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高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理成长学案新人教A版选修4_1

一 平行线等分线段定理 主动成长 夯基达标 1.等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 思路解析:连结梯形各边中点,可得平行四边形,由于等腰梯形的对角线相等,所以平行四 边形的邻边相等,由此可以断定此四边形必为菱形 答案:B 2.如图 1-1-14,AB∥CD∥EF,AF、BE 相交于 O,若 AO =OD =DF,BE =10 cm,则 BO 的长为 ( ) 图 1-1-14 A. 10 cm 3 C. 5 cm 2 1 BE 3 思路解析:根据 AB∥CD∥EF 和 AO =OD =DF,有 BO =OC =CE,所以 BO ? 答案: 图 1-1-15 3.如图 1-1-15,已知 AD∥EF∥BC, E 是 AB 的中点, 则 DG = ,CH = ,AE = ,CF = . 思路解析:利用 AD∥EF∥BC 和 E 是 AB 的中点,根据平行线等分线 87 段定理,可得 G、H、F 分别是 BD、AC、DC 的中点,由此即得结论 答案:BG AH BE DF 4.如图 1-1-16,在△ABC 中,E 是 AB 的中点,EF∥BD,EG∥AC 交 BD 于 G, CD ? 若 EG =5cm,则 AC = ;若 BD =20cm,则 EF = . 1 AD , 2 图 1-1-16 思路解析:由 E 是 AB 的中点,EF∥BD,可得 F 是 AD 的中点,结合 CD = 1 AD,可以得到 F、 2 D 是 AC 的三等分点,又由 EG∥AC,可得 EG 等于 AD 的一半,FD =EG,由此可得两个结论 1 答案: 图 1-1-17 5.如图 1-1-17,AB =AC,AD⊥BC 于 D,M 是 AD 的中点,CM 交 AB 于 P,DN∥CP.若 AB =6cm, 则 AP =;若 PM =1 cm,则 PC = . 图 1-1-18 思路解析:由 AB =AC 和 AD⊥BC,结合等腰三角形的性质,有 D 是 BC 的中点,再由 DN∥CP, 可得 N 是 BP 的中点,P 是 AN 的中点,由此,AP = 1 1 AB ,PM = PC . 3 4 答案: 4 cm 6.如图 1-1-18,已知 AC⊥AB 于 A,DB⊥AB 于 B,OC =OD,连结 OA、OB.求证:OA =OB. 图 1-1-19 思路分析:作 OE⊥AB 于 E,可得一组平行线,利用 O 是 CD 的中点,得到 E 是 AB 的中点,结 合线段垂直平分线的性质就有本题的结论 证明:作 OE⊥AB 于 E ∵AC⊥AB,DB⊥AB ∴AC∥OE∥DB ∵O 是 DC 中点 ∴E 是 AB 中点 ∴OA =OB. 7.如图 1-1-19,已知∠ACB =90°,AC =BC,CE =CF,EM⊥AF,CN⊥AF.求证:MN =NB. 图 1-1-20 思路分析:由已知易得 ME 与 NC 平行, 所以要说明 MN =NB, 只要点 C 是一条线段的中点即可, 由此启发我们作辅助线 CP 2 证明:延长 ME 交 BC 的延长线于 P,由已知可得,Rt△EPC≌Rt△FAC ∴PC=CB. 又∵EM⊥AF,CN⊥AF,∴P 又∵C 是 BP 的中点 ∴N 是 MB 的中点 ∴MN =NB. 8.已知线段 AB,求作 AB 的五等分点. 图 1-1-21 思路分析:本题是平行线等分线段定理的实际应用.只要作射线 AM, 在 AM 上任意截取 5 条相 等线段, 连结最后一等份的后端点 A5 与点 B, 再过其他分点作 BA5 的平行线, 分别交 AB 于 C、 D、E、F,则 AB 就被这些平行线分成五等份了 作法:(1)如图,作射线 AM; (2)在射线 AM 上截取 AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5 (3)连结 A5B,分别过 A1、A2、A3、A4 作 A5B 的平行线 A1C、A2D、A3E、A4F,分别交 AB 于 C、E、 F,那么 C、D、E、F 就是所求作的线段 AB 的五等分点. 9.梯形 ABCD 中,AD∥BC,DC⊥BC,∠B = 60°,AB =BC,E 为 AB 的中点.求证:△ECD 为等 边三角形. 思路分析:一般在梯形中给出了一腰的中点, 常添加的辅助线有:①过这一点作底边的平 行线,由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点;②可延长 DE(或 CE)与底边相交, 构造全等三角形 证明:连结 AC,过点 E 作 EF∥AD 交 DC 于 F ∵梯形 ABCD,∴AD∥BC.∴AD∥EF∥BC. 又∵E 是 AB 的中点,∴F 是 DC 的中点 (经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰) ∵DC⊥BC,∴EF⊥DC ∴ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等) 3 ∴△EDC 为等腰三角形 ∵AB =BC,∠B ∴△ABC 是等边三角形 ∴∠ACB 又∵E 是 AB 边中点 ∴CE 平分∠ACB ∴∠1=∠2=30°. ∴∠DEF=30°. ∴∠DEC 又∵ED=EC, ∴△DEC 为等边三角形. 走近高考 10.如图 1-1-22,已知以梯形 于 F.求证:EF =BF. ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻边作 ACED,DC 的延长线交 BE 图 1-1-22 思路分析:在△EAB 中,OF∥AB,要说明 EF=BF,只要说明 O 是 AE 的中点,而 O 是平行四边 形对角线的交点,根据平行四边形对角线互相平分,可以知道 O 是 AE 的中点,于是问题得 证 证明:连结 AE 交 DC 于 O,∵四边形 ACED 是平行四边形 ∴O 是 AE 的中点(平行四边形对角线互相平分 ∵四边形 ABCD 是梯形 ∴DC∥AB 在△EAB 中,OF∥AB,又 O 是 AE 的中点 ∴F 是 EB 的中点.∴EF =BF. 11.已知直线 l1

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