可能不发生的 事件,叫做相对于条件S的随机事件.

思考7:必然事件和不可能事件统称为确 定事件,确定事件和随机事件统称为事 件,一般用大写字母A,B,C,…表示.

知识探究二):事件A发生的频率与概率

物体的大小常用质量、体积等来 度量,学习水平的高低常用考试分数 来衡量.对于随机事件,它发生的可能 性有多大,我们也希望用一个数量来 反映.

思考1:在相同的条件S下重复n次试验, 若某一事件A出现的次数为nA,则称nA 为事件A出现的频数,那么事件A出现的 频率fn(A)等于什么?频率的取值范围 是什么?

nA fn (A ) = n

[0,1]

思考2:历史上曾有人作过抛掷硬币的大量
重复试验,结果如下表所示: 抛掷次数 正面向上次数 频率 0.5

2 048 4 040 12 000 24 000 30 000 72 088

1 061 2 048 6 019 12 012 14 984 36 124

0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4996 0.5011

在上述抛掷硬币的试验中,正面向上发生的 频率的稳定值为多少?

思考3:某农科所对某种油菜籽在相同条 件下的发芽情况进行了大量重复试验, 结果如下表所示: 0.9
130 310 700 1500 2000 3000 每批粒 2 5 10 70 数 116 282 639 1339 1806 2715 发芽的 2 4 9 60 粒数 发芽的 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 频率

在上述油菜籽发芽的试验中,每批油菜 籽发芽的频率的稳定值为多少?

思考4:上述试验表明,随机事件A在每 次试验中是否发生是不能预知的,但是 在大量重复试验后,随着试验次数的增 加,事件A发生的频率呈现出一定的规 律性,这个规律性是如何体现出来的? 事件A发生的频率较稳定,在某 个常数附近摆动.

思考5:既然随机事件A在大量重复试验 中发生的频率fn(A)趋于稳定,在某个常 数附近摆动,那我们就可以用这个常数 来度量事件A发生的可能性的大小,并把 这个常数叫做事件A发生的概率,记作 P(A).那么在上述抛掷硬币的试验中, 正面向上发生的概率是多少?

思考8:必然事件、不可能事件发生的概 率分别为多少?概率的取值范围是什么? 思考9:概率为1的事件是否一定发生? 概率为0的事件是否一定不发生?

理论迁移 例1 判断下列事件哪些是必然事件,哪 些是不可能事件,哪些是随机事件? (1)如果a>b,那么a一b>0; (2)在标准大气压下且温度低于0°C时, 冰融化; (3)从分别标有数字l,2,3,4,5的5 张标签中任取一张,得到4号签; (4)某电话机在1分钟内收到2次呼叫; 〈5)手电筒的的电池没电,灯泡发亮; (6)随机选取一个实数x,得|x|≥0.

例2 某射手在同一条件下进行射击,结 果如下表所示:
射击次数n
m 击中靶心次数 m
击中靶心的频率

10 9

20 19

50 44

100 200 500 91 178 455
0.91

n

击中靶心的频率 m
n

0.9 0.95 0.88 0.92 0.89

(1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概 率约是多少? 0.90

探究(一): 概率的正确理解 思考1:连续两次抛掷一枚硬币,可能会 出现哪几种结果?
“两次正面朝上”,“两次反面朝 上”,“一次正面朝上,一次反面朝 上”. 思考2:抛掷—枚质地均匀的硬币,出现 正、反面的概率都是0.5,那么连续两次 抛掷一枚硬币,一定是出现一次正面和 一次反面吗?

思考3:围棋盒里放有同样大小的9枚白 棋子和1枚黑棋子,每次从中随机摸出1 枚棋子后再放回,一共摸10次,你认为 一定有一次会摸到黑子吗?说明你的理 由. 不一定.摸10次棋子相当于做10次重 复试验,因为每次试验的结果都是随 机的,所以摸10次棋子的结果也是随 机的.可能有两次或两次以上摸到黑 子,也可能没有一次摸到黑子,摸到 黑子的概率为1-0.910≈0.6513.

思考5:如果某种彩票的中奖概率为
1 ,那么买1000张这种彩票一定能 1000

中奖吗?为什么?

不一定,理由同上. 买1 000张这种彩 票的中奖概率约为 1-0.9991000≈0.632,即有63.2%的可能 性中奖,但不能肯定中奖.

探究(二):游戏的公平性

随机事件无处不有,生活中处处有 概率.利用概率思想正确处理、解释实际 问题,应作为学习的一重要内容.
思考1:在一场乒乓球比赛前,必须要 决定由谁先发球,并保证具有公平性, 你知道裁判员常用什么方法确定发球权 吗?其公平性是如何体现出来的?

裁判员拿出一个抽签器,它是 -个像大硬币似的均匀塑料圆板,一面 是红圈,一面是绿圈,然后随意指定一 名运动员,要他猜上抛的抽签器落到球 台上时,是红圈那面朝上还是绿圈那面 朝上。如果他猜对了,就由他先发球, 否则,由另一方先发球. 两个运动员取 得发球权的概率都是0.5.

思考2:某中学高一年级有12个班,要从 中选2个班代表学校参加某项活动。由于 某种原因,一班必须参加,另外再从二 至十二班中选1个班.有人提议用如下的 方法:掷两个骰子得到的点数和是几, 就选几班,你认为这种方法公平吗?哪 个班被选中的概率最大? 不公平,因为各班被选中的概率不全相 等,七班被选中的概率最大.

思考3:如果连续10次掷一枚骰子,结果 都是出现1点,你认为这枚骰子的质地是 均匀的,还是不均匀的?如何解释这种 现象? 这枚骰子的质地不均匀!标有6点的那面 比较重,会使出现1点的概率最大,更有 可能连续10次都出现1点. 如果这枚骰子 的质地均匀,那么抛掷一次出现1点的概 率为,连续10次都出现1点的概率 ?1? 为 ? . ? ? 0.000000016538 ?6? 这是一个小概率事件,几乎不可能发生.
10

如果我们面临的是从多个可选 答案中挑选正确答案的决策任务,那么 “使得样本出现的可能性最大”可以作 为决策的准则,这种判断问题的方法称 为极大似然法.

思考4:天气预报是气象专家依据观测到 的气象资料和专家们的实际经验,经过 分析推断得到的.某地气象局预报说,明 天本地降水概率为70%,能否认为明天本 地有70%的区域下雨,30%的区域不下雨? 你认为应如何理解? 降水概率≠降水区域;明天本地下雨的 可能性为70%.

思考5:天气预报说昨天的降水概率为 90%,结果昨天根本没下雨,能否认为 这次天气预报不准确?

不能,概率为90%的事件发生的可能性 很大,但“明天下雨”是随机事件,也 有可能不发生.

思考6:奥地利遗传学家孟德尔从1856年开始 用豌豆作试验,他把黄色和绿色的豌豆杂交, 第一年收获的豌豆都是黄色的.第二年,他把 第一年收获的黄色豌豆再种下,收获的豌豆既 有黄色的又有绿色的.同样他把圆形和皱皮豌 豆杂交,第一年收获的豌豆都是圆形的.第二 年,他把第一年收获的圆形豌豆再种下,收获 的豌豆却既有圆形豌豆,又有皱皮豌豆.类似 地,他把长茎的豌豆与短茎的豌豆杂交,第一 年长出来的都是长茎的豌豆. 第二年,他把这 种杂交长茎豌豆再种下,得到的却既有长茎豌 豆,又有短茎豌豆.试验的具体数据如下:

豌豆杂交试验的子二代结果 性状 显性 子叶的 黄色 6022 颜色 圆形 种子的 5474 性状 茎的高度 长茎 787 隐性 绿色 2001 皱皮 短茎 1850

277

你能从这些数据中发现什么规律吗?

孟德尔的豌豆实验表明,外表完全相同 的豌豆会长出不同的后代,并且每次试 验的显性与隐性之比都接近3︰1,这种 现象是偶然的,还是必然的?我们希望 用概率思想作出合理解释.

对于豌豆的颜色来说.Y是显性因子,y是隐 性因子.当显性因子与隐性因子组合时,表现 显性因子的特性,即YY,Yy都呈黄色;当两 个隐性因子组合时才表现隐性因子的特性, 即yy呈绿色. 在第二代中YY,Yy,yy出现的概率分别是多 少?黄色豌豆与绿色豌豆的数量比约为多少?
1 1 1 1 1 1 P ( yy ) ? ? ? P ( yy ) ? ? ? 2 2 4 2 2 4 1 1 1 P(Yy ) ? 1 ? ? ? 4 4 2

黄色豌豆(YY,Yy)︰绿色豌豆(yy)

知识迁移 例1 为了估计水库中的鱼的尾数,先 从水库中捕出2 000尾鱼,给每尾鱼作上 记号(不影响其存活),然后放回水 库.经过适当的时间,让其和水库中其 余的鱼充分混合,再从水库中捕出500尾 鱼,其中有记号的鱼有40尾,试根据上 述数据,估计这个水库里鱼的尾数.

小结作业

1.概率是频率的稳定值,根据随机事件发生 的频率只能得到概率的估计值. 2.随机事件A在每次试验中是否发生是不能预 知的,但是在大量重复试验后,随着试验次 数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间 [0,1]内的某个常数上(即事件A的概率), 这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越 大,也就是事件A发生的可能性就越大;反之, 概率越接近于0,事件A发生的可能性就越 小.因此,概率就是用来度量某事件发生的 可能性大小的量.

3.任何事件的概率是0~1之间的一个确定的 数,小概率(接近0)事件很少发生,大概率 (接近1)事件则经常发生,知道随机事件的 概率的大小有利于我们作出正确的决策.

作业: P123 练习:2,3.


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