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2018版高中数学第三章不等式3.3.3简单的线性规划问题(一)课件苏教版必修5_图文

第3章 §3.3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题 3.3.3 简单的线性规划问题(一) 学习目标 1.了解线性规划的意义. 2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基 本概念. 3.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的 实际问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 引例 ?x+2y≤8, ? ?4x≤16, ? 已知 x,y 满足条件?4y≤12, ? ?x≥0, ? ?y≥0, ① 该不等式组所表示的平面区域如图,求 2x+3y 的最大值. ② 以此为例,试通过下列问题理解有关概念. 知识点一 线性约束条件 在上述问题中,不等式组①是一组对变量x、y的约束条件,这组 约束条件都是关于x、y的 一 次不等式,故又称线性约束条件. 知识点二 目标函数 在上述问题中,②是要研究的目标,称为目标函数.因为它是关于 变量x、y的 一 次解析式,这样的目标函数称为线性目标函数. 知识点三 线性规划问题 一般地,在线性约束条件下求 线性目标函数 的最大值或最小值问题, 通常称为线性规划问题. 知识点四 可行解、可行域和最优解 满足线性约束条件的解(x,y)叫 可行解 .作出约束条件所表示的平面 区域,这一区域称为可行域 . 其中,使目标函数取得最大值或最小 值的可行解叫线性规划问题的最优解 . 在上述问题的图中,阴影部 分叫 可行域 ,阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个 可行解 , 其中能使②式取最大值的可行解称为 最优解 . 题型探究 类型一 最优解问题 命题角度 1 问题存在唯一最优解 例1 ?x+2y≤8, ? ?4x≤16, ? 已知 x,y 满足约束条件?4y≤12, ? ?x≥0, ? ?y≥0, 该不等式组所表示的平面区域如图, 求 2x+3y 的最大值. 解答 反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法,基本步骤如下: ①确定线性约束条件,线性目标函数; ②作图——画出可行域; ③平移 —— 平移目标函数对应的直线 z = ax + by ,看它经过哪个点 (或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域,确定最优解所对 应的点的位置; ④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标,再代入目标函数, 求出目标函数的最值. 跟踪训练1 已知1≤x+y≤5,-1≤x-y≤3,求2x-3y的取值范围. 解答 命题角度 2 问题的最优解有多个 例2 ? ?x-y≥0 ? 已知 x, y 满足约束条件?x+y≤2 ? ? ?y≥0, , 若目标函数 z=ax+y 的最大值 有无数个最优解,求实数 a 的值. 解答 反思与感悟 当目标函数取最优解时,如果目标函数与平面区域的一段边界 (实线)重合,则此边界上所有点均为最优解. 跟踪训练2 给出平面可行域(如图),若使目标函数z=ax+y取最大值 3 5 的最优解有无穷多个,则a=____. 答案 解析 由题意知, 当直线 y=-ax+z 与直线 AC 重合时, 最优解有无穷多个, 5-2 3 3 则-a= =-5,即 a=5. 1-6 类型二 生活中的线性规划问题 例3 营养专家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合 物,0.06 kg的蛋白质,0.06 kg的脂肪,1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物, 0.07 kg蛋白质,0.14 kg 脂肪,花费28元;而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合 物,0.14 kg蛋白质,0.07 kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮 食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B各多少kg? 将已知数据列成下表: 解答 食物/kg A B 碳水化合物/kg 0.105 0.105 蛋白质/kg 0.07 0.14 脂肪/kg 0.14 0.07 反思与感悟 z (1)目标函数 z=ax+by(b≠0)在 y 轴上的截距b是关于 z 的正比例函数, z 其单调性取决于 b 的正负.当 b>0 时, 截距b越大, z 就越大; 当 b<0 时, z 截距b越小,z 就越大. (2)最优解是谁,和目标函数与边界函数的斜率大小有关. 跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、重 量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中,那么为了获得最大利 4,1 润,甲、乙两种货物应各托运的箱数为_____. 答案 解析 货物 甲 乙 托运限制 体积 (m3/箱) 5 4 24 重量 (50 kg/箱) 2 5 13 利润 (百元/箱) 20 10 当堂训练 ? ?y≤2x, ? 1.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ? ?y≥-1, 5 则 x+2y 的最大值是____. 3 答案 解析 1 2 3 4 ? ?x+y≥3, ? 2.设变量 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ? ?2x-y≤3, 则目标函数 z=2x+3y 的最 7 小值为________. 答案 解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示. 由图可知,z=2x+3y经过点A(2,1)时,z有最小值, z的最小值为7. 1 2 3 4 3. 在如图所示的坐标平面的可行域内 ( 阴影部分且包括边界 ) ,目标函 -3 数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则a=____. 答案 解析 1 2-1 1 -a= =3,∴a=-3. 4-1 1 2 3 4 ? ?x≥0, ? 4.已知实数 x、y 满足约束条件?y≥0, ? ? ?x+y≤2, 则 z=2x 8 +4y 的最大值为________. 答案 解析 由不等式组表示的可行域,知目标函数z在点(0,2)处取得最大值8. 1 2 3 4 规律与方法 1.用图解法

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